湖北省沙市中学2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题 含答案

这是一份湖北省沙市中学2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题 含答案，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
命题人：冷劲松 审题人：叶世安
考试时间：2024年1月26日
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列直线经过第一象限且斜率为-1的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则（ ）
A. B. C. D. 1
3.已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（ ）
A. B. 或C. 或D.
4.已知数列满足，若则=（ ）
A. 8 B.9 C. 10 D. 11
5.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若为圆上任意两点，为直线上一个动点，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，以为圆心的圆与双曲线左右两支交于P、Q两点，且则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.在等差数列中，是的前项和，满足，则有限项数列中，最大项和最小项分别为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.设直线与圆，则下列结论正确的为（ ）
A. 与可能相离 B. 不可能将的周长平分
C. 当时，被截得的弦长为 D. 被截得的最短弦长为
10．已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A．为等差数列B．为递增数列
C．的前n项和D．的前n项和
11.已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（ ）
A. 若为线段中点，则B. 若，则
C. 存在直线，使得D. 面积的最小值为2
12.如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体的侧面上的一个动点（含边界），P是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为
B. 若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为
C. 三棱锥的体积最大值为
D. 若点M在上运动，则到直线PM的距离的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．
13.直线l经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则l的方程为________．
14.已知平面内一点，点在平面外，若的一个法向量为，则到平面的距离为______________
15.二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________.
16.数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线．重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线．
设雪花曲线边长构成数列，面积构成数列．若的边长为3，则________；=________．
四､解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
18.（本题满分12分）某校举行数学竞赛，竞赛要完成三道题：代数，几何，组合各一道，竞赛记分方法如下：在规定时间内，答对代数题、几何题，每题均可获得30分，答对组合题，可获得40分，每答错一题，则扣除总分中的10分（假设答题只有对与错两种结果）.根据以往统计结果，小明答对代数、几何、组合的概率分别为，假设解答这三题结果彼此独立.已知小明初始分为0分，设比赛结束后，小明的总分为，求：
（1）已知小明在规定时间内，将三题都答对的概率为，求该学生恰能答对三题中的一题的概率；
（2）已知，求总分不低于50分的概率．
E
F
19.（本题满分12分）如图，在五面体中，面为矩形，且与面垂直，，，．
D
（1）证明：//；
A
C
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
B
20.（本题满分12分）已知抛物线，
（1）经过点作直线，若与抛物线有且仅有一个公共点，求的方程；
（2）设抛物线的准线与轴的交点为，直线过点，且与抛物线交于两点，的中点为，若，求的面积．
21. （本题满分12分）已知数列的前n项和为
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设的前n项和为；
①求；
②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22.（本题满分12分） 点在双曲线上，离心率.
（1）求双曲线的方程；
2023-2024学年度上学期高二期末考试数学试卷参考答案
1-8 C A B C B B D B 9.BD 10.BCD 11.A D 12.ABC
14.1 15. 16.
17.【详解】（1）设数列的首项为，公差为，由题意得,
解得：，,所以 ……………5分
（2）因为……………6分
所以
． ……………10分
18.【详解】解：（1）小明三道题都答对概率为，故，……………2分
恰能解决三道题中的一道题的概率：；……………6分
（2）若三道题均答对，则，；
若组合题答对，代数、几何恰有一道题答对，则，；
若代数几何均答对，但组合未答对，则，；. ……………12分
19.【详解】（1）证明：∵ 面为矩形，，
且平面，平面，…………………1分
∴ 平面，…………………2分
又平面，平面 平面，…………………3分
∴ ．…………………4分
（2）法一：（向量法）∵ 面为矩形面，，又面面，且面 面，∴ 面，由（1）知，.，又，
∴ ，∴ ，，两两垂直，…………6分
以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立图示空间直角坐标系，则，，，，，．
，，，， ………7分
设平面与平面的法向量分别为，，
则∴
令，解得，令，解得， ……………9分
于是，…………………10分
设平面与平面夹角为，，则
所以平面与平面夹角的正弦值为．……………12分
【详解】（1）由题意知点在抛物线外部，直线不会垂直于轴（此时与无公共点）；
当直线平行于抛物线的对称轴x轴时，与抛物线有且仅有一个公共点，此时直线的方程为；……………1分
当直线与抛物线相切时，斜率存在且不等于0，
可设的方程为，由， 得，
由，解得或1，
则的方程为与，
即与，
综上：的方程是或或. ……………6分
（2）设，直线的方程为，
将直线的方程与抛物线方程联立， ，
得，,，,……………7分
所以，所以，
又抛物线的准线为, 所以，
则，整理得，
解得或（舍），
则
． ……………12分
21.【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，所以，
所以是公差为的等差数列； ……………4分
（2）①因为，所以，所以，
，
，
，
两式相减得，
，所以，
； ……………8分
②对任意的恒成立，，则对任意的恒成立， ……………9分
令=，
为递减数列，则当时，，. ……………12分
22.【详解】（1）由题意点在双曲线上，离心率
可得； ，解出，，
所以，双曲线的方程是 ……………4分
（2)①当直线的斜率不存在时，则可设，代入，得，则，
即，解得或，
当时，，其中一个与点重合，不合题意；
当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在；…6分②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，
整理得，，设，
则，
由，所以
所以，，
即,……………9分
整理得，
即，
所以或， ……………10分
若，则，直线化为，过定点；
若，则，直线化为，它过点，舍去
综上，直线恒过定点 ……………12分
另解：设直线的方程为①，
双曲线的方程可化为，
即②，
由①②可得，
整理可得，
两边同时除以，
整理得③，
，
则是方程③的两个不同的根，
所以，即④，
由①④可得 ，解得，
故直线恒过定点.