安徽省阜阳市太和县2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】

这是一份安徽省阜阳市太和县2025~2026学年九年级上册12月月考数学试题【附解析】，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是（ ）
A．红球B．白球C．黑球D．黄球
3．下列事件中是必然事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心
B．投掷一枚均匀的硬币10次，正面朝上的次数为5次
C．13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的
D．平面内，任意一个五边形的外角和等于540°
4．已知的直径为2，在同一平面内，若点与圆心的距离为，则点与的位置关是（ ）
A．点在外B．点在上C．点在内D．无法确定
5．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ）
A．正九边形B．正十边形C．正十二边形D．正十八边形
6．点P是上异于点A，B的一点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
7．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（ ）
A．2B．4C．3D．5
9．如图，正六边形的边长为3，分别以点A，D为圆心，以的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A．B．C．D．
10．已知抛物线，将抛物线P绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为m，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知点与点关于原点对称，则的值等于 ．
12．如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码．小郑帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑域的面积为 ．
13．如图，将绕点A逆时针旋转两次得到，每次旋转的角度都是．若，则 ．
14．如图，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点，的半径为．
（1）若，则的长为 ；
（2）的最大值为 ．
三、解答题
15．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、．
（1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后的；并写出的坐标．
16．如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：．
17．随着国产AI大模型DeepSeek的爆火，全球科技界对人工智能的关注度持续飙升．为了让更多爱好者深入了解人工智能技术，某知名科技论坛精心策划了四场网络直播，分别以“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播．甲、乙两位同学准备各自随机选择一场直播深入学习，随后分享收获，两位同学选择四个主题的可能性均相同，且相互不影响．
（1）甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是________；
（2）请用画树状图或列表的方法求甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的概率．
18．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．
（1）这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留）
（2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数．
19．已知方程（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，是原方程的两根，且，求m的值．
20．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米，且．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米（即米）时，求此时跨度的长度，并判断是否要采取紧急措施？
21．某学校为了解八年级学生体育课的实效性，开学初对八年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了_______名学生的成绩，频数分布直方图中_______所抽取学生成绩的中位数落在_______组（填字母）；
（2）若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名八年级学生，估计该校成绩优秀的八年级学生有多少人？
（3）学校将从获得满分的4名八年级学生（两名男生、两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
22．已知抛物线（，为常数）过点．
（1）若该抛物线与轴交于点．
①求该抛物线的解析式；
②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围；
（2）若对于任意实数，都有，求此时，的取值．
23．（1）如图①，点、、均在上，，则锐角的大小为___________度；
（2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连接、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．你能否写出完整的证明过程？
（3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆，，，连接、，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根，先根据一元二次方程的根的定义可得，则，再代入计算即可得，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故．
2．【正确答案】A
【分析】本题考查利用频数率分布折线图，频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．
用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案．
【详解】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在左右，
即抽到该球的概率为，
球的总个数为：，
抽到黑球的概率为，
抽到红球的概率为，
抽到白球的概率为，
抽到黄球的概率为，
该种球的颜色最有可能是红球．
故选A
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，则此项不符合题意；
B、投掷一枚均匀的硬币10次，正面朝上的次数为5次是随机事件，则此项不符合题意；
C、根据鸽巢原理（抽屉原理），若13个人对应12个月份，则至少有两人的出生月份相同，此事件必然发生，是必然事件，则此项符合题意；
D、因为任意一个五边形的外角和等于，所以任意一个五边形的外角和等于，是不可能事件，则此项不符合题意；
故选C．
4．【正确答案】B
【分析】此题考查点与圆的关系，点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【详解】解：，的半径为1，即，
∴点P与的位置关系是点P在上，
故选B．
5．【正确答案】A
【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，掌握构造同弧所对的圆心角是解题的关键．
构造弧所对的圆心角后，即可求解．
【详解】解：连接，
，
，
，
是正九边形的一条边．
故选A．
6．【正确答案】D
【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理，圆内接四边形的性质，注意点的位置不同时，圆周角可能取不同值是解决问题的关键．
点在圆上不同位置时，可能为劣弧或优弧所对的圆周角，根据圆周角定理，圆内接四边形分别计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意，可能为劣弧或优弧所对的圆周角，
当点在优弧上时，如图所示：
，
；
当点在劣弧上时，如图所示：
由点在优弧上时，得，
；
综上所述，的度数为或．
故选D．
7．【正确答案】A
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，
首先判断出二次函数开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，当时y减小，故对称轴直线需满足．
【详解】解：∵二次函数中二次项系数为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∵当时，y随x增大而减小，
∴．
故选A．
8．【正确答案】B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，设，根据切线长定理得出，，，得到，，由，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：设，
的内切圆与分别相切于点，
，，，
，，，
，，
，
，
解得：，
即，
故选B．
9．【正确答案】B
【分析】本题考查了正多边形和圆的有关计算，解题关键是熟练运用扇形面积公式和等边三角形的性质．
根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题．
【详解】解：∵正六边形的边长为3，连接，把六边形分成6个全等的等边三角形，等边三角形的边长为3，
过点O作，如图所示：
∴，
∴，
∴每个等边三角形的面积为：，
∴正六边形的面积是：，，
∴图中阴影部分的面积是：，
故选B．
10．【正确答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、关于原点对称，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．先求出抛物线的解析式为，再根据抛物线的对称轴的位置分三种情况讨论：①；②；③，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：抛物线，
∴抛物线P的顶点坐标为，
∵将抛物线P绕原点旋转得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，开口方向与抛物线P相反，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线，
①若，
当时，则当时，有最大值，
由题意得，，
解得：，
∴；
②若，则当时，有最大值，
由题意得，，
解得：（舍去）；
③若，则当时，有最大值，
由题意得，，
解得：（舍去），
∴综上所述，a的取值范围是．
故选A．
11．【正确答案】
【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴.
12．【正确答案】
【分析】本题考查了用频率估计概率的应用，先求出点落在该二维码中黑域的频率稳定在0.6，再用总面积乘以0.6即可求解．
【详解】解：∵经过大量的重复试验发现，点落在白域的频率稳定在0.4左右，
∴据此估计点落在该二维码中黑域的频率稳定在，
∴该二维码中黑域的面积为．
13．【正确答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质；根据题意得到，再结合计算即可．
【详解】解：∵每次旋转的角度都是，
∴，
∴.
14．【正确答案】；
【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，中位线定理，圆的有关性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）分为当在外部时，当在内部时，然后通过垂径定理，勾股定理，直角三角形性质即可求解；
（）取中点，连接，由为的中点，则有是中位线，所以，故有点在以为圆心，为半径的圆上运动，则当三点共线时，的值最大，然后通过勾股定理即可求解．
【详解】解：（）当在外部时，连接，如图，
∵为的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
当在内部时，连接，如图，
同理可得.
（）如图，取中点，连接，
∵为的中点，
∴是中位线，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴当三点共线时，的值最大，如图，
∵为的中点，
∴，
由勾股定理得：，
∴，即的最大值为.
15．【正确答案】（1）见详解；
（2）见详解；
【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标；
（2）解：如图，即为所求，点．
16．【正确答案】见详解
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，是解题的关键，连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证．
【详解】证明：如图，连接，
∵为切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴．
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查了概率公式，画树状图或列表的方法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据概率公式进行列式计算，即可作答．
（2）运用列表法，得共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种，再列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵四场网络直播，分别围绕“A．机器人技术”“B．计算机视觉”“C．自然语言处理”“D．专家系统”为主题进行直播．
∴甲同学选择“B．计算机视觉”的概率是；
（2）解：列表如下：
如上表，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”的结果有7种，
（甲、乙两位同学中至少有一人选择“B．计算机视觉”）．
18．【正确答案】（1），
（2）
【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键．
（1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式代值计算即可得到面积；
（2）由（1）知侧面积为，设所需扇形卡纸的圆心角的度数，列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
在中，，，，
则由勾股定理可得；
圆锥底面圆的周长为，
圆锥侧面积为.
（2）解：由（1）知侧面积为，
设所需扇形卡纸的圆心角的度数，
，
解得，
答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为．
19．【正确答案】（1）见详解
（2）1
【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系等．
（1）根据方程可知，，，再利用即可证明本题答案；
（2）利用方程可知，，再将题干式子通分代入两根之和与两根之积，即可得到本题答案．
【详解】（1）解：证明：∵，，，
∴，
，
，
，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，是原方程的两根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
检验，是分式方程的解，
∴m的值为1．
20．【正确答案】（1）
（2）32米，不需要采取紧急措施．
【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）由垂径定理和圆的性质可得米，米，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案；
（2）由垂径定理和圆的性质可得，米，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：设点O为该圆弧所在的圆的圆心，连接，
∵米，米，且，
∴米，米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴圆弧所在的圆的半径r的长为；
（2）解：如图所示，连接，
由题意得，，
∴，
∵ 米，
∴米，
∴米，
∴米，
∵，
∴不需要采取紧急措施．
21．【正确答案】（1），，D
（2）
（3）见详解，
【分析】本题考查统计图，求样本容量、中位数、概率，用样本估计总体，找到频数直方图和扇形图之间的联系是解题的关键．
（1）根据频数直方图和扇形图中的C组信息和找中位数的方法，即可求解；
（2）先求出样本中成绩在8分及以上为优秀所占比，用样本估计总体即可求解；
（3）先画树状图，再利用概率的公式即可求解．
【详解】（1）解：根据统计图可得，
总人数为（名），
B组人数为（名），
所抽取学生成绩的中位数是第和的平均数，A，B，C组共有名，D组有名，
所抽取学生成绩的中位数落在D组.
（2）成绩在8分及以上为优秀，
成绩优秀所占百分比为，
（人），
则该校成绩优秀的八年级学生估计有人；
（3）树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生共有8种等可能的结果，
，
则抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为．
22．【正确答案】（1）①；②或
（2），
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式．
（1）①待定系数法求解析式，即可求解；
②根据对称轴为直线，抛物线开口向上，得出关于对称轴的对称点，根据题意，结合函数图象可得或，解不等式，即可求解．
（2）根据抛物线过点，得出，即，根据题意得对任意实数都成立．则抛物线的顶点在轴上或在轴的上方，即可得出，进而求得值．
【详解】（1）解：①∵抛物线过点和．
∴．
解得：．
∴抛物线的解析式为；
②抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，关于对称轴的对称点．
∵对于，都有，
∴由图象性质得或．
解得或；
（2）∵抛物线过点．
∴．
则．
∵对于任意实数，都有，
由可得，将代入，得，即，
∴对任意实数都成立．
∴抛物线的顶点在轴上或在轴的上方．
∴，．
∴．
∴．
23．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）
【分析】对于（1），根据圆周角定理解答；
对于（2），延长至点E，使，连接，再根据“边角边”证明，可得是等边三角形，则此题可证；
对于（3），延长至点E，使，连接，先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，然后根据勾股定理即可求出解.
【详解】解：（1）∵，且是所对的圆心角，是所对的圆周角，
∴.
（2），延长至点E，使，连接，
∵是等边三角形，
∴.
∵是的外角，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（3），.
延长至点E，使，连接，
∵是的外角，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形.
根据勾股定理，得，
即，
∴.
甲乙
A
B
C
D
A
B
C
D