湖北省十堰市普通高中联合体2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份湖北省十堰市普通高中联合体2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
3．已知抛物线的准线平分圆，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（ ）
A．B．2C．D．4
6．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知圆：，则下述正确的是（ ）
A．圆的半径为3B．点在圆的内部
C．直线与圆相切D．圆：与圆相交
10．椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
11．已知抛物线，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点F到准线l的距离为2
B．焦点，准线方程
C．的最小值是3
D．以弦PQ为直径的圆与准线l相切
三、填空题
12．与圆关于直线对称的圆的方程为 ．
13．直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是 ．
14．已知分别为椭圆的左，右焦点，直线与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为 .
四、解答题
15．已知圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求直线的方程.
16．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
（1）求线段AB的中点P的轨迹的方程；
（2）设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长．
17．已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2.
（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
（2）过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）.
18．设椭圆经过点，其离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，求的面积.
19．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
答案
1．【正确答案】D
【详解】设直线的倾斜角为，
由直线的方向向量可知直线的斜率，所以.
故选D.
2．【正确答案】D
【详解】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为，
又直线过点，所以，所以直线方程为，
当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为，
又直线过点，所以，解得，所以直线方程为，
所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或，
故选D.
3．【正确答案】B
【详解】抛物线的准线方程为，
依题意，直线经过圆的圆心，则，
所以.
故选B
4．【正确答案】C
【详解】根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程.
【详解】以点为圆心且与轴相切的圆的半径为，
故圆的标准方程是.
故选C.
5．【正确答案】C
【详解】由题意，直线l：过定点，
圆心，半径，
因为，
所以点P在圆内，
当直线CP与弦垂直时，弦长最短，
且，
所以最短弦长为
故选C
6．【正确答案】A
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选A
7．【正确答案】C
【详解】设A，B两点的坐标分别为，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝|x1－x2|＝
＝＝·，
当t＝0时，|AB|max＝．
故选：C.
8．【正确答案】B
【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，
故，

故，
当且仅当共线，在线段上时取等号，
所以
，
当且仅当共线，在线段上时取等号，
而，
故的最小值为，
故选B.
9．【正确答案】ACD
【详解】将的一般式方程化为标准方程：，圆心为，半径；
对于A：由上可知正确；
对于B：因为，所以点在圆的外部，故错误；
对于C：圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，故正确；
对于D：圆心距为，且，所以两圆相交，故正确；
故选ACD.
10．【正确答案】BCD
【详解】，圆与轴的交点坐标为或，与轴的交点为，
而椭圆的焦点在轴，
当焦点是，右顶点，此时，离心率，
当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率，
当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率
故选BCD
11．【正确答案】ACD
【详解】解：对B：由抛物线，可得，准线 ，故选项B错误；
对A：由抛物线，可得，即，所以焦点F到准线l的距离为，故选项A正确；
对C：过点P作，垂足为，由抛物线的定义可得，
所以（为点到准线l的距离），当且仅当、、三点共线时等号成立，
所以的最小值是3，故选项C正确；
对D：过点P、Q分别作，，垂足分别为、，
设弦PQ的中点为M，则弦PQ为直径的圆的圆心为M，过点M作，垂足为，则为直角梯形的中位线，，
又根据抛物线的定义有，，
所以，
所以以弦PQ为直径的圆与准线l相切，故选项D正确；
故选ACD.
12．【正确答案】（ 或）
【详解】圆的圆心为，半径为2，
设关于直线的对称点为，
则，解得，即对称点坐标为，
所以对称圆的方程为.
13．【正确答案】
【详解】设，则有，两式相减，可得，
为线段的中点，故有，
即，若，则，即两点重合，不满足题意，
故，因此可得直线的斜率为，
又因为直线过，
故直线，整理得.
14．【正确答案】/
【详解】由题可知，为直角三角形，，直线过原点，，故，
又，则，
在中，，即，
又，解得：或（舍去）.
15．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设圆的方程为，
则，解得，
故圆的方程为；
（2）由（1）知，圆心为，半径为，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
16．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，
由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，，
于是有①，
因为点A在圆上运动，即：②，
把①代入②，得，整理，得，
所以点P的轨迹的方程为．
（2）将圆与圆的方程相减得： ，
由圆的圆心为，半径为1，
且到直线的距离，
则.
17．【正确答案】（1），；
（2）1.
【详解】（1）由离心率，又，则，
又长轴长，所以，所以，
故双曲线的标准方程为；
其渐近线方程为.
（2）直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点，
的方程为；
设
由，得，
18．【正确答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）因为椭圆经过点，其离心率，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）
由，得，，
设，则，
所以.
因为点到的距离为，
所以.
19．【正确答案】(Ⅰ) ，；
(Ⅱ)见详解.
【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，
故抛物线方程为：，其准线方程为.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，
设直线方程为，与抛物线方程联立可得.
故.
设，则，
直线的方程为，与联立可得：，同理可得，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，
且：，，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.