福建省福州第十五中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份福建省福州第十五中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（ ）
A．11B．22C．24D．44
2．已知等差数列的公差为，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
4．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．数列中，，（n为正整数），则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知分别为双曲线的左､右焦点，点是双曲线上的一点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.①三棱锥中，点到平面的距离为定值；②过点且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为；③直线与平面所成角的正弦值的范围为；以上命题为真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
9．下列四个选项中，正确的是（ ）
A．数列与数列是同一数列
B．数列是递减数列
C．数列的一个通项公式是
D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项
10．在正四棱柱中，，是的中点，则（ ）
A．与所成角的余弦值为B．与平面所成的角为
C．对角线与平面所成的角为D．四面体的体积是
11．已知双曲线的上、下焦点分别为，实轴长为4，点为上一点，且，则（ ）
A．的焦距为B．
C．的面积为D．的纵坐标为
三、填空题
12．已知数列为等差数列，若，则的值为 .
13．已知，是抛物线：上不同两点.若直线过点，则的最小值为 .
14．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为 .
四、解答题
15．（1）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项．
（2）已知数列的前n项和，求的通项公式．
16．已知直线：与轴交于点，原点为.
（1）若直线过点，且与平行，求的一般方程；
（2）若圆过点，两点且与相切，求圆的标准方程.
17．双曲线的左焦点为．
（1）点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）；
（2）过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求．
18．如图，在四棱锥中，底面，，.
（1）证明：平面平面；
（2）设，且点P，B，C，D均在球O的球面上.
（i）证明：点O在平面内；（提示：可设坐标，因为均在球的球面上，所以，再结合代数法计算）
（ii）求O到平面的距离.
19．已知椭圆：经过点，且与椭圆：的离心率平方之和为.
（1）求的方程；
（2）已知，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线与交于点，.
（ⅰ）若，分别在第一、四象限，求四边形面积的取值范围；
（ⅱ）若直线，的倾斜角分别为，，且，求直线与直线的交点到直线的距离.
答案
1．【正确答案】B
【详解】解得，故A错误；
解得，故B正确；
解得，故C错误；
解得，故D错误．
故选:B．
2．【正确答案】B
【详解】由题可知；
故选B.
3．【正确答案】B
【详解】由题知的斜率为，所以的方程为，
令，得.
故选B.
4．【正确答案】D
【详解】抛物线中，该抛物线焦点到准线的距离为.
故选D.
5．【正确答案】B
【详解】由题在方向上的投影向量为.
故选B
6．【正确答案】A
【详解】因为，所以，
则有，得，故.
故选A
7．【正确答案】D
【详解】因为在双曲线中，因为，所以，
则，

在中，，，
所以，即，所以，
所以，则，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选D
8．【正确答案】C
【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
,设，则
，即，，
设平面的法向量为，则，取，得，
对于①，到平面的距离，①正确；
对于②，连接，在中，，面，面，
则面，同理面，而平面，
因此平面平面，即过点且平行于面的平面被正方体
截得的多边形为正，其边长为，面积为，②正确；
对于③，设直线与平面所成角为，则
，由，得，，
所以直线与面所成角的正弦值的范围为，③错误.
故选C
9．【正确答案】BD
【详解】对于A，由数列概念，显然不是同一数列，错误，
对于B，由，即数列为递减数列，B正确，
对于C，由观察法可知，C错误，
对于D，由，解得，D正确，
故选BD
10．【正确答案】ABD
【详解】以为原点，分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，.
对于A，，所以与所成角的余弦值为，故A正确；
对于B，因为为正方形，所以，因为平面，平面，
所以，又因为平面，，所以平面，
即为平面的一个法向量，，
所以与平面所成的角为，故B正确；
对于C，设平面的一个法向量为，则，
取，则，，
所以对角线与平面所成的角不为，故C错误；
对于D，因为，平面，平面，所以平面，
所以四面体的体积.
故D正确.
故选ABD
11．【正确答案】BCD
【详解】A，依题意，知双曲线的焦点在轴上，，所以，
由，得，所以焦距为，故A错误；
B，因为，所以点为双曲线上支的一点，
故由双曲线的定义，可得，则，故B正确；
C，在中，，
所以，故的面积为，故C正确；
D，由的面积为，即，解得，
结合点为双曲线上支的一点，代入双曲线的方程，可得点的纵坐标为，故D正确．
故选BCD
12．【正确答案】10
【详解】因为数列为等差数列，所以，
所以.
13．【正确答案】
【详解】设直线的方程为，与联立得，
由根与系数的关系得，∴，
∴，当且仅当时取等号.
14．【正确答案】
【详解】曲线，
当，时，曲线C的方程可化为，
当，时，曲线C的方程可化为，
当，时，曲线C的方程可化为，
当，时，曲线C的方程可化为，
作出曲线如图：
到直线的距离，
则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性，
只需考虑，时的情况；
当，时，曲线C的方程为，
曲线为圆心为，半径为的圆的一部分，
而到直线的距离为，
由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为，
故的最小值为.
15．【正确答案】（1）91为数列中的第43项；（2）
【详解】（1）因为，所以，解得，
因为，所以，
又因为，解得，
代入通项公式为：，
令，即，解得（为正整数），
即91为数列中的第43项．
（2）∵，
∴当时，，
当时，，
将代入，得，与一致，
∴的通项公式是．
16．【正确答案】（1）；
（2）或.
【详解】（1）把代入，得，
所以直线的斜率，直线.
因为，所以的斜率，
所以的方程为，即.
（2）法一：设圆的标准方程为（），
由题意可得，解得或，
所以圆的方程为或.

法二：因为圆过原点，
所以点在线段的垂直平分线上，
设圆的方程为（），
由圆过点，得，
由圆与相切，得，即，
整理得，解得或，
当时，，当时，，
所以圆的方程为或.
17．【正确答案】（1）1
（2）3
【详解】（1）由题可知，，
设，则，即或，
，
又或，所以时，取得最小值1；
（2）双曲线的左焦点，又因为直线的倾斜角为，所以，
则直线的方程为，
联立直线方程与双曲线方程，得，
设，则，
则．
18．【正确答案】（1）见详解；
（2）（i）见详解；（ii）.
【详解】（1）因为底面，且平面，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）（i）以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为，
则，设，
因为均在球的球面上，所以，
则，
解得，即，
所以点在上，即点在平面内.
（ii）由，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设到平面的距离为，则，
所以到平面的距离为.
19．【正确答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）6
【详解】（1）由椭圆经过点，得，解得，
所以椭圆的离心率为；
椭圆的离心率为，
由椭圆与椭圆的离心率平方之和为得，
，即，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）设，，直线的方程为，
联立，整理得，
，
所以，.
（ⅰ）因为，分别在第一、四象限，
所以，即，解得.
四边形的面积
，
设，则，则，
故四边形面积的取值范围为.
（ⅱ）由，，得，
所以
，由题知，
又，
得，与联立得，，
所以直线，的方程分别为，，
两式联立得，直线与联立得，
代入，求得直线的方程为，
所以点到直线的距离为.