河南省部分学校2025_2026学年高三上学期12月联合调研数学试题 [含答案]

这是一份河南省部分学校2025_2026学年高三上学期12月联合调研数学试题 [含答案]，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
2．若直线：与直线：平行，则＝（ ）
A．B．或3C．D．3
3．已知复数，为的共轭复数，复数，则下列结论正确的是（ ）
A．对应的点在复平面的第二象限B．
C．的实部为1D．的虚部为
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则为第二象限角，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
6．在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知点是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知数列满足，设为数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知数列的前项和为，，且，则（ ）
A．
B．“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件
C．若为单调递增数列，则
D．若，则数列的前（为奇数）项和为
10．双曲线的左，右顶点分别为，右焦点到渐近线的距离为为双曲线在第一象限上的点，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则为定值
D．若直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，且，则
11．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，AC的中点为M，，且，延长AC到点D，使点C为线段AD的中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．△ABD的面积的最大值为
C．若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为
D．BD的最小值为
三、填空题
12．函数的所有零点之和为 ．
13．在等比数列中，，，则 ．
14．已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形，侧棱长均相等，侧面与底面夹角为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 ．
四、解答题
15．记的内角所对的边分别是，且满足.
（1）证明：；
（2）若的面积为，求；
16．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若为等腰三角形且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于两点，且的最小值为. 分别过两点作该抛物线的切线，交于点.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线的平行线交抛物线于两点，分别记 的面积为，，求出的取值范围；
（3）分别以与为直径作圆，记两圆交点为，以为直径作圆，求该圆的面积取值范围.
18．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）当时，设，证明：在上存在唯一的极小值点且.
参考数据.
19．新高考数学试卷中共3道多选题，每题满分为6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分（如果有两个选项符合题目要求，选对一个得3分；如果有三个选项符合题目要求，选对一个得2分；有错选或不选，得0分），某数学兴趣小组研究多选题时发现：随机事件“多项选择题中，有两个选项符合题目要求”和“多项选择题中，有三个选项符合题目要求”的概率均为．若学生解答某多选题时完全没有思路，只能通过随机选择的方式来完成作答，且选择四个选项的可能性是相同的．
（1）已知某题有三个选项符合题目要求，小张通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率；
（2）小王在解答完全没有思路的多选题时，有两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列和数学期望．
答案
1．【正确答案】A
【详解】由，得，解得，
所以，
由，所以，
图中阴影部分表示的集合为.
故选A.
2．【正确答案】B
【详解】因为两直线平行，所以：
，
所以或.
故选B
3．【正确答案】D
【详解】，
，
所以对应的点的坐标为，在复平面的第三象限，
且，的实部为，虚部为，
故选D．
4．【正确答案】B
【详解】由，
则，
因为，
所以，
构造函数，
，即在单调递减，
当时，，
即当时，，
，
所以，
故选B
5．【正确答案】D
【详解】由题意可得，，，故.
故选D.
6．【正确答案】D
【详解】
如图，将直线分成3种情况：
，均平行于上底面或下底面，有条；
，均不平行于正三棱柱的某个平面；
，均平行于某个侧面，有条.
又直线总数为条，故所求概率为.
故选D.
7．【正确答案】C
【详解】点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，，
，设，则，，，
又，∴，
中，由余弦定理得：，
∴，化简得，
∴，，
中，，
由余弦定理得，解得，
故选C．
8．【正确答案】D
【详解】因为，所以，
当或时，不符合题意，
所以，所以，
所以，
则，所以，故.
故选D.
9．【正确答案】ACD
【详解】因为，所以当时，，
因为，所以，又因为，所以，所以选项A正确；
因为①，
当时，②，
①②得：，
因为，所以，
所以数列奇数项与偶数项分别成等差数列.
若，又，因为，
所以数列的奇数项以为首项，为公差的等差数列，
即，
列的偶数项以为首项，为公差的等差数列，
即，
所以有，所以数列是等差数列；
若数列是等差数列，则有，所以有，
因此“”是“数列为等差数列”的充要条件，所以B错误；
若数列为单调递增数列，对于任意，都有，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
解得，所以C正确；
若，当为奇数时，，故；
当为偶数时，故，
则当为奇数时，，
所以
，
即当为奇数时，的前项和为，所以D正确，
故选ACD
10．【正确答案】ACD
【详解】依题意，设，而双曲线的渐近线为，
则点到渐近线的距离为，因此，，
对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确；
对于B，双曲线的离心率为，B错误；
对于C，显然，设，则，即，
所以为定值，C正确；
对于D，由，得是的中点，则，D正确.
故选ACD
11．【正确答案】ACD
【详解】对于A，已知，由正弦定理得，
即，得，
则有，得，
又由于，所以，故，
而，所以，选项A正确；
对于B，在中，由余弦定理，得，
所以，所以，当且仅当时取等号，
由于，
所以的面积的最大值为，故选项B错误；
对于C，在中，由正弦定理得，
，，
由AC的中点为M，有，
，
△ABC为锐角三角形，则，得，
当，有，所以，
有，故，选项C正确；
对于D，设，所以，在中由余弦定理，
，
，，
故当，即时，
取最小值，所以的最小值为，故D选项正确.
故选ACD
12．【正确答案】9
【详解】由，令，，
显然与的图象都关于直线对称，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，

观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，
这6个点两两关于直线对称，有，则，
所以函数的所有零点之和为9.
13．【正确答案】10
【详解】设等比数列的公比为，因为，解得；
当，又，则，
解得，不符合题意；
当时，又，则，
解得，符合题意．综上可得．
14．【正确答案】
【详解】因为三棱锥的底面是边长为6的正三角形，侧棱长均相等，其顶点都在同一球面上，
所以三棱锥是正三棱锥，
如图设底面三角形的中心为，中点为，连接，，，则球心在直线上，
由几何关系可知，，
因为平面平面，，，
所以是侧面与底面夹角的平面角，即，所以，
先将转化为平面三角形，
则，，
在中由勾股定理可得，解得，
所以该球的表面积.
15．【正确答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）由得，
则，
得， 若，则，
则均为直角，与题设矛盾， 故，故，
故，故.
（2），
所以，则，
，
从而，
又，从而，，
所以.
16．【正确答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）因为在四棱锥中，底面为直角梯形，
且，，所以；
又，所以，
平面，，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，，平面，所以平面.
因为平面，所以，.
所以即为二面角的平面角，所以.
又为等腰三角形，所以为等边三角形.
取中点，连接，如下图：
则，平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
且.
又，
所以.
在中，，，
.
所以.
设点到平面的距离为，则.
由.
设直线与平面所成的角为，
则.
17．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）分别记的坐标为，易知直线的斜率存在，设直线为，
联立抛物线方程有，则有，
所以，当且仅当时取等，
所以，解得，所以抛物线方程为.
（2）分别设抛物线在两点处的切线为，对该二次函数求导有，
所以，也即，也即．
同理，处切线，也即，
设点，则有，
所以直线为，也即，
因为直线经过焦点，所以解得，
所以，所以的轨迹为准线，
联立直线与抛物线有，所以，
过作轴的垂线交直线于点，则有，则有，
所以的面积，
同理直线为，联立抛物线得：，
分别记的坐标为，
则有，
过作轴的垂线交直线于点，则有，则有，
所以的面积，
所以，令，则有，则，
又令，则有，
令，则有，
所以在单调递减，所以的取值范围是．
（3）由（2）知，直线为，则有，
，
所以，
所以，所以在以为直径的圆上，
同理，也在以为直径的圆上，所以两圆的相交弦即为，也即，
由图可得，当且仅当轴时取等，此时以为直径的圆面积为，
所以的取值范围是，所以以它为直径的圆面积范围是．
18．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）见详解
【详解】（1）因为，其中，.
①当时，恒成立，的增区间为，无减区间；
②当时，令，得，
由可得；由可得.
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述：当时，的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）当时，恒成立，即恒成立.
令，则，其中，
由可得；由可得.
所以，函数的减区间为，增区间为.
所以，即，故的取值范围是.
（3）当时，，，
令，则.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又因为，且，
所以存在唯一的，使得，即.①
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以是在上唯一的极小值点.
则，由①可知.
19．【正确答案】（1）
（2）分布列见详解，策略一期望：；策略二期望：
【详解】（1）记“随机选择i个选项作答”，，“小张得0分”．
，，，，，，
则
（2）设记小王用策略一得分为随机变量X，X的取值为0，2，3；
记小王用策略二得分为随机变量Y，Y的取值为0，4，6
，，．
小王用策略一得分X的分布列为
故．
，
，．
故；
X
0
2
3
P
Y
0
4
6
P