广东省江门市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（含答案+解析）

这是一份广东省江门市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（含答案+解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 2，3，6B. 4，5，9C. 4，5，8D. 4，4，8
2.如图，在△ABC中，AC边上的高是( )
A. BDB. CEC. AED. CF
3.中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
4.下列四个条件中，能确定△ABC为直角三角形的是( )
A. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角
B. △ABC的三个内角的度数之比是1:2:3
C. 在△ABC中，∠A−2∠B=∠C
D. △ABC的三个外角的度数之比是2:5:5
5.下列各式中，不是分式的是( )
A. 1aB. 1a+5C. ca2bD. a3
6.如图，在△ABC中，∠B=50 ∘，点D是BC延长线上的一点，∠ACD=130 ∘，则∠A的度数为( )
A. 50 ∘B. 55 ∘C. 80 ∘D. 25 ∘
7.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. ax+y=ax+ayB. x+2x−3=x2−x−6
C. x2+2x+1=xx+2+1D. x2−4=x+2x−2
8.下列运算正确的是( )
A. −2a3=−8a3B. 3a2⋅2a3=6a6C. 2a23=2a6D. a23=a5
9.卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约是7.9×103 m/s，则卫星绕地球运行3×104 s走过的路程约是( )(结果用科学记数法表示)
A. 0.237×109 mB. 2.37×108 mC. 2.37×107 mD. 23.7×107 m
10.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠AFD=41 ∘，则∠ABE等于( )
A. 139 ∘B. 131 ∘C. 98 ∘D. 136 ∘
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：x2y−xy2= .
12.在机械化作业中，拖拉机a天耕地b公顷，则拖拉机的工作效率是 公顷/天．
13.计算y2⋅y3= .
14.如图，在△ABC中，∠A=36 ∘，点D在AC上，AD=BD=BC，则∠C= ∘.
15.如图，在△ABC中，∠C=90 ∘，BC=6，AC=8，AB=10，BD平分∠ABC交AC于点D，则CD长为 .
三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
在解分式方程15−x−1=x−2x−5时，小江的解法如下：
小江的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小江的解答过程是否正确，若不正确，请你写出正确的解答过程．
17.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A0,3，B3,−2，C4,3.
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
(2)求△A1B1C1的面积．
18.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，点E在AD上，找出图中的全等三角形，并任选其中一对进行证明．
19.(本小题5分)
2025年11月9日至21日，第十五届全国运动会在粤港澳三地举行，文明参赛、文明观赛蔚然成风，吉祥物“雄雄”“祥祥”“和和”“美美”爆火．某文创中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个A种挂件的价格是每个B种挂件价格的35，用180元购买A种挂件的数量比用100元购买B种挂件的数量多8个，求每个A种挂件的价格．
20.(本小题6分)
观察下列等式：
a−1a2+a+1=a3−1
a−2a2+2a+4=a3−8
a−3a2+3a+9=a3−27
……
(1)①根据以上等式的规律，填空：a−5_____=a3−125；②根据以上等式的规律，填空：a−b_____=a3−b3，并证明等式成立．
(2)一个水平放置的长方体容器，其容积为t3−216t>10，底面积为t+32−m，装满水的高度为t−6，求m的值．
21.(本小题9分)
综合与实践
【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．
【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题．
(1)【问题探究】如题2图，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使AC+BC最短．
(2)【问题解决】上述“将军饮马”问题可以转化成(1)中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置．(不写作法，保留作图痕迹)
(3)【评价反思】
如题4图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30 ∘的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知OA=6 km，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．
22.(本小题9分)
我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．
如分式A=2xx+1，B=−2x+1，A−B=2xx+1−−2x+1=2x+2x+1=2x+1x+1=2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2.
(1)已知分式C=3x−8x−3，D=1x−3，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”．
(2)已知分式P=E16−x2，Q=x4−x，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是5，求E所代表的代数式．
(3)已知分式M=x−bx−3x，N=x+2x−ax，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是4，求a，b的值．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90 ∘，AB=12，BC=20，点B在直线l上，点D是直线l上点B左边的一点，且BD=6.动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AB−BC向终点C匀速运动；同时动点N从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线CB−BA向终点A匀速运动，两点到达相应终点就分别停止运动．分别过点M、点N作ME⊥l于点E，NF⊥l于点F.设点M的运动时间为t秒．
(1)当点N在边BC上时，求证：∠MBE=∠BNF.
(2)当∠ABD=60 ∘时，连接MD、ND，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，求t的值．
(3)当△MBE与△NBF全等时，求t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】本题主要考查了构成三角形的条件．根据“三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．
【详解】解：A、∵2+38，
∴4，5，8能构成三角形，该选项符合题意；
D、∵4+4=8，
∴4，4，8不能构成三角形，该选项不符合题意；
故选：C.
2.【答案】A
【解析】本题考查了三角形高的定义．根据三角形高的定义是从一个顶点到它对边的垂线段即可判断．
【详解】解：根据三角形的高的定义，在△ABC中，AC边上的高是BD，
故选：A.
3.【答案】C
【解析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此依次对各选项进行判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形的定义逐项分析判断如下：
A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C.
4.【答案】B
【解析】本题考查三角形的内角和定理及直角三角形的判定条件，逐项分析各条件是否能确保三角形有一个角为90 ∘即可得出结果，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键．
【详解】解：A、∠A和∠B都是锐角，但∠C可能为锐角或钝角，不能确定直角三角形，故A不符合题意；
B、设三个内角为x ∘，2x ∘，3x ∘，则x+2x+3x=180，解得x=30，故三个角的度数分别为30 ∘，60 ∘，90 ∘，有一个直角，能确定直角三角形，故B符合题意；
C、由∠A−2∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180 ∘，可得2∠A−∠B=180 ∘，由∠B>0 ∘，可得2∠A>180 ∘，即∠A>90 ∘，不能确定直角三角形，故C不符合题意；
D、设三个外角为2k ∘，5k ∘，5k ∘，则2k+5k+5k=360，解得k=30，故三个外角分别为60 ∘，150 ∘，150 ∘，对应内角为120 ∘，30 ∘，30 ∘，不能确定直角三角形，故D不符合题意；
故选：B.
5.【答案】D
【解析】本题考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【详解】解：A、B、C的分母中均含有字母，满足分式的定义，不符合题意；
D的分母中不含有字母，不满足分式的定义，符合题意；
故选：D.
6.【答案】C
【解析】本题主要考查三角形外角的性质．根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
【详解】解：∵∠ACD=130 ∘=∠B+∠A，∠B=50 ∘，
∴∠A=∠ACD−∠B=130 ∘−50 ∘=80 ∘，
故选：C.
7.【答案】D
【解析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是把多项式化为几个整式的积的变形．根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式化为整式的积的形式即可．
【详解】解：A、ax+y=ax+ay是乘法运算，不是因式分解；
B、x+2x−3=x2−x−6是乘法运算，不是因式分解；
C、x2+2x+1=xx+2+1，等式右边不是积的形式，不是因式分解；
D、x2−4=x+2x−2是化为积的形式，是因式分解；
故选：D.
8.【答案】A
【解析】本题考查指数运算规则，包括积的乘方、幂的乘方和同底数幂相乘，根据运算法则逐项分析即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、−2a3=−8a3，故原选项计算正确，符合题意；
B、3a2⋅2a3=6a5，故原选项计算错误，不符合题意；
C、2a23=8a6，故原选项计算错误，不符合题意；
D、a23=a6，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：A.
9.【答案】B
【解析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a0，
∴C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为3；
【小题2】
解：∵分式P=E16−x2，Q=x4−x，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是5，
∴P−Q=5，
∴E16−x2−x4−x=5，
∴E−x4+x=54+x4−x，
∴E=54+x4−x+x4+x=516−x2+4x+x2
=80−5x2+4x+x2
=−4x2+4x+80；
【小题3】
解：∵分式M=x−bx−3x，N=x+2x−ax，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是4，
∴M−N=4，
∴x−bx−3x−x+2x−ax=4，
∴x−bx−3−x+2x−a=4x，
∴x2−bx−3x+3b−x2+2x−ax−2a−4x=0，
∴x2−bx−3x+3b−x2−2x+ax+2a−4x=0，
∴a−b−9x+3b+2a=0，
∵式子a−b−9x+3b+2a=0恒成立，
∴a−b−9=03b+2a=0，
解得a=275b=−185，即a=275,b=−185.

【解析】1.
本题考查的是新定义情境下的分式的运算，正确理解“雅中式”和“雅中值”是解题的关键．
根据分式的减法运算法则求出C−D的结果，再根据“雅中式”和“雅中值”的定义证明求解即可；
2.
根据定义可得P−Q=5，则E16−x2−x4−x=5，据此去分母求解即可；
3.
根据定义可得M−N=4，则x−bx−3x−x+2x−ax=4，则可推出a−b−9x+3b+2a=0，根据式子a−b−9x+3b+2a=0恒成立得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案．
23.【答案】【小题1】
证明：∵∠ABC=∠MEB=∠NFB=90 ∘，
∴∠MBE=90 ∘−∠NBF，∠BNF=90 ∘−∠NBF，
∴∠MBE=∠BNF；
【小题2】
解：∵∠ABD=60 ∘，
当点M在AB边上，且BM=BD=6时，△DBM是等边三角形
此时12−2t=6，
∴t=3；
当点N在AB边上，BQ=BD=6时，△DBN是等边三角形，
此时QN=4t−20=6，
∴t=132，
综上所述，当图中存在等边三角形时，t的值为3或132；
【小题3】
解：当点N到点B时t=BC4=204=5，
当点M到点B时t=AB2=122=6，
当点N到点A时t=AB+BC4=12+204=8，
当点M到点C时t=AB+BC2=12+202=16，
当0