陕西省宝鸡市岐山县蔡家坡高级中学2025_2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份陕西省宝鸡市岐山县蔡家坡高级中学2025_2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多项选择，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 若抛物线的准线方程为, 则抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】由题得抛物线的标准方程为.故选D.
2. 已知等比数列中，，则的值等于（ ）
A. 4B. 8C. ±4D. ±8
【正确答案】C
【分析】根据等比数列的性质可求.
【详解】是等比数列，，.
故选：C.
3. 如果等差数列中，++=12，那么++…+=
A. 14B. 21C. 28D. 35
【正确答案】C
【详解】试题分析：等差数列中，，则
考点：等差数列的前项和
4. 设抛物线的焦点为，若点在抛物线上，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【正确答案】C
【分析】由抛物线的定义求出p的值.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
点在抛物线上，且，由抛物线的定义可知，则.
故选：C
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 40B. 70C. 90D. 100
【正确答案】D
【分析】利用等差数列的前项和分别求出首项和公差，代入公式即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
因为，，所以，解得：，
所以，
故选.
6. 设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据渐近线方程求出a与b的关系即可.
【详解】双曲线 的渐近线方程为： ，
又 ；
故选：A.
7. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S16＜0，S17＞0，则Sn的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由已知结合等差数列的求和公式可得，a1+a16＝a8+a9＜0，a1+a17＝2a9＞0，从而可得a8＜0，a9＞0，即可判断．
【详解】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S16＜0，S17＞0，，∴a1+a16=a8+a9＜0，
，∴a1+a17=2a9＞0，∴a8＜0，a9＞0，∴a1＜0，d＞0，则当n=8时，Sn取最小值S8．
故选C．
本题考查了等差数列前n项和与等差数列性质的简单应用，属于基础题．
8. 已知椭圆，焦点是，，动点P在椭圆上，则的最小值（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得的最小值.
【详解】在椭圆中，，，，
由椭圆定义可得，，
由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
二、多项选择（本题共3小题，每小题6分共18分.在小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 数列6，4，2，0是公差为2的等差数列
B. 若{}为等差数列，为前n项和，则，，…仍为等差数列（）
C. 若{}为等差数列，，则前n项和有最大值
D. 等差数列的通项公式一定能写成的形式（k，b为常数）
【正确答案】BCD
【分析】根据等差数列的定义、通项公式，结合等差数列前n项和的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以该数列是公差为的等差数列，因此本选项说法不正确；
B：由等差数列的前n项和性质可知本选项说法正确；
C：因为，
所以当时，有最大值，因此本选项说法正确；
D：因为，
所以等差数列的通项公式一定能写成的形式（k，b为常数），因此本选项说法正确，
故选：BCD
10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A. 的坐标为B.
C. D. 以为直径的圆与轴相切
【正确答案】BCD
【分析】由抛物线的方程求出焦点的坐标，可判断A选项；利用抛物线的定义可求得的值，可判断B选项；先根据抛物线的方程求的值，再利用平面内两点间的距离公式可判断C选项；求出的中点坐标，进而可得该点到y轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断D选项.
【详解】对于抛物线，可得，且焦点在y轴正半轴上，则点错误；
由拋物线的定义可得，可得正确；
由可知，，可得，C正确；
∵的中点坐标为，则点到y轴的距离，
∴以为直径的圆与轴相切，D正确.
故选：BCD.
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 面积的最大值为
C. 的最大值为
D. 满足是直角三角形的点有4个
【正确答案】BC
【分析】利用余弦定理判断A；利用三角形的面积公式判断B；利用椭圆的定义判断C；利用平面向量的数量积判断D.
【详解】在椭圆中，，，，且，
对于A，当时，则，
由余弦定理得，
而，则，A错误；
对于B，当点为椭圆的短轴端点时，点到轴的距离最大，
因此面积的最大值为，B正确；
对于C，由，即，
得，C正确；
对于D，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，
当为直角顶点时，设点，则，，
，，解得，
此时满足条件的点有个，所以满足是直角三角形的点有个，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设数列的通项为，则______．
【正确答案】89
【分析】结合数列项的正负特点化简数列，然后结合等差数列的求和公式即可求解.
【详解】由可知当时，，当时，．
则
．
故89
13. 椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线方程是_______.
【正确答案】
【分析】由椭圆与双曲线有相同的焦点，判断焦点位置再由焦距相同建立关于的方程求解即可.
【详解】由方程表示双曲线可知，则焦点在轴上，
由椭圆与双曲线有相同的焦点，
则椭圆焦点也在轴上，且焦距相同，设它们的半焦距为，
故，解得（舍），或，
故双曲线方程为，
故答案为.
14. 数列中，则_____________.
【正确答案】
【分析】
对两边取到数可得，从而可得数列是等差数列，求出数列的通项公式，即可求出.
【详解】因为，所以，即，又，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，所以.
故
本题主要考查取到数构造新数列，同时考查等差数列的概念及通项公式，属于中档题.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在等差数列中，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设前n项和为，若，求n的值．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用等比数列与等差数列的通项公式及其性质即可得出；
（2）根据等差数列的求和公式直接计算即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意得
解得
故．
（2）因为前n项和为，
所以，
整理得，
故（舍去）或．
本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了运算能力，属于中档题.
16. 已知数列满足，，，若.
（1）求证：是等差数列；
（2）求的前项和的最小值；
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）.
【分析】（1）由得到即可由等差数列定义求证；
（2）由（1）结合等差数列的前项和公式求出，再由二次函数性质即可求解.
【小问1详解】
证明：由得，
所以，又.
所以是首项为，公差为的等差数列；
【小问2详解】
由（1）得，
因为，所以当时前项和取得最小值为.
17. 记正项数列前项和为，已知，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项的和，求及表达式
【正确答案】（1）
（2），
【分析】（1）利用求出即可；
（2）利用裂项相消法求出.
【小问1详解】
因为，所以当时，
两式作差得，
又，符合上式，故；
【小问2详解】
由（1）得，，
故，
故.
18. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题意得， ，利用求得即可求解方程；
（2）设，，代入椭圆方程作差求得直线的斜率，代入点斜式直线方程即可求解.
【小问1详解】
设的焦距为，因为的长轴长是短轴长的倍，所以.
因为的焦距为4，所以，解得，
因为，所以，解得，
所以，则的方程为.
【小问2详解】
设，，因为点，在上，所以
两方程相减得，所以.
因为是线段的中点，所以，
即直线的斜率为，所以直线的方程为，即.

19. 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线与双曲线交于点，其中点在第二象限．
①求；
②已知双曲线左、右顶点分别为，设直线的斜率分别为，求的值．
【正确答案】（1）
（2）①；②
【分析】（1）根据点在双曲线上结合离心率计算得出，即可得出双曲线方程；
（2）①联立直线和双曲线方程得出韦达定理即可得出弦长；②应用斜率公式结合韦达定理计算求出定值.
【小问1详解】
因为点在双曲线上，所以．
离心率为，解得．
故双曲线的标准方程为．
小问2详解】
①设．
联立得，则．
故．
②．
由题意得点都在双曲线的左支上，且点在第二象限，所以，
则．
故．