北京市西城区北京师范大学附属中学2025-2026学年上学期八年级期末数学试题-自定义类型

这是一份北京市西城区北京师范大学附属中学2025-2026学年上学期八年级期末数学试题-自定义类型，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A. B. C. D.
2.传统建筑中的窗格样式丰富，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．小红设计了下列窗格图案，其中可以看成轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.下列运算中正确的是（）
A. B. C. D.
4.下列各式从左到右的变形一定正确的是（）
A. B. C. D.
5.如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作△ABC）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点D，E，F，G（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（ ）
A. 点DB. 点EC. 点FD. 点G
6.如图是“过直线AB外一点C作AB的平行线CD”的尺规作图.根据该作图方法，可以证明CD∥AB，证明过程中判定△CMN≌△EFG的依据是（ ）
A. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D. 三边分别相等的两个三角形全等
7.八年级师生去距学校24km的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了4min学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达.已知小车的平均速度是大车的平均速度的1.2倍，求大车的平均速度.如果设大车的平均速度为x km/h,那么下面所列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在中，，，分别是边上的两个动点，连接．若当与的和最小时，的长为1，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10.在平面直角坐标系xOy中，点（-5，-1）关于x轴对称的点的坐标是 .
11.计算：（-2a2b）（-4abc）= .
12.如图，点C，D在线段AB上，∠EAD=∠FCB，AE=CF.只需添加一个条件即可证明△EAD≌△FCB，这个条件可以是 （写出一个即可）.
13.已知1个水分子的质量约是3×10-26kg.如果1滴水的质量约是6×10-5kg,那么这滴水中大约有 个水分子（结果用科学记数法表示）.
14.如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则 ．
15.如图，某街心公园有一块长为2a m,宽为b m的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为2a m,宽为a m的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为bm的正方形喷泉区.已知休闲区的宽与绿地的宽的和为13m,休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为194m2，那么绿地的面积为 m2.
16.如图，是的角平分线，点在的延长线上，，，，垂足为．有下列四个结论：①与的面积相等；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
17.分解因式：
(1) ；
(2) ．
18.解方程：+2=．
四、解答题：本题共8小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
按要求完成下列各题：
(1) 计算：；
(2) 先化简，再求值：，其中．
20.(本小题5分)
如图，，，，垂足分别为，．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的度数．
21.(本小题6分)
已知在中，．
(1) 如图1，在的边上求作一点，使．
①将下面的分析过程补充完整．
分析：点在线段上，则______，
而要使，即需要____________，
因此需要点在线段______的垂直平分线上，
所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点．
②用直尺和圆规在图1中完成作图并保留作图痕迹；
(2) 用直尺和圆规在图2中完成下列作图并保留作图痕迹：在边上取一点，使；作的平分线交于点，连接；
(3) 在（2）的条件下，图2中线段 与线段相等；若，，，则的周长为 （用含的式子表示）．
22.(本小题6分)
有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第个“特征数”为（为正整数）．
(1) 将表示为两个连续正奇数的平方差： － ；
(2) 求证：对于任意的正整数，一定能被8整除；
(3) 已知是第个“特征数”，判断是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含的式子表示）；如果不是，说明理由．
23.(本小题6分)
如图1，公园里有一条河，河岸线可看成两条平行的直线，河的宽度为，景点A和景点B分别位于河的两岸（正方形网格中小正方形的边长为，直线都在网格线上，点A，B都在网格线的交点上）．现要在河上造一座桥连通河的两岸，其中点分别在直线上．
(1) 小明先将桥的桥形设计为一条线段，线段与直线垂直，且使得从景点A经桥走到景点B的路径最短．他将点A沿与直线垂直的方向平移河的宽度得到点，从而将问题转化为在直线上确定点N的位置，使最小．请在图1中画出小明设计的桥（保留画图痕迹）；
(2) 小明又将桥设计成Ⅰ型（如图2）和Ⅱ型（如图3）两种桥形，这两种桥形都是由五条长的线段组成的折线，其中以点为端点的两条线段分别与直线，垂直，且相邻两条线段互相垂直．
请在图4，图5中分别画出当采用Ⅰ型和Ⅱ型桥形时的桥，使得从景点A经桥走到景点B的路径最短（保留画图痕迹）；
比较图4，图5可知，采用______型桥形，最短路径的长度更短（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）；
(3) 小明以直线为轴，经过景点且与直线垂直的直线为轴（分别取向右、向上为正方向），取1个单位长度代表长，建立平面直角坐标系，景点A的坐标为，另一景点的坐标为．若无论采用（2）中的Ⅰ型或Ⅱ型桥形，从景点A经桥走到景点C的最短路径的长度相等，则t的值为 ．
24.(本小题4分)
如图，在中，，，射线与边交于点，．点与点关于直线对称，线段与射线交于点，点在线段上，且，连接．
(1) 依题意补全图形，并求的度数（用含的式子表示）；
(2) 连接，是的中点，连接，探究线段与的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
25.(本小题4分)
在解关于的方程组时，小天发现可以利用“换元法”求解，即设，，将原方程组转化为关于的方程组求出的值后，再代回，，从而求出原方程组的解．类似地，也可以利用“换元法”解决下列问题．
(1) 化简：．
下面是小天解决此问题的思路，请补充完整．
解：设，，
则， （用含的式子表示）．
将原式转化为关于的式子进行化简，
再将，代回，得到原式化简的结果为 ．
(2) 比较与的大小，并说明理由．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，对于直线l，线段和点C，给出如下定义：记点C关于直线l的对称点为，若线段上存在点M，N，使得，且，则称点C是线段的“可及点”．
(1) 如图，直线l为y轴，点，．在点，，中，线段的“可及点”是 ；
(2) 已知点，，直线经过点且垂直于x轴，点，．若线段上存在线段的“可及点”，直接写出m的取值范围；
(3) 已知是等边三角形，其三个顶点的坐标分别为，，，直线l经过点且垂直于x轴，点，．当时，对于t的每一个值，的三条边上的所有点都是线段的“可及点”，直接写出n的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】（-5，1）
11.【答案】8a3b2c
12.【答案】AD=CB（答案不唯一）
13.【答案】2×1021
14.【答案】20
15.【答案】72
16.【答案】②③④
17.【答案】【小题1】
解：．
【小题2】
解：．

18.【答案】解：两边都乘以x（x-1），得：3（x-1）+2x（x-1）=2x2，
解得：x=3，
经检验，x=3是原分式方程的解．
19.【答案】【小题1】
解：
原式
；
【小题2】
解：原式
．
当时，原式．

20.【答案】【小题1】
证明：，，
．
，
，即．
在和中，
．
．
【小题2】
解：，
．
∴在中，
．
，
．
，
．
．

21.【答案】【小题1】
解：①分析：点在线段上，则，
而要使，即需要，
因此需要点在线段的垂直平分线上，
所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点．
②由题意作图如下：
【小题2】
解：由题意，作图如下：
【小题3】
EF
a-b+c

22.【答案】【小题1】
​​​​​​​
​​​​​​​
【小题2】
证明：由题意得，，
为正整数，
能被8整除，
∴对任意的正整数，一定能被8整除；
【小题3】
解：是，
∵，
又是第个“特征数”，由（2）可知，
，
为正整数，
∴该数是第个“特征数”．

23.【答案】【小题1】
解：小明设计的桥如图所示：

【小题2】
解：如图4，图5中分别画出当采用Ⅰ型和Ⅱ型桥形时的桥，

比较图4，图5可知，两种桥形从到的距离都相等，Ⅰ型，Ⅱ型，则采用Ⅱ型桥形，最短路径的长度更短，
故答案为：Ⅱ；
【小题3】
10

24.【答案】【小题1】
解：补全图形如图1，
∵点与点关于直线对称，
∴直线垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
；
【小题2】
解：，．
证明：延长至点，使，连接，如图2．
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
∵点与点关于直线对称，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
∴，
，
．

25.【答案】【小题1】
​​​​​​​
​​​​​​​
【小题2】
解：设，，
则
．
，，
．
．

26.【答案】【小题1】
，​​​​​​​
【小题2】
解：∵直线l过点且垂直于x轴，
∴直线，
又∵，，
∴以为底边作等腰直角与，
∴线段的“可及点”即在与内部或边上（不包括上），
若线段上存在线段的“可及点”，则关于直线l对称线段与正方形有交点即可，
∴，，
如图，当正方形端点N与重合时，此时，
当正方形端点M与重合时，此时，即，
当与重合时，此时，

综上所述，m的取值范围是且．
【小题3】
解：∵直线l经过点且垂直于x轴，
∴当时，将分别沿所在直线与y轴对称，得到与，
∵点，，的三条边上的所有点都是线段的“可及点”，
∴以为边的等边需全部包含住到的所有等边三角形，
如图，当过边时，此时过点与Q分别作轴，轴，

∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，解得，
同理，如图，当过边时，

∴有，
综上所述，n的取值范围为．