湖南省长沙市2026届高三上学期2月联考考前数学猜想卷试题（Word版附解析）

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（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则 （ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在 中， ，P 是 上一点，若 ，则实数 的值为（ ）
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A. B. C. D.
5. 已知等差数列 的前 4 项和 ， ，等比数列 满足 ， ，则 （ ）
A. 81 B. 243 C. 27 D. 729
6. 已知幂函数 在 上单调递增，若实数 满足 ，则
最小值为（ ）
A. B. 1 C. D.
7. 已 知 分 别 是 双 曲 线 的 左 ､ 右 焦 点 ， 为 双 曲 线 右 支 上 一 点 ，
的角平分线 交 轴于点 ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 3
8. 如图，在一个底面边长为 4，侧棱长为 的正四棱锥 中，大球 内切于该四棱锥，小球
与大球 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 的体积为（ ）．
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
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A. 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是
对立事件
B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件 “向上点数 1 或 4”，事件 “向上点数是奇数”则
C. 数据 13，27，24，12，14，30，15，17，19，23 分位数是 23
D. 数据 的平均数为 2，方差为 3，则数据 的平均数为 11，方差为
27
10. 为抛物线 上一点， 为 焦点，直线 的方程为 ，则（ ）
A. 若 ，则 的最小值为 3
B. 点 到直线 的距离的最小值为
C. 若存在点 ，使得过点 可作两条相互垂直的直线与圆 都相切，则 的取值范
围为
D. 过直线 上一点 作抛物线的两条切线，切点分别为 ， ，则 到直线 距离的最大值为
11. .设 为函数 的导函数，已知 ，则下列结论正确的
是（ ）
A. 有两个极值点 B. 是函数 的极大值点
C D.
第二部分（非选择题共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知圆 与直线 ，若直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且
为等边三角形，则 ______．
13. 若直线 为曲线 与 的公切线，则直线 的方程可以为_________.（写出符
合条件的一个方程即可）
14. 记 上的可导函数 的导函数为 ，满足 的数列 称为“牛顿数列”.若函
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数 ，数列 为牛顿数列.设 ，已知 ，数列 的前 n 项和为 ，若不
等式 对任意的 恒成立，则 的最大值为_____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，
， .
（1）求角 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 的面积.
16. 如 图 ， 已 知 三 棱 台 的 高 为 为 的 中 点 ，
，平面 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的大小.
17. 函数 .
（1）若 ，求 的极小值；
（2）当 时，证明： .
18. 在正三角形 的顶点上有一只机器蛙每隔一分钟跳一次（跳动的时间忽略不计），每次跳动，原地跳
动的概率为 ，跳向另外两点的概率均为 .假设开始时，机器蛙在正三角形的顶点 处做第一次跳动.
（1）求经过 2 次跳动后，机器蛙在顶点 处的概率；
（2）求经过 次跳动后机器蛙在顶点 处的概率；
（3）记由前 次跳动导致机器蛙在顶点 处停留的总时间为随机变量 （分钟），求 .
19. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的两个焦点分别为 ， ， 为椭圆
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上一动点，设 ，当 时， 的面积取得最大值 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， （点 在点 ， 之间）．
（i）求 的取值范围；
（ii）若 为椭圆 上一点，且 ，求四边形 的面积．
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