江苏省宿迁市泗阳县桃源路中学2025_2026学年高一上学期第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份江苏省宿迁市泗阳县桃源路中学2025_2026学年高一上学期第二次月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】D
【分析】根据存在量词的命题的否定的规定，改变量词并否定结论即可.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：D
2. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】将角度转换为弧度后借助扇形面积公式计算即可得.
【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则，
则.
故选：A.
3. 关于的不等式的解集是，那么（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】分析可知、为关于的方程的两根，结合韦达定理可得出、的值，结合对数的运算性质可得出的值.
【详解】由题意可知，、为关于的方程的两根，
由韦达定理可得，解得，故.
故选：B.
4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据任意角的三角函数的定义求出，再化简可求得结果.
【详解】由题意得，
所以.
故选：B
5. 函数的图象大致为（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】由特殊点函数值即可判断.
【详解】因为，
结合图象只有D符合，
故选：D
6. 已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则、、的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据已知得出函数的对称轴为，再结合单调性得出函数在区间上单调递增，进而比较求解.
【详解】因为函数是偶函数，所以，所以函数关于直线对称，
又因为函数在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增，
又因为，所以，
又因为，所以，所以.
故选：C.
7. 已知关于x的一元二次方程的两根为sinα，csα，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由根与系数关系可得，，由同角三角函数的性质可得m的值．
【详解】关于x的一元二次方程的两根为
，可得m，
又由韦达定理可得
所以
解得即m．
故选：C．
8. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）
（结果取整数，参考数据：，）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【正确答案】D
【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得.
【详解】设经过个小时才能驾驶，则，即，
由于函数在定义域上单调递减，
所以，
故他至少经过7小时才能驾驶.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ACD
【分析】根据同角三角函数的基本关系判断选项.
【详解】对于A，因为，所以，
，
所以，故A正确；
对于B，由已知可得，
因为，
所以，故B错误；
对于C，D，由，
可得，所以，故C，D都正确．
故选：ACD
10. 已知，且，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小值为9B. 的最小值为4
C. 的最大值为2D. 的最小值为2
【正确答案】BC
【分析】根据基本不等式的性质，以及基本不等式的运用方法，逐一判断各选项正误，判断结果.
【详解】对于A，可知，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以A错误；
对于B，可知，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以B正确；
对于C，可知，
由，得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，
可知，所以C正确；
对于D，可知，则，
当且仅当时，即时取等号，因为，所以等号不成立，所以D错误；
故选：BC.
11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 点是函数的一个对称中心
C. 在上为增函数D. 方程仅有6个实数根
【正确答案】BCD
【分析】根据和的奇偶性可推导得到，，由可判断A；推导可得，即可判断B；作出图象，结合图象即可判断C；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象即可判断D.
【详解】为奇函数，，即，
关于点对称，
为偶函数，，即，
关于对称，
由，得：，
，即是周期为的周期函数，
对于A，，A错误；
对于B，，即，
关于点成中心对称，B正确；
对于CD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，

由图象可知：在上单调递增，C错误；
方程的解的个数，等价于与的交点个数，
，，
结合图象可知：与共有个交点，
即有个实数解，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为________________________；
【正确答案】
【详解】要使有意义，
则，
函数的定义域为
13. 用一根长度为的绳子围成一个扇形，则该扇形面积的最大值为___________．
【正确答案】
【分析】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，其中，利用扇形的面积公式与基本不等式可求得该扇形面积的最大值.
【详解】设扇形的半径为，则该扇形的弧长为，其中，
故该扇形的面积为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故该扇形面积的最大值为.
故答案为.
14. 若关于的不等式的解集为，且．则的取值范围为_____，的最小值是__________．
【正确答案】 ①. ②. .
【分析】第一空，即有2个大于1的根，由根的分布知识可得答案；
第二空，由韦达定理结合分解因式可得，然后由基本不等式可得答案.
【详解】的解集为，
则有2个大于1的根，则，
由韦达定理，可得，则.
注意到，
因，则，则，
故
.
当且仅当，即时取等号.
故；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）化简集合A与B，根据交集的定义求解即可.
（2）根据“”是“”的充分不必要条件，得B是A的真子集，由此得出实数a的取值范围．
【小问1详解】
集合，
当时，，所以.
【小问2详解】
由“”是“”的充分不必要条件，得集合B是A的真子集，
而，则或，解得或，
所以实数a的取值范围是.
16. 已知为第三象限角，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【正确答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解；
（2）利用齐次式以及弦切互化即可求解．
【小问1详解】
因为为第三象限角，且，
所以，解得（正值舍去），
所以；
【小问2详解】
．
17. 某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时．假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系：
（1）当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围；
（2）求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间．
【正确答案】（1）
（2）耗电总量最小值为8千瓦，设备当天运行6小时
【分析】（1）由题意列不等式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可.
（2）当时，利用基本不等式求解最小值，当时，利用二次函数性质求解最小值，然后比较即可求解.
小问1详解】
当时，，
由题意得，，
即，解得，
又，所以的取值范围为．
小问2详解】
由题意得，设设备一天的耗电总量为
，
①当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
②当时，，
当时取得最小值15；
因为，所以最小值为．
答：设备一天的耗电总量最小值为8千瓦，设备当天运行6小时．
18. 已知函数．
（1）解不等式；
（2）求在上的最小值；
（3）若，，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【分析】（1）求出方程的根，分两个根的大小讨论，可得不等式的解集；
（2）分对称轴与区间的位置可得函数的最小值的解析式；
（3）将不等式整理可得，换元后由对勾函数的单调性可得的范围．
【小问1详解】
函数，
因为方程，即，解得或，
当，即，不等式即为，则不等式的解集为；
当，即，不等式的解为或；
当，即，不等式的解为或；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
【小问2详解】
函数，开口向上，对称轴，
在上，当，即时，函数单调递增，所以；
当，即时，函数单调递减，
所以；
当时，函数在上先减后增，
所以；
综上所述：；
【小问3详解】
若，，即，
可得，可得，
即，
令，
设，，令，可得，
则由对勾函数性质可知上，单调递减，上，单调递增，
又因为， ，
所以，
所以恒成立，所以．
所以实数的取值范围为．
19. 已知集合，对任意的，若或，则称集合为集合．
（1）判断集合是否为集合，并说明理由；
（2）若集合为集合，求值；
（3）若集合为集合，求证：集合中的正数和负数的个数相等．
【正确答案】（1）不是，理由见解析；
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）根据集合定义，举反例即可；
（2）根据集合定义，分类讨论，再验证即可；
（3）令集合中元素从小到大排好顺序，由集合定义，以及对应情况，由元素总数来证明正数和负数的个数相等即可.
【小问1详解】
不是，理由如下：
取，则，
因此不是集合.
【小问2详解】
若，则或，则，
当时，取，则，
取，则，
所以符合题意；
若，则或，则或，
当时，取，则，
所以不符合题意；
若，则或，则，
当时，取，则，
所以不符合题意；
综上.
【小问3详解】
若，设集合中的所有负元素满足，
由于，则，则，
同理可得，均为负数且均属于，
则，
由于，则，则，
同理可得，均为正数且均属于，
即若中有个负数，则中至少有个正数，
由对称性可得，此时中有个正数，则至少有个负数，
即，，同理可得正数个数、负数个数均不小于，
若，则至少有共个正数属于A,
而此时正数有个，设正数
则，结合，即，
可得，
由于，则，
由于，则，
结合可得，
则，与题干矛盾，
同理若负数有个，则正数有个，仍可推出矛盾，
则只能是，
若中有个负数，则中至少有个正数，
而正数有个，则至少有个负数，
即且，
则，则，
则集合中的正数和负数的个数相等.