四川省绵阳市2026届高三上学期1月二诊数学（A）试卷（PDF版附答案）

这是一份四川省绵阳市2026届高三上学期1月二诊数学（A）试卷（PDF版附答案），文件包含数学试题pdf、数学docx、绵阳市高中2023级第二次诊断性考试数学答题卡pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．D2．C3．A4．B5．C6．D7．B8．A
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．BD10．ABD11．ABD
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．60◦； 13．6； 14．2
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）由正弦定理得：，2分
又∵，3分
∴，4分
∴，5分
∴，6分
又sinB，
∴；7分
（2）由余弦定理：，9分
∴，11分
∵△ABC的周长为8，
∴，12分
∴c=2，则．13分
16．解：（1）∵，2分
∴，又，4分
∴所求切线方程为：，6分
（2）∵，8分
所以由，得的单调递增区间为：(2，3)，(6，+∞)；9分
由得的单调递减区间为：(3，6)，10分
∵，，12分
∵，则，14分
所以的最小值为．15分
17．解：（1）证明：∵，，
∴两式相减得，2分
即，4分
又∵，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列；6分
（2）由（1）易得，，7分
，，
∴两式相加得，8分
即，，9分
当时，满足上式，
∴数列是首项为4，公差为4的等差数列，易得，11分
∴ ，解得，13分
∴ 14分

．15分
18．解：（1）将点代入椭圆方程可得：，，1分
解得：，，2分
∴椭圆方程为：；3分
（2）方法一：设，，，
∴，，
由，则，即，4分
代入椭圆方程可得：，
整理得：，5分
又，在椭圆上，则，，
代入上式可得：，平方可得：，6分
∵直线OA的方程为：，
∴点到直线OA的距离，7分
∴△OAB的面积：，8分
∴
，9分
∴△OAB的面积为定值；10分
（2）方法二：设，，，
∴，，
由，则，即，4分
代入椭圆方程可得：，
整理得：，5分
又，在椭圆上，则，，
代入上式可得：，
又，在直线上，
故，则，
整理得到：……（*）6分
联立方程：，整理得到：，
由，
由韦达定理：代入（*）式，得：，7分
此时：
，8分
O(0，0)到直线的距离：，9分
所以△OAB的面积：；10分
（3）设，，，，
∵直线AB与直线DE平行，则直线AB与直线DE的斜率均为，
由平行关系，可设，即，，11分
由，则，
∴，12分
同理，由可得：，
又，在椭圆上，故，，
相减可得：，13分
∴，则…… = 3 \* GB3 ③14分
同理：，则…… = 4 \* GB3 ④15分
= 3 \* GB3 ③+ = 4 \* GB3 ④可得：，16分
∴，又，故m=2n．17分
19．解：（1）证明：由题意，可知，1分
如解图1，取PE中点H，连接HF，HG，
则HF⊥PE，GH⊥PE，结合HF，HG平面HGF，
故PA⊥平面HGF，2分
又∵FG平面HGF，故PA⊥FG；
（2）设AC与BD的交点为O，
∵平面PAC，平面PAC平面EBD = EO，
结合PC∥平面EBD，故PC∥EO，4分
∵E为PA的中点，故O为AC的中点，
如解图2所示，建立空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，P(0，0，2)，，
设，，AC中点O(1，0，0)，
则有，∵，
故，
得，同理可得，5分
不妨设，，其中，，
∵BD过O(1，0，0)，从而，
由，，
得，则，6分
设平面PAB与平面PAD的法向量分别为，，
从而有，即，可得，
同理可得，7分
故
，8分
且易知，满足θ为钝角，
而，当且仅当，时取等，
故，
二面角B-AP-D的平面角的余弦值的最大值为；10分
（3）∵BD//FG，且PA⊥FG，
故PA⊥BD，结合PC⊥平面ABD，则可得PC⊥BD，
因此BD⊥平面PAC，故BD⊥AC，
由（2）知，，
故B，D关于平面PAC对称，
设，则，其中且，
设△ABD的外心为S，显然S应在x轴上，
设，∵|SB|=|SA|，
故有，整理得，12分
同时PA在平面PAC中的垂直平分线恰为CE，
因此球心T即为过S且垂直于平面ABD的直线与CE的交点，
故，13分
令，则且，代入及表达式，
得，
因此，令，
故，且，14分
且给定该球的半径时，三棱锥P-BCD的体积有3个可能的值，
等价于有3个不同的解，即有3个不同的解，
①当时，关于w的方程，
在区间上有唯一解，
此时关于v的方程仅在区间(‒2，0)有一解，不满足题意；15分
②当时，关于w的方程恰有两解，
，方程在区间(‒2，0)有1解，有唯一解．故共有2组解，不满足题意；16分
③当时，关于w的方程在，分别有一解. 此时关于v的方程在区间(‒2，0)有一解，在有2解，共3解，符合题意，
因此，即，
综上所述，该球半径的取值范围是；17分
思路二：令，则且，
代入的表达式为：，
则，结合，后同解法一的讨论．
方法二：（3）∵BD//FG，且PA⊥FG，故PA⊥BD，结合PC⊥平面ABD，则可得PC⊥BD，
因此BD⊥平面PAC，故BD⊥AC，由（2）知，，
故B，D关于平面PAC对称，设，则，其中且，
设球心，则，
∴
化简整理得：，且，故，
下同方法一．