山东省青岛第六十八中学2025_2026学年高一上学期12月质量检测数学试题 [含答案]

这是一份山东省青岛第六十八中学2025_2026学年高一上学期12月质量检测数学试题 [含答案]，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．方程的解所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（ ）
A．B．8C．D．
5．若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f（2）=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则B．若，则
C．若，则D．若且，则
10．下列四个选项，正确的有（ ）
A．“点在第三象限”是“是第二象限角”的必要不充分条件
B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
C．若角的终边经过点，则
D．
11．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，则（ ）
A．
B．，都有
C．的值域为
D．，都有
三、填空题
12．计算 .
13．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ．
14．已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 .
四、解答题
15．（1）角以x轴正半轴为始边，终边落在如图阴影部分（包括边界）内，请用弧度制写出角的集合；
（2）已知角是第三象限角，且，求，的值；
（3）已知，求的值．
16．已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；
（3）求不等式的解集.
17．水葫芦原产于巴西能净化水质蔓延速度极快，在巴西由于受生物天敌的钳制，仅以一种观赏性的植物分布于水体.某市2018年底，为了净化某水库的水质引入了水葫芦，这些水葫芦在水中蔓延速度越来越快2019年一月底，水葫芦覆盖面积为，到了四月底测得水葫芦覆盖面积为，水葫芦覆盖面积（单位：），与时间（单位：月）的关系有两个函数模型且与可供选择.
（1）分别求出两个函数模型的解析式
（2）今测得2019年5月底水葫芦的覆盖面积约为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型求水葫芦覆盖面积达到的最小月份. 参考数据：，
18．已知奇函数的定义域为.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）当时，恒成立，求的取值范围．
19．某小组为了加深奇函数的理解，讨论提出了“局部奇函数”和“广义奇函数”两个概念：
①若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”；
②函数的定义域为，如果存在实数使得对任意满足且的实数恒成立，则称为“广义奇函数”．
（1）若，判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；
（2）判断函数是否为“广义奇函数”，如果是，求出对应的实数，如果不是，请说明理由；
（3）已知实数，对于任意的实数，函数都是定义域为的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
答案
1．【正确答案】A
【详解】由题意可得：，则.
故选A.
2．【正确答案】B
【详解】解：令，则为连续函数，
又因为，，，
所以方程的解所在区间为，，
故选．
3．【正确答案】B
【详解】因为，，，
所以，
故选B
4．【正确答案】C
【详解】由题意，
在中，，
即，解得，
故，所以，
因此.
故选C.
5．【正确答案】C
【详解】若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，；
令，则，则在上单增，，则.
故选C.
6．【正确答案】D
【详解】已知，是方程的两根，则有，
又由，
得，解得，故A错误；
又，则，又，所以，
所以，
又，，所以，则，故B错误；
又，解得，
所以，故C错误；
所以，故D正确.
故选D
7．【正确答案】D
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或，
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选D.
8．【正确答案】C
【详解】对任意的，且，都有不等式，
不妨设，则，
令，则，即函数在上为增函数，
因为函数的定义域上是奇函数，即，
则，所以偶函数，
所以函数在上为增函数，在上为减函数，
因为，则，
当时，即时，
由可得，
则，解得，
当时，即时，
由可得，
则，解得，
综上：不等式的解集是.
故选C.
9．【正确答案】BC
【详解】对于A，若且，当，时，则，故A错误；
对于B，，
因为，所以，，
所以，即，故B正确；
对于C，若，则，则，
当时，，所以，故C正确；
对于D，若且，
因为，所以，必为一正一负；
又，所以，，
当时，；
当时，则，故D错误.
故选BC.
10．【正确答案】BD
【详解】对A：由点在第三象限，可得，则属于第二或者第四象限，，则属于第二或者第三象限或角度终边落在轴的负半轴上，
故属于第二象限，即点在第三象限是是第二象限角的充分条件，故A错误；
对B：设扇形的圆心角为，半径为，圆心角所对的弧长为，
则，，解得或，当时，而此时圆的面积,不合题意，
所以，又，即，解得，故B正确；
对C：根据题意可得，故C错误；
对D：因为，，故，
故，故D正确.
故选BD.
11．【正确答案】ABD
【详解】因为函数，
A.，故正确；
B. ，易知在上递减，
所以，都有，故正确；
C. 当时，；当时，，所以 ，故错误；
D. 当时，，
要证明，都有，
即证明，
化简得，
即证明，即证明，
因为，
所以不等式恒成立，故D正确；
故选ABD
12．【正确答案】
【详解】原式.
13．【正确答案】
【详解】当时，都是增函数，
则在上为增函数，
故在R上单调递增，需满足，解得.
14．【正确答案】
【详解】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则，解得，故m的取值范围是.
【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.
15．【正确答案】（1）；
（2），；
（3）.
【详解】（1）角以x轴正半轴为始边，终边落在如图阴影部分（包括边界）内，用弧度制写出角的集合为；
（2）因为角是第三象限角，且，
所以，
；
（3）
16．【正确答案】（1）；（2）函数为奇函数；（3）.
【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式，
解得,
函数的定义域为.
（2）函数为奇函数，
证明：由第一问函数的定义域为，
，
所以函数为奇函数.
（3）解不等式，
即
即，
从而有，
所以.
不等式的解集为.
17．【正确答案】（1），．
（2）
【详解】（1）解：依题意函数过点和，
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
若选择模型，
则，解得，，
故函数模型为．
（2）解：若选择模型，即，当时，
若选择模型，即，当时，
因为，所以更合适，
令，则，两边取对数可得，
则，
所以水葫芦覆盖面积达到的最小月份是月份.
18．【正确答案】（1），
（2）函数在上单调递增，见详解
（3）
【详解】（1）为定义域为的奇函数，
，即，
，整理得，，解得，
故，
函数的定义域为，则，解得，
所以，；
（2）由（1）可知，，则函数在上单调递增．
证明如下：任取，且，
则，
，又，
在上单调递增；
（3）当时，，由可得，
即当时，，令，
则，
又，当且仅当时等号成立，所以，
则，
实数m的取值范围．
19．【正确答案】（1）为局部奇函数，理由见详解
（2）是“广义奇函数”，
（3）
【详解】（1）函数的定义域为，
由局部奇函数定义，得，即，
解得，而，所以为局部奇函数.
（2）假设函数是“广义奇函数”，
，令，解得，
此时，，
所以是“广义奇函数”，且．
（3）由，得在上恒成立，
由对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，
得对于任意的在上有解，
即在上有解，
整理得：在上有解，
因此的值域是的值域的子集，
由，得的值域是，令，则，
在上单调递减，
则当时，，当时，，
因此，解得：，
所以实数的取值范围.