浙江省嘉兴市2024-2025学年高二上学期期末测试数学试题 含解析

这是一份浙江省嘉兴市2024-2025学年高二上学期期末测试数学试题 含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题目要求的.
1. 经过点 且倾斜角为 的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线的倾斜角及直线方程即可求解.
【详解】根据题意，要求直线的倾斜角为 ，则该直线与 x 轴垂直，其斜率不存在，
又由直线过点 ，
则其方程为
故选： .
2. 在空间直角坐标系中，已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用向量坐标运算计算即可.
【详解】解：因为向量 ， ，
则
故选：
3. 已知等差数列 的前 n 项和为 ， ， ，则 （ ）
A. 9 B. 15 C. 24 D. 35
【答案】D
【解析】
【分析】设等差数列 的公差为 d，根据等差的数列的通项公式及前 项和公式即可求解.
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（北京）股份有限公司【详解】设等差数列 的公差为 d， ， ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选： .
4. 抛物线 的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出焦参数 ，根据焦点的位置确定准线方程．
【详解】由题意焦点在 轴正半轴， ， ，所以准线方程为 ．
故选：C．
5. 已 知 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， ， P 为 C 上 一 点 ， 满 足 ， 则
（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设 ， ，根据椭圆定义得到 ，再由题中条件，结合勾股定理，即
可得出结果.
【详解】解：设 ， ，
因为椭圆 C： ，
所以由椭圆的定义可知 ， ，
所以 ，即 ，
由勾股定理可知： ，
求得
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（北京）股份有限公司故选：B.
6. 已知二面角 大小为 ，棱 l 上有 A，B 两点，线段 AC 与 BD 分别在这个二面角的两个半平
面内，并且线段 AC 与 BD 都垂直于 若 ， ， ，则 CD 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出草图，根据向量垂直的结论得到 ，再根据二面角大小，借助向量法，
结合数量积公式计算即可.
【详解】解： ， ， ，
又 直线 分别在这个二面角的两个半平面内，二面角 的大小为 ，
， ，
，
，
，
故选：A.
7. 已知 A，B 为圆 上的两个动点，且 ，若直线 上存在点 P，且
P 为线段 AB 的中点，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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（北京）股份有限公司【分析】取 AB 的中点为 ，连接 ，由题意可得 ，即点 在以 为圆心，
1 为半径的圆上，由题意可得 ，解不等式即可求解.
【详解】圆 C 的方程为 ，所以圆心为 ，半径 ，
取 AB 的中点为 ，连接 ，
由于 ，则 ，
因此点 在以 为圆心，1 为半径的圆上，
又点 在直线 上，
所以直线 与圆 ，有公共点，
则 ，解得 ，
故实数 m 的取值范围是
故选： .
8. 定义 若数列 的前 n 项和 ，数列 满
足 ， ，令 ，且 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
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（北京）股份有限公司【分析】根据题意求得 ， 结合 ，且 恒成立，得
到 ， 或者 ，列出不等式，即可求得取值范围．
【详解】解：因为 ，
当 时， ，
当 时， ， 满足上式，
故
因为 ，
所以 即 ，
所以 ，即
因为 ，且 恒成立，
所以 ， 或者 ，
即 或者 ，
解得 或者 ，
所以
故选：B.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 圆 的半径为
B. 椭圆 的离心率为
C. 双曲线 的实轴长为 2
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（北京）股份有限公司D. 抛物线 的焦点坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据圆的方程求得半径，结合椭圆离心率公式，双曲线的实轴概念，抛物线焦点概念，逐项判定
即可.
【详解】解：对于 A，圆 的标准方程为： ，半径为 ，
故 A 正确；
对于 B， ， ， ，得 ，故 B 正确；
对于 C，双曲线 的实轴长为 4，故 C 错误；
对于 D，由方程的 ， ，焦点坐标为： ，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 等比数列 的公比为 ，且满足 ， ， ，记 ，
则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 使 成立的最小自然数 等于
【答案】AD
【解析】
【分析】利用等比数列的通项及其性质逐一求解即可.
【详解】对于 A 选项，因为 为等比数列，且 ， ，
若 ，则 ，不合乎题意，
若 ，则 ，这与 矛盾，
若 ，则 ，这与 矛盾，
若 ，由 ，所以 ， ，故 A 正确；
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（北京）股份有限公司对于 B 选项，由等比中项知 ，所以 ，故 B 错误；
对于 C 选项，因为 ，故 C 错误；
对于 D 选项，由等比中项知：
，
，故 D 正确；
故选：AD.
11. 四棱锥 的底面为正方形， 底面 ， ， ， ，
，其中 ，下列说法正确的是（ ）
A. 存在实数 ，使得异面直线 与 的所成角为
B. 三棱锥 的体积为
C. 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
D. 二面角 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和线的方向向量，以及面的法向量，结合向量夹角公式，
基本不等式和棱锥体积公式计算，逐个验证判断即可.
【详解】解：
如图，将四棱锥 补形成正四棱柱 ，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
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（北京）股份有限公司由 ，得 ，同理 ，
对于 A 选项： ， ，所以 ，
即 ，故 A 错误；
对于 B 选项： ，故 B 正确；
对于 C 选项： ， ，
设 为平面 的一个法向量，则 ，即 ，
取 ， ，
设直线 与平面 所成角 ，
则 ，即 ，
要求 的最大值，只需考虑 ，令 ，
则 ，故 ，当且仅当 ，
即 时取等号，
所以 ，故 C 正确；
对于 D 选项： ， ， ，
设 为面 的一个法向量，则 ，即 ，
取 ，同理可求得面 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以当 时，二面角 的最大值为 ，故 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在空间直角坐标系中，已知平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
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（北京）股份有限公司若 ，则实数 k 的值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解.
【详解】解： ， ，
存在实数 使得
，解得
故答案 ：
13. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 若是偶数，就将该数除以 反复进行上述两种运算，
经过有限次步骤后，必进入循环圈 这就是数学史上著名的“冰雹猜想” 又称“角谷猜想”等 如
取正整数 ，根据上述运算法则得出 ，共需经过 3 个步骤变成 简称为 3 步“雹程” 现
给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 满足： 为正整数 ，
，当 时，使得 需要__________步雹程.
【答案】7
【解析】
【分析】由 求解.
【详解】解：当 时， ，共 7 步，
故答案为：7
14. 已知抛物线 ，点 在 C 上，k 为常数， 按照如下方式依次构造点
和 过点 作斜率为 k 的直线与 C 的另一交点为 ，过点 作斜率为 的直线
与 C 的另一交点为 ，记 的坐标为 ， 的坐标为 ，直线 的斜率为 ，则
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（北京）股份有限公司__________.
【答案】
【解析】
【分析】由 在 C 上，求得抛物线方程，故 ，再结合抛物线方程得到 和
，从而得到 求解.
【详解】因为点 在 C 上，故 ，抛物线 ，
因为 ， ，直线 的斜率为 k，
所以 ①
同理 ②，
两式相加化简得 ，
所以 ，
因此 ，即
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，圆 经过点 ，且与圆 相切于点
（1）求直线 的方程;
（2）求圆 的标准方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
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（北京）股份有限公司【分析】（1）根据直线斜率公式所求切线的斜率 ，再运用点斜式直线方程求解.
（2）方法一：用待定系数法即可求解；
方法二：根据圆上的弦的垂直平分线经过圆心即可求解.
【小问 1 详解】
把圆 化为标准方程 ，得圆心 ， ，
则直线 ，即
【小问 2 详解】
方法一：设圆 的方程为 ，
则
两式相减得 ，则 ，又因为 ，
所以 ，故所求圆 的方程为
方法二：圆心 线段 MN 的中垂线方程为 ，
则圆心 在直线 上，
也在直线 上，
解得圆心 ，
圆 的半径 ，
圆 的标准方程
16. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ，E 为 的中点，点 F
满足 ，其中
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（北京）股份有限公司（1）若 平面 ，求 的值；
（2）当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，先根据已知点坐标求出相关向量，再依据线面平行时向量与平面
法向量的关系求出参数值，从而得解；
（2）利用（1）中结论，结合两个平面法向量的夹角来计算面面角的余弦值.
【小问 1 详解】
因为 ，由已知得 平面 ABC，如图
建立空间直角坐标系，所以 ， ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
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（北京）股份有限公司则 ，即 ，取 ，
因 ，
所以 ， ，
因为 平面 ，
所以 ，则
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ， ， ，
设平面 AEF 的法向量为 ，
则 即 ，取向量 ，
设平面 与平面 AEF 所成角为 ，
则
所以平面 与平面 DBE 所成角的余弦值为
17. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，点 在双曲线 C 上.
（1）求 C 的方程;
（2）过点 的直线 l 交双曲线 C 的左支于 A，B 两点，记直线 PA，PB 的斜率分别为 ， ，是
否存在常数 ，使得 恒成立?若存在，求 的值;若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）首先根据双曲线渐近线方程和已知点在双曲线上，求出双曲线方程.
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（北京）股份有限公司（2）设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得到交点坐标的关系，再根据直线斜率公式表示出
、 ，通过计算判断是否存在满足条件的常数 .
【小问 1 详解】
由已知得 解得 ， ，
所以双曲线 C 的方程为
【小问 2 详解】
设 ， ，由题意知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 ，
联立 消 x 得
解得 ，假设存 实数 ，使得 2 恒成立，
当 ，有一个交点为 ，此时 不满足，故 ，
因此 ， ，
则
故存在实数 满足条件.
18. 已知 为等差数列， ， ，记 .
（1）求数列 ， 的通项公式;
（2）在 与 之间插入 n 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，
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（北京）股份有限公司（i）求数列 的前 n 项和
（ii）在数列 中是否存在 3 项 ， ， 其中 m，k，p 成等差数列 成等比数列?若存在，求出这
样的 3 项;若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ， ；
（2）（i） ；（ii）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出数列 的公差，进而求出通项公式.
（2）（i）利用等差数列通项求出 ，再利用错位相减法求和得 ；（ii）假定存在，列式推理判断即可得解.
【小问 1 详解】
依题意，等差数列 的公差 ，
， ，
所以数列 ， 的通项公式分别为 ， .
【小问 2 详解】
（i）依题意， ，则 ， ，
设 ，记 前 n 项和 ，
， ，
两式相减得：
，
因此 ，所以 .
（ii）假设数列 中存在 3 项 ，（其中 成等差数列）成等比数列，则 ，
于是 ，即 ，
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（北京）股份有限公司由 成等差数列，得 ，则 ，
化简得 ，因此 ，又 ，则 与已知矛盾，
所以数列 中不存在三项 ， ， 成等比数列.
19. 造型 可以看作图中曲线 C 的一部分，已知 C 过坐标原点 O，且 C 上的点满足横坐标大于 ，到点
的距离与到定直线 的距离之积为
（1）求 a 的值;
（2）当点 在 C 上时，求证：
（3）如图，过点 F 作两条互相垂直的弦，分别交曲线 C 于 ， ， ，
，其中 ，求四边形 面积的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据曲线 C 上的点满足的条件，结合 可求 a 的值；
（2）当点 在 C 上时，方法一：利用 解不等式求解；方法二：
利用 求解；方法三：设点 P 在 x 轴与直线 上的射影分别为 Q，R，利
用 求解即可.
（3）讨论直线 的斜率，当斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ，其中 ，利用弦
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（北京）股份有限公司长公式，三角形面积公式可得 ，再结合换元法以及三角函有界性可
求四边形 面积的最小值.
【小问 1 详解】
因为 O 在曲线上，所以 O 到 的距离为 ，而 ，
所以有 ，即
【小问 2 详解】
方法一：因为 ，所以曲线 C 的方程为 ，
可化为 ，即 ，
因此 ，
所以 ，当且仅当 且 时取等号.
方法二：同上曲线 C 的方程为 ，
因此 ，
所以 ，当且仅当 且 时取等号.
方法三：如图设点 P 在 x 轴，直线 上的射影分别为 Q，R，
则根据定义 ，
因此 ，即 ，
所以 ，当且仅当 且 时取等号.
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（北京）股份有限公司【小问 3 详解】
由 ，得
当其中一条直线的斜率为 0 时，另一条直线的斜率不存在，此时
当两条直线斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的斜率为 k，倾斜角为 ，由对称性不妨设 ，
，则直线 AB 的方程为 ，其中 ，直线 的方程为 ，
联立
化简得到 ，
所以
则 ，
故 ，
，
同理 ，所以 ，
令 ，
令 ，
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（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增，当 ，即 时， ，
此时 ，
综上所述四边形 面积的最小值为
【点睛】方法点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定
义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数
的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
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