吉林省部分重点高中2025-2026学年高一上学期1月期末考试 数学

这是一份吉林省部分重点高中2025-2026学年高一上学期1月期末考试 数学，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的一个零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知为偶函数，，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．若的最小正周期为，则
C．若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为
D．若，则的最小值为2
8．已知，均为正实数，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或B．C．或D．
二、多选题
9．在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．当时，的最小值是5
C．若不等式的解集为，则实数的取值范围为
D．已知，且，则的最小值为
10．下列结论中正确的有（ ）
A．函数单调递增区间为
B．已知函数，若，则
C．已知函数的定义域是，则的定义域是．
D．已知在上是增函数，则的取值范围是
11．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上有最小值
D．直线是函数的一条对称轴
三、填空题
12．已知函数，则的解析式为 .
13．已知，则 .
14．已知函数，，则函数的值域为 ．
四、解答题
15．设，且.
（1）求的值及的定义域；
（2）求在区间上的最小值.
16．已知幂函数的图象关于轴对称.
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围.
17．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)求在区间上的最值．
18．已知函数是定义域在上的奇函数，且.
(1)求a，b的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)解不等式
19．《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其它总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元）．
(1)求的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？
2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题解析
1．B
求出两个集合，再根据交集含义即可得到答案.
【详解】，，则.
故选：B.
2．B
首先判断在上的单调性，再由零点存在性定理判断即可.
【详解】因为与均在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，所以，所以在上存在一个零点.
故选：B
3．A
化简，通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系.
【详解】解：由题意，
，
在中，函数单调递增，且，
∴，
在中，函数单调递增，且当时，，
∴，
∴，
故选：A.
4．C
对A，根据反比例函数性质即可判断；对B，利用一次函数单调性即可判断其在上的单调性；对C，利用偶函数的判断方法和对数函数单调性即可判断；对D，根据二次函数性质即可判断.
【详解】对于A：的定义域为，为奇函数，故A错误；
对于B：定义域为，且，
所以为偶函数，当时，
所以函数在上单调递减，故B错误；
对于C：的定义域为，
，故其为偶函数，当时，，
所以函数在上单调递增，故C正确；
对于D：，根据二次函数性质知其对称轴为，
显然不是偶函数，故D错误.
故选：C
5．C
分和讨论，当时，利用二次函数单调性即可得到不等式组，解出即可.
【详解】当时，，符合题意；
当时，因为其在上单调递增，则二次函数的开口只能向下，
根据二次函数单调性知，解得，
综上所述实数的取值范围是.
故选：C.
6．A
由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
7．D
先根据是偶函数求判断A选项；根据最小正周期公式计算可以判断B选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D选项.
【详解】为偶函数，
则A选项正确；
若的最小正周期为，由则，B选项正确；
若在区间上有且仅有3个最值点，
则,C选项正确；
若 ，
则或，，
则 或，
又因为，则的最小值为，D选项错误.
故选:D.
8．D
应用基本不等式“1”的代换求题设不等式左式的最小值，根据恒成立有，即可求的取值范围.
【详解】由题设，，当且仅当时等号成立，
要使恒成立，则，可得.
故选：D
9．ABD
对于A，化为一元二次不等式即可求解；对于B，结合基本不等式即可求解；对于C，对不等式的二次项系数分类讨论求解即可；对于D，求出，代入后结合基本不等式即可求解．
【详解】对于A，因为，所以，等价于，
解得，所以不等式的解集是，故A正确；
对于B，当时，，
则，
当且仅当，即时取到等号，故B正确；
对于C，若，则原不等式可化为，在上恒成立；
若，因为不等式的解集为，
所以，解得，
综上．故C错误；
对于D，因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，也即时取等号，故D正确．
故选：ABD．
10．ACD
由二次函数和指数函数单调性和复合函数“同增异减”原则即可得解判断A；直接代入计算即可求解判断B；由对函数中得到函数中的即可求解判断C；由增函数定义结合二次函数和反比例函数性质列关于a的不等式组即可求解判断D.
【详解】对于A选项：函数的减区间为，函数为减函数，
函数单调递增区间为，A正确；
对于B选项：函数，若，则，
可得，故B错误；
对于C选项：对函数有，则，
所以对于函数有，解得，
所以函数定义域为，故C正确；
对于D选项：因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以若函数在上是增函数，
则，解得，即的取值范围是，所以D正确．
故选：ACD.
11．BC
根据图象得到解析式，利用余弦函数的性质逐项判断即可.
【详解】由图可知，，函数的最小正周期，
∴，∴．
将点代入解析式中可得，
∴，解得，
∵，∴，∴，故A错误.
∵，
∴函数的图象关于点对称，故B正确.
当时，，∴，即最小值为，故C正确．
∵，
∴直线不是函数图象的一条对称轴，故D错误.
故选：BC．
12．
依题换元，求出新元的范围和函数关于新元的表达式，再将新元改成即得.
【详解】令,因，故，且可得
故
所以.
故答案为：.
13．
利用弦化切可求三角函数式的值.
【详解】,
故答案为：
14．
先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质即可求解．
【详解】，，
的定义域为，解得，
所以函数的定义域为，
，
又
，又，
，即函数的值域为.
故答案为：.
15．（1），；（2）.
（1）由函数值可求得参数值，由真数大于0可得定义域；
（2）把函数式变形为，然后确定函数的单调性，从而得最小值．
【详解】（1）由得，解得，
由得，因此，函数的定义域为；
（2）由（1）得，
令，由得，
则原函数为，，由于该函数在上单调递减，
所以，因此，函数在区间上的最小值是.
16．(1)
(2)
【详解】（1）为幂函数，
所以，所以，
即，解得或2，
当时，为偶函数，图象关于轴对称，
当时，为奇函数，图象关于原点对称，故，
.
（2）由（1）得，其对称轴为，
当或时满足题意，
或.
所以实数的取值范围为.
17．(1)；
(2)单调增区间为：，；
(3)最小值为0，最大值为2.
（1）先利用三角变换公式把化成的形式，利用求函数周期.
（2）整体换元法求函数的单调增区间.
（3）整体换元法求函数的值域.
【详解】（1）因为，
由，所以函数的最小正周期为：.
（2）由，得：，，
所以函数的单调增区间为，；
（3）因为，所以
所以，
所以函数在上的最小值为0，最大值为2.
18．(1)，；
(2)证明见解析；
(3).
（1）根据题意，结合和，列出方程，即可求得的值；
（2）由（1）得，根据函数单调性的概念与判定方法，即可证得是上的单调递增；
（3）根据题意，把不等式转化为，结合函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）由函数是定义域在上的奇函数，可得，
又由，可得，解得.
则，其定义域为，关于原点对称，
且，满足函数为奇函数.
（2），其中，
任取，且，
则，
因为，且，可得，
所以，即，
所以函数是上的单调递增函数.
（3）因为函数是定义域在上的奇函数，且在上的单调递增函数，
则不等式，即为，
则满足，解得，所以不等式的解集为.
19．(1)
(2)当投入的肥料费用为6元时，该单株农作物获得的利润最大，最大利润为52元
【详解】（1）由题意可得，
所以函数的函数关系式为
（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以，
当时， ，
当且仅当，即时等号成立，此时
综上：当投入的肥料费用为6元时，单株农作物获得的利润最大为52元.