小学数学数学广角—数与形教案设计

这是一份小学数学数学广角—数与形教案设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，学生分析，教学内容分析，教学媒体与资源的选择与应用，教学实施过程，教学评价与反思等内容，欢迎下载使用。
1.了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢问题” 的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。
2.结合具体的实际问题，通过动手操作、观察分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。
3.通过“鸽巢问题”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。
二、教学重难点：
教学重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，理解“总有”和“至少”的含义，掌握假设法中先“平均分”，再调整的思考方法。
教学难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
三、学生分析：
学生已经具备了一定的逻辑推理能力和解决问题的能力，但对于“鸽巢问题”这一较为抽象的数学概念，可能会感到有些困难。因此，在教学过程中，需要注重启发式教学，通过生动的例子和实践活动，引导学生逐步理解“鸽巢问题”的基本原理和解题方法。在教学中我们会发现有一部分学生已经了解了鸽巢问题，他们在具体分析过程中，都在运用平均分的方法，也能就一个具体的问题得出结论。但是这些学生中大多数只“知其然，不知其所以然”，为什么平均分能 保证“至少”的情况，他们并不理解。还有部分学生完全没有接触，所以他们可能会认为至少的情况就应该是“1”“0” ，我们也应该看到有个别学困生对于本节课的学习确有相当在的困难。这就要求教师在设计和教学中恰当引导，发挥合作学习的作用，顺利完成本节课的任务，让学生们一起成长。
四、教学内容分析：
“鸽巢问题”又称“抽屉原理”，它是组合数学中的一个经典问题，最先是由德国数学家狄利克雷明确提出来的，因此，也称为“狄利克雷原理”。
首先，用具体的操作，将抽象变为直观。“总有一个筒至少放进2支笔”这句话对于学生而言，不仅说起来生涩拗口，而且抽象难以理解。通过枚举法，使学生探索出把四支笔放在3个笔筒里共四种放法, 在具体操作中理解“总有”和“至少”。通过假设法让学生探索出“平均分”是保证“至少”的最好方法，在解决抽屉原理时要釆取“最不利原则”。通过操作，最直观地呈现“总有一个筒至少放进2支笔”这种现象，让学生理解这句话。
其次，充分发挥学生主动性，让学生在证明结论的过程中探究方法，总结规律。学生是学习的主动者，特别是这种原理的初步认识，不应该是教师牵着学生去认识，而是创造条件，让学生自己去探索、发现。所以我认为应该提出问题，让学生在具体的操作中来证明他们的结论是否正确，让学生初步经历“数学证明”的过程，逐步提高学生的逻辑思维能力。
第一个例题教学，介绍了较简单的“鸽巢问题”：只要物体数比抽屉数多，总有一个抽屉至少放进2个物体。它意图让学生发现这样的一种存在现象：不管怎样放，总有一个筒至少放进2支笔。呈现两种思维方法：一是枚举法，罗列了摆放的所有情况。二是假设法，用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。通过前一个例题的两个层次的探究，让学生理解“平均分”的方法能保证“至少”的情况，能用这种方法在简单的具体问题中解释证明。
第二个例题是在例1的基础上说明：只要物体数比抽屉数多，总有一个抽屉里至少放进（商+1）个物体。因此我认为例2的目的是使学生进一步理解“尽量平均分”，并能用有余数的除法算式表示思维的过程。
五、教学媒体与资源的选择与应用：
多媒体课件：通过展示生动的图片和动画，帮助学生理解“鸽巢问题”的基本原理。
实物教具：纸杯和铅笔等，用于模拟“鸽巢问题”的情境，帮助学生直观感受“鸽巢原理”的应用。
互联网资源：利用互联网搜索相关的案例和资料，丰富教学内容，拓展学生的视野。
六、教学实施过程：
（一）游戏激趣、引出新知
同学们，你们玩过抽奖游戏吗？今天想不想再来玩一次？老师手里的这个盒子中是咱们全班同学的学号，接下来我们要从中抽出两组幸运之星，每组 3 名同学。在游戏开始之前老师先来预测一下，每次抽出的3名同学中肯定最少有两个同学的性别是一样的，你们信吗？下面老师先请咱们班的班长来抽出第一组幸运奖，依此进行。老师猜对了吗？（验证结果）你们想知道老师是怎么猜出来的吗？其实
这里面蕴含着一个很重要的数学原理——“鸽巢问题”。板书课题。
【设计意图】从学生喜欢的游戏入手，设置悬念，激发学生学习的兴趣和求知欲望，从而提出需要研究的数学问题。
（二）动手操作、探索新知
（1）运用“枚举法”初步探究。
1.课件出示例1： 把4支铅笔放到3个铅笔盒里，不管怎么放，总有一个铅笔盒里至少有两支铅笔。
2.理解“总有”和“至少”的含义。
师：们认为这句话中哪几个词语很关键？
生：“总有”和“至少”
师：这两个词是什么意思？
生：“总有”表示“一定有”、“肯定有”等。
“至少”表示“最少”、“最起码”。
师：至少有两支铅笔是什么意思？
生：不少于两支或多于两支。
3.强调不考虑放入的顺序。
我们把4支铅笔放在第一个笔筒里，也可以放在第二个笔筒里，也可以放在第三个笔筒里。我们把这三种情况当做一种放法。
4.出示探究记录单，学生分组活动。
鸽巢问题探究记录单
第—小组 姓名：
无论怎样去放，总有一个笔筒里至少有（ ）支铅笔。
出示温馨提示：
①不考虑笔筒的顺序。
②组长把操作的结果记录下来。
现在我们在组长的带领下进行探究活动。
请同学们分组活动，并及时把活动过程记录下来。教师巡视，了解情况，个别指导。
5.学生汇报探究结果。
学生边汇报，边用铅笔模拟摆出来。根据学生摆的情况，老师按照一定顺序排列起来。板书各种情况。
（4, 0, 0）（3, 1, 0）（2, 2, 0）（2, 1, 1）
师：你怎么证明“总有一个笔筒里至少有两支铅笔 ”
生：第一种摆法有一个笔筒是4支，第二种摆法有一个笔筒是3支，第三种摆法有一个笔筒是2支，最后一种摆法有两个笔筒里都是 2 支，所以不管怎么摆，总有一个铅笔盒里至少有两支铅笔 （学生一边说，教师一边用红笔将这些数字画出来）
师：还有不同的放法吗？
6.课件演示。
为了帮助同学们有序地思考，课件依次展示四种情况。第一种情况:把4支笔都放进一 个笔筒里。第二种情况:先把3支笔放进一个笔筒里。第三种 情况:先把2支笔放进一个笔筒里。第四种情况:每个笔筒先放1支笔。
像这样把所有的情况一一列举出来，通过对比得到结论的方法，我们把它叫做枚 举法。（板书：枚举法）
（2）通过比较，引导“假设法”，初步“建模”平均分
1.引导发现：刚才同学们把4支铅笔放到3个笔筒中所有可能的情况都一一列举出来，但是随着数据的扩大，摆放的方法肯定会很多，甚至不能一一罗列，那么还有没有其他更直接、更简单的方法，只摆一次就能得到这个结论呢？（学生独立思考后，同桌互相说一说）
教师引导：看看上面的四种摆法，哪一种摆法刚好是只有一个铅笔盒里只有两只铅笔。
学生演示：每个笔筒中放1支，这样还有1支这时无论放在哪个笔筒中，那个笔筒中就是2支。
师：5支铅笔放进4个笔筒中呢？
生：先假设每个笔筒中放1支，这样还有1支，这时无论放在哪个笔筒中，那个笔筒中就是2支了
师：你为什么要先在每个笔筒中放1支呢？
生：平均分，每个笔筒中只能分1支。
师：为什么要平均分呢？
生： 因为我们考虑的是至少数，这样平均分放就可以使每个笔筒中放的同样多，剩下的那只铅笔不管放进哪个笔筒，那个笔筒中至少就有2支铅笔了。
2.方法优化：刚才这几位同学都是把每个笔筒先放了一支笔，这样分实际上是怎样分？（板书：平均分），让每个笔筒都放进笔，方便找到至少数。那剩下的1支可以放进第一个笔筒，还可以放进第二个笔筒，也可以放进第三个笔筒。剩下的1支，不管怎么放，总有一个笔筒里至少还可以放进1支铅笔。最后，总有一个笔筒里至少放了2支铅笔。
3.引伸探究：刚才我们用摆一摆找到了至少数，如果没有学具，我们还能继续解决这样的问题吗？我们应该怎样做？
4.现在我们来继续下一个问题：出示5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了几只鸽子？请按要求在学习单上完成这道题。
5.汇报交流：谁来把你的与大家分享一下
6.初步“建模”平均分：谁再来把最优最好的方法说一遍。先每个鸽笼里放一只，还剩下2只，也要尽量平均分。总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。还可以算一算 ：5÷3=1（只）…… 2(只）（板书）。至少数：1+1=2（只）第一个 1 是什么意思？ 这个1在上面的除法算式中叫什么？余数是2，为什么只加1呢？
7.引出假设法：现在我们回顾一下，刚才我们在研究5只鸽子飞进3个鸽笼里 我们用了画一画、算一算的方法，其实这都是假设平均，我们把这种方法叫做“假设法”。（板书：假设法）
【设计意图】枚举法是一种很直观的研究问题的方法，但是当数据较大时，再用枚举法就会显得麻烦，因此教师引导学生采用“假设”的思路进行推理，先平均分，再分剩余的，让学生体会平均分的思想，经历了从具体到抽象的过程，逐步建立模型，培养了学生的符号意识。
（3）教学例 2（具体问题“数学化”， 深入“建模”——至少数＝商+1）
像这样鸽子飞进鸽笼里的问题还可以延伸到其他方面，出示例 2，请同学们在学习单上按要求完成这道题。
1.学生汇报：每一问怎样求？（板书）你是用什么除以什么的？（板书：鸽子数÷鸽巢数＝商…… 余数）
2.深入“建模”：仔细观察 7÷3=2（本）……1（本）8÷3=2（本）……2（本）这两组算式，怎样求至少数？（板书：至少数＝商+1）老师有一个小小的疑问，为什么这里余数不同而求至少数都用商+1 呢？ 至少数和余数有没有关系呢？
师：其实用有余数的除法算式来证明的方法，它的思路就是假设法，是按照平均分的思路来分析证明的。这种表达方式非常简洁、清晰！
【设计意图】“鸽巢问题”规律性强，具有建模的必要性。此环节引导学生进行辨析、观察、思考，强化学生对新知的深刻认识，并建立正确的计算模式，有利于提高学生解决问题的能力。
（4）了解小资料——“抽屉原理”
通过今天的探究，我们对鸽巢问题有了一定的了解，其实很早以前就有人对他进行了研究，让我们去看看。（课件展示）
【设计意图】通过介绍“抽屉原理”的小知识，引导学生理解“抽屉”只是一个抽象的概念，让学生体会它其实就是解决这一类问题的一种方法，一个模型，发展抽象能力、推理能力和应用能力。
（三）走进生活、解决问题
鸽巢原理在生活中有着广泛的应用，他可以解决许多有趣的问题，下面让我们一起走进生活中的数学。
出示教科书68页做一做。
【设计意图】指导学生分析时，要突出题目与“抽屉原理”的联系，找到“抽屉”是什么，“物体”是什么，怎么思考。培养学生对知识的迁移和运用能力，以及建立模型的能力。
（四）课堂总结、反思提升
师：通过这节课的学习，说说自己的收获或感受吧
师：你们现在能解释课前抽奖游戏中老师能猜中的原因吗？
七、教学评价与反思：
教学评价：在教学过程中，我积极引导学生参与讨论和展示，课堂氛围较为活跃。学生们能够积极发言、互相补充，体现了良好的学习态度和合作精神。这表明我对于课堂氛围的营造和互动环节的设计是成功的。在解决实际应用问题时，大部分学生能够运用“鸽巢问题”进行推理和解答，但也有部分学生存在理解偏差或运用不当的情况。这提示我在今后的教学中需要更加注重问题的实际背景和应用场景的讲解，以及解题方法的训练。通过观察学生的课堂反应和课后作业，我发现大部分学生能够理解“鸽巢问题”的基本原理，这表明我在教学过程中对于原理的解释和举例是有效的。从整体来看，本节课的教学目标基本达成。学生们不仅理解了“鸽巢问题”的基本原理，还能够运用其解决简单的实际问题。但我也意识到，在培养学生的逻辑推理能力和解决复杂问题的能力方面还需要进一步加强。
教学反思：
1.虽然我在本节课中采用了多种教学方法和手段，如讲解、讨论、展示等，但仍有部分学生存在理解困难的情况。这表明我在教学方法的灵活性和针对性方面还需要进一步加强，需要更加注重因材施教和个性化教学。
2.在教学教程中我有时会过于担心学生不理解，而不敢大胆放手让学生自主探究。这种担心在一定程度上限制了学生的思维发展。因此，在未来的教学中，我需要更加信任学生，给予他们更多的自主权和探究空间。
3.在教学过程中，我注意及时收集学生的反馈意见，并根据这些意见调整教学策略。这种反馈机制有助于我不断优化教学方案，提高教学效果。在未来的教学中，我将继续保持这种反馈机制，并积极寻求改进和创新的机会。
4.在课后与学生的交流中，我了解到有些学生对于课堂节奏和讲解速度存在不同的需求。这提示我在今后的教学中需要更加注重学生的反馈和建议，根据学生的实际情况调整教学策略和方法，以提高教学效果和满意度。
第一种情况
第二种情况
第三种情况
第四种情况