四川成都部分高中2025--2026学年高二上册一月月考数学试题【附解析】

这是一份四川成都部分高中2025--2026学年高二上册一月月考数学试题【附解析】，共26页。试卷主要包含了 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”．
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 设，向量，且，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由空间向量平行及垂直的坐标表示求出，然后由向量模的坐标表示求解．
【详解】因为，所以，解得，
因为，所以，解得，
所以，所以，
所以.
故选：C
2. 在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理列出方程，解之即得.
【详解】因四点共面，且，
由空间向量基本定理的推论可得，解得.
故选：D.
3. 直线与直线，则的充要条件是（ ）
A. 3B. C. 3或D. 1或
【答案】B
【解析】
【分析】由一般式直线方程平行的条件求的值，并检验.
【详解】由直线与直线平行，
得，即，即或，
当时，，即，重合，舍去；
当时，，，满足.
综上.
故选：B
4. 如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算，将用表示即可.
【详解】因为分别为的中点，所以.
因为为的重心，所以，
所以.
故选：B.
5. 已知圆，直线，若圆上恰有两个点到直线的距离等于1，则实数b的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆上恰有两个点到直线的距离等于1，再确定圆心到直线的距离的取值范围，最后利用点到直线的距离公式求解b的取值范围即可.
【详解】因为圆的方程为 ，因此圆心为 ，半径 ，
因为直线 可化为 ，
所以圆心 到直线的距离为，
又因为圆上恰有两个点到直线的距离为1，
所以，代入 ，
得，
即，整理得，
解得.
故选：D.
6. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率.
【详解】如图：
设椭圆：，双曲线：.
因为它们有相同的焦点，所以.
不妨设点在第一象限，且，，
因为点在椭圆上，
所以.
又，
所以.
又在双曲线上，
所以.
所以.
所以双曲线的离心率为：.
故选：A
7. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论.
【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局，
所以平局的概率，
若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种，
所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为，
各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为；
若平局2次，则最后1次不能是平局，
另外2次甲全胜或乙全胜，概率为，
若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为，
所以.
故选：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准.
8. 在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件求得，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.
【详解】设，
因为，所以，①
因为，且，
所以，
由正弦定理可得，②
又，所以，③
由①，②，③解得，
由余弦定理，所以，
，
因为点三点共线，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7
B. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥
D. 若事件与事件相互独立，，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据百分位数的求法，可判断A的正误；根据方差的求法，可判断B的正误；根据互斥事件的定义，可判断C的正误；根据独立事件的概率公式，可判断D的正误.
【详解】选项A：，所以第75百分位数是，故A错误；
选项B：因为样本数据，，，的方差为4，
所以数据，，，的方差为，故B正确；
选项C：事件“第一次正面朝上”时，第二次可能反面朝上，
反之事件“第二次反面朝上” 时，第一次可能正面朝上，
所以两个事件可以同时发生，不是互斥事件，故C错误；
选项D：若事件与事件相互独立，，，
则，故D正确.
故选：BD
10. 已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点使
B. 的周长为16
C. 的最大面积为12
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于B，利用椭圆的定义可得的周长，由此判断即可；对于C，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断.
【详解】由，得.
对于A：假设存在点使得，则，
所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则，
因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即，
由可知，圆与椭圆有交点，
所以假设成立，即存在点使得，故A正确；
对于B：的周长为，故B错误；
对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大，
所以，故C正确；
对于D： ，又，所以，
所以，故D正确.

故选：ACD.
11. 如图，四边形是边长为2的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上的动点（不与点重合），下列说法正确的是（ ）

A. 三棱锥的四个面都是直角三角形，且体积最大值为
B. 点运动时，四棱锥的外接球半径为定值
C. 当时，异面直线与的夹角为
D. 半圆弧上存在唯一的点，使得直线与平面所成角的正弦值为
【答案】AB
【解析】
分析】根据面面垂直、线面垂直判断A选项，根据外接球球心到顶点距离相等判断B，建立空间直角坐标系，利用向量法判断CD.
【详解】对于A，因为半圆面平面，平面平面，
平面，，所以平面，
又平面，所以，，
由为直径，故，因为，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以三棱锥的四个面都是直角三角形，因为点运动时，点到平面的最大距离为，所以
，故A正确；
对于B， 设半圆圆心为，正方形中心为，则，因为正方形的中心到四个顶点的距离为，当运动时，，故是外接球的球心，球半径为定值，故B正确；
对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，则，所以点，，所以，
则，不是，故C错误；
对于D，设，则，，
平面的法向量为，直线与平面所成角的正弦值为：
，则，
即，则，故或，
即满足条件的点有两个，不唯一，故D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图，在平行六面体中，，，则______．
【答案】7
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件将用表示，然后平方化简后再开方可求得结果.
【详解】在平行六面体中，，
因为，，，
所以
，
所以
故答案为：7
13. 已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，先证明点为的重心，易得点为的外心，将用表示，再根据数量积的几何意义结合求出，再根据求出，进而可得出答案.
【详解】取的中点，则，
因为，所以，
所以，又为公共端点，所以三点共线，
所以点在边的中线上，且，
同理点在边的中线上，即点为的重心，
故，
因为，
所以点为的外心，即为为中垂线的交点，
故，
则，
所以，
而，所以，
即，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据数量积的几何意义结合求出，是解决本题的关键.
14. 已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线以为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点，记，若，则椭圆的离心率取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理化角为边，根据椭圆与抛物线的定义及性质，结合已知条件构造不等式求出离心率的取值范围．
【详解】
椭圆的左右焦点分别为，
，，，
抛物线以为焦点，
，解得，抛物线方程为，
在中，由正弦定理得，
，，解得，
，，
在抛物线上，，
由椭圆的焦半径公式得：，，解得，
则，
，整理得，解得，
又，．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．数据的分组依次为，，，，，．
（1）求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（2）若成绩在前25%的学生可获得“消防达人”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“消防达人”？
（3）从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1，可求，再由平均数计算公式即可求解；
（2）由百分位数计算公式即可求解；
（3）确定样本空间，由古典概型概率计算公式即可求解.
【小问1详解】
由，
得，
平均数为
【小问2详解】
前4个矩形面积为：
，
前5个矩形面积为：
，
所以若成绩在前25%的学生可获得“消防达人”的称号，
则成绩至少要达到
【小问3详解】
区间有人，
区间有人，
设内两人为，内3人为，
则随机抽取2名学生共有：
，
来自不同组的有，
所以这2名学生成绩不在同一分组的概率为.
16. 在平面直角坐标系中，动点与点的距离是它与点的距离的倍.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）点在动点的轨迹上，求的最大值；
（3）若直线过点且与动点轨迹相交于两点，当时，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）1 （3）或
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出方程，整理即可得到动点的轨迹方程；.
（2）由可以看成点与点的斜率，设，结合直线与相切，求得，即可得到答案；
（3）设直线过点的方程为，利用圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，进而得到直线方程.
【小问1详解】
因为动点与点的距离是它与点的距离的倍，
可得，整理得，
所以动点的轨迹方程.
【小问2详解】
由（1）知圆，可圆心坐标为，半径为，
因为可以看成点与点的斜率，
则过点，斜率为的直线方程为，即，
当过点的直线与圆相切时，斜率取最值，
直线与圆相切时，可得圆心到直线的距离，
解得，所以得最大值为1.
【小问3详解】
当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，
此时直线与圆没有公共点，所以直线的斜率一定存在，
可设直线过点的方程为，
即，
由圆的弦长公式可得，解得，
即圆心到直线的距离，则，解得或，
则直线方程为，即，
所以直线方程为或.

17. 在中，，分别是上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在；的长度为0
【解析】
【分析】（1）通过证明、证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得与平面所成角的大小.
（3）假设在线段上存在点符合题意，根据平面与平面成角余弦值列方程，由此求得，进而求得.
【小问1详解】
因为在中，，且，
所以，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知且都在面内，所以平面；
【小问2详解】
由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
因为，故，
由几何关系可知，，
故，
，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，故平面的一个法向量为，
设与平面所成角的大小为，
则有，所以，
即与平面所成角的大小为；
【小问3详解】
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为，
在空间直角坐标系中，设，其中，则，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，故平面的法向量为，
由（2）知平面的一个法向量为，
若平面与平面成角余弦值为，
则满足，
化简得，解得或（舍去），即与重合，，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为，
此时的长度为0．
18. 设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点.
（1）求点轨迹方程.
（2）过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由.
【答案】（1）
（2）是定值，.
【解析】
【分析】（1）设，，根据题意易得，，进而得到，由在双曲线上可得，进而求解即可；
（2）设直线的方程为，联立直线与曲线Γ的方程，根据韦达定理可得，即，进而求解即可.
【小问1详解】
设，，由题意可得，
共线，故，①
又共线，故，②
由①②两式相乘，得，（*）
因在双曲线上，则，即，
将其代入（*）式，得，即，
即的轨迹方程为.
【小问2详解】
由题意可设直线的方程为，
联立，得.
设，则，即，
则
，为定值.

19. 已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
（1）求曲线H的方程;
（2）若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）( i )证明见解析，( ii)
【解析】
【分析】(1) 由双曲线定义进行求解；
(2) ( i ) 设，求出，由直线l与曲线H方程进行求解；
（ii）由，则利用基本不等式求解．
【小问1详解】
M为的垂直平分线上一点, 则 ，
则
∴点M的轨迹为以为焦点的双曲线, 且，
故点M的轨迹方程为
【小问2详解】
( i ) 设，双曲线的渐近线方程为：，
如图所示：
则①，②，
①+②得， ，
①-②得， ，
则，得
由题可知，则，
得，即，
∴直线的方程为，即，
又∵点M在曲线H上，则 ，得，
将方程联立，得，
得，
由，可知方程有且仅有一个解，
得直线l与曲线H有且仅有一个交点.
（ii）由（i）联立 ，可得，同理可得， ，
则 ，
故，
当且仅当，即时取等号.
故的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：第二问中的第2小问中，先要计算，再由基本不等式求解范围．