河北省NT20名校联合体2025-2026学年上学期高二期末数学试卷（含答案）

这是一份河北省NT20名校联合体2025-2026学年上学期高二期末数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了 本试卷共150分， 请将各题答案填在答题卡上， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 本试卷共150分。考试时间120分钟。
2. 请将各题答案填在答题卡上。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 直线x−4y+1=0的一个方向向量的坐标可以是
A. (1,4) B. (−4,1)
C. (−1,4) D. (4,1)
2. 抛物线3x2−4y=0的准线方程是
A. y=13 B. y=−13
C. x=316 D. x=−316
3. 设向量a=(2,3,λ)，b=(0,1,1)，若a⊥b，则λ=
A.3 B.2
C. −3 D. −2
4. 已知双曲线C的实轴长是虚轴长的3倍，则C的离心率为
A. 103 B. 113
C. 233 D. 43
5. 已知等比数列{an}的公比为q，则“数列{an}是递增数列”是“q>0”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 圆x2+y2−9=0与圆x2+y2−2x−4y+1=0的公共弦长是
A. 23 B. 22
C.3 D.4
7. 在数列{an}中，a1=1，an=a1+a22+a33+⋯+ann，n∈N∗，若不等式(n−1)anS17>S19，则 |a19+a20|>|a17+a18|
C. 若 S17=S19，则 S37S17，则 a16+a17+a20+a21b>0)与圆 M 无公共点，l 与椭圆 N 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，D 为 AB 的中点，且点 D 不在 x 轴上，则直线 OD 的斜率为 ________。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
如图，把边长为2的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得点 D 到达点 D' 处，BD'=2，O，M 分别为 AC，AD' 的中点。
（1）求证：平面 ABC⊥ 平面 ACD'；
（2）N 为直线 MO 上的动点，求直线 BN 与平面 BCD' 所成角正弦值的最大值。
16.（本小题满分15分）
已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，a1=1，an+1−an=1(n≥2)，a2=−7。
（1）求 {an} 的通项公式 an 及 Sn；
（2）求数列 {|an|} 的前 n 项和 Tn。
17.（本小题满分15分）
已知点 P(m,4) 在抛物线 C:y2=2px(p>0) 上，F 是 C 的焦点，|PF|=5。
（1）求 C 的标准方程；
（2）若 l 是 C 的准线，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 M，线段 MF 交 C 于点 N，且 ∆PMF 为锐角三角形，FN→=λFM→，求 λ 的值及 ∆PMF 的外接圆半径。
18.（本小题满分17分）
已知数列{an}满足a1=1，an+1=anan+2。
（1）证明：数列1an+1是等比数列，并求an；
（2）设bn=(2n+1)1an+1，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）设cn=2nan，证明：∑i=1n1ci0,q>1,或{a10”的充分不必要条件.故选A.
6.D【解析】设圆C1:x2+y2−9=0，圆C2:x2+y2−2x−4y+1=0，用圆C1的方程减去圆C2的方程，得到公共弦所在直线的方程为x+2y−5=0，对于圆C1:x2+y2=9，其圆心C1(0,0)，半径r=3，圆心C1到直线x+2y−5=0的距离d=|0+2×0−5|12+22=5，所以公共弦长是2r2−d2=232−(5)2=4.故选D.
7.C【解析】已知an=a1+a22+a33+⋯+ann,n∈N∗①，当n≥2时，an−1=a1+a22+a33+⋯+an−1n−1②，① - ②可得：当n≥2时，an−an−1=ann，即ann=an−1n−1，由a1=1，可得a11=1，所以数列ann是各项均为1的常数列，因此ann=1，即an=n.将an=n代入不等式(n−1)an0，解得nn(n−1)2n−1对∀n∈N∗恒成立，所以k>32，即k∈32,+∞.故选C.
8.C【解析】由题意得，区间[m2+1,m2+2m+2)上的项数为(m2+2m+2)−(m2+1)=2m+1，所以当m确定时，有2m+1个连续的n，对应an=2m+1。当m=0时，1≤n