山东省烟台市2024-2025学年高一上学期期末考试 数学 含解析

这是一份山东省烟台市2024-2025学年高一上学期期末考试 数学 含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式即可求解.
【详解】，
故选：C.
2. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.
【详解】，，
且函数的定义域是0,+∞，定义域内是增函数，也是增函数，所以是增函数，且，
所以函数的零点所在的区间为.
故选：B
【点睛】方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.
3. 已知点在角终边上，则下列角中与终边相同的是（ ）
A 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数的定义和诱导公式即可判断.
【详解】由题意，得，，
则与终边相同的是.
故选：B
4. 溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，则胃酸的pH为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数运算性质即可求解.
【详解】由题意，得若胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，则胃酸的pH为：
故选：C.
5. 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由弧和其所对的弦围成，若弦长度为2，弧所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过作，垂足为，利用锐角三角函数求出，即可求出弧的长，最后根据弧田的面积即可求解.
【详解】过作，垂足为，易知为中点，，

因为，，所以，，
所以弧的长为，
因为，，
所以弧田的面积.
故选：D
6. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 的定义域为B. 的值域为
C. 为偶函数D. 是其定义域上的减函数
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义求出解析式，然后对选项逐个判断即可.
【详解】设，则，解得，故，
则的定义域为，故A错误；
的值域为，故B错误；
，则为偶函数，故C正确；
在和上分别单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误.
故选：C.
7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数的图象与性质比较大小和利用幂函数的图象与性质比较大小.
【详解】因为在上为增函数，且，
所以，即，因此
因为，，所以，
而函数在是增函数，因此
因为在上为增函数，且，
所以，即，因此
综上所述，
故选：A.
8. 已知函数，则（ ）
A. 为偶函数，且在上单调递增
B. 为偶函数，且在上单调递减
C. 为奇函数，且在上单调递增
D. 为奇函数，且在上单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】首先明确函数的定义域，并且利用诱导公式化简解析式，然后利用奇偶性的概念验证奇偶性；再利用函数单调性的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性和不等式的性质即可判断在上的单调性.
【详解】因为的定义域为，并且
，
又，
所以为偶函数；
设、，并且，则，，
所以，，，
于是，
即，所以在上单调递增，所以A正确，BCD错误.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，且，则（ ）
A. 的定义域为B. 为偶函数
C. 在上单调递减D. 的最大值为0
【答案】AB
【解析】
【分析】选项A根据对数有意义的条件可得；选项B根据偶函数的定义可得；选项C根据复合函数的单调性判断可得；选项D因单调性不确定，故不确定最值情况.
【详解】函数，且，
解得，
故函数的定义域为，
又，
∴fx为偶函数.
，
不知道还是，故不能判断的单调性和最值情况，
综上，AB正确，CD错误.
故选：AB
10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递增
D. 若在上有3个零点，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】因为函数的图象关于直线对称，可求得，对于，故选项A正确；再根据正弦型函数的图像及性质逐一判断B、C、D选项即可.
【详解】因为的图象关于直线对称，所以，解得，
又，所以，所以，所以最小正周期，故选项A正确;
因为，所以的图象关于点对称，故选项B正确;
当时，，所以在区间上不单调，故选项C错误;
当时，，因为在上有3个零点，所以，解得，故选项D正确，
故选:
11. 若定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“函数”，则下列说法正确的有（ ）
A. 是“函数”
B. 是“函数”
C. 若是“函数”，则
D. 若是“函数”，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题中“函数”的定义，得到函数在上的值域与函数在的值域的关系，且两个值域交集对应区间上函数是单调的.然后利用函数的单调性求值域，对各个选项逐一分析即可.
【详解】设在上的值域为集合S，在上的值域为集合T，
因为对任意的，都存在唯一的，使得，
则必须满足
对于A，在上的值域为，即，
在上的值域为即
满足，
且由的图像可得对任意的，都存在唯一的，使得，
故是“函数”，故A正确；
对于B，在上的值域为即
在上的值域为，即，
不满足，故不是“函数”，故B错误；
对于C，，其图像关于对称，
当时，
在上的值域为即
在上的值域为，即
若是“函数”，
由，所以，解得，与矛盾.
当时，
在上的值域为，即，
在上的值域为即
若是“函数”，
由，所以，即，解得
且由的图像可知对任意的，都存在唯一的，使得，
故满足题意.

综上所述，若是“函数”，则，故C正确；
对于D，若，
在上单调递增，
所以在上的值域为，即，
在单调递减，在上单调递增，
所以在上的值域为即
则，所以，解得，
又，所以
要满足对任意的，都存在唯一的，使得，
则需，解得，所以
当时，此时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的值域为，即，
在上的值域为，即
由的图像可得，对任意的，都存在唯一的，使得，
故符合题意.

当时，
在上单调递减，
在单调递减，在上单调递增，
所以在上的值域为即
在上的值域为，即
此时，即，
不满足任意的，都存在唯一的，使得，
综上所述，，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛，本题对函数进行了新的定义，所以充分理解定义，然后根据定义分别判断各个选项即可.对于含参的函数，需要对参数进行分类讨论，在分别求出对应区间的值域，由定义进行判断即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，，解不等式得出结论.
【详解】由题意，，所以，，
所以，，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
13. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点)从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________(单位：

【答案】40
【解析】
【分析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，把吊箱B离地面的高度h表示为时间t的三角函数，令即可求出答案.
【详解】以O为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，

设吊箱B离地面的高度为h，则
，
令，得，
或，，
或，，
因为第4次达到158m，
所以时，吊箱B第4次距离地面158m，
故答案：
14. 已知函数，且下列四个结论：①是的零点，②是的零点，③的零点之积为3，④方程只有一个实根，只有一个结论错误，则错误结论的序号为__________；若方程有三个不等的实根，则实数a的取值范围为__________.
【答案】 ①. ② ②.
【解析】
【分析】首先解得函数的零点，判断零点的范围，推出①和②③均矛盾，故求得，然后验证即可得出错误结论的序号;
把分段代入方程，有三个不等的实根求得的取值范围.
【详解】函数，
因为在0