吉林省吉林市某重点学校2025--2026学年高二上册12月学科质量检测数学试题【附解析】

这是一份吉林省吉林市某重点学校2025--2026学年高二上册12月学科质量检测数学试题【附解析】，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
2．若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ）
A．内切B．相交C．外切D．外离
4．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
5．已知等比数列中，，且，那么的值是（ ）.
A．15B．31C．63D．64
6．已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
7．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为 ，直线过定点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线，则（ ）
A．直线过定点
B．当时，
C．当时，
D．当时，两直线之间的距离为1
10．公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．
C．中最大D．
11．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（ ）
A．椭圆的短轴长为B．当最大时，
C．离心率为D．的最小值为3
三、填空题
12．如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设，，，请用，，的线性组合表示 ．
13．两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离心率为 .
14．已知P是抛物线上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ．
四、解答题
15．椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点的直线交椭圆于、两点，面积为，求的方程．
16．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，，
(1)求数列，的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
17．如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点.若，.

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和；
(3)若对一切恒成立，求实数m的取值范围.
19．在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，.
（i）求证：为定值，并求出该定值；
（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值.
1．B
求出直线的斜率，结合斜截式可得出直线的方程.
【详解】因为直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为，
又因为直线过点，故该直线的方程为.
故选：B.
2．D
根据双曲线的离心率计算公式，结合渐近线方程，可得答案.
【详解】由，则离心率，解得，
即渐近线方程为，代入可得，整理可得.
故选：D.
3．B
将圆的方程化为标准方程，得各自的半径，圆心，结合圆心距满足的条件即可判断.
【详解】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为，
圆：即圆：的圆心，半径分别为，
所以两圆的圆心距满足，
所以两圆的位置关系为相交.
故选：B.
4．A
求出准线的方程，进而可求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得结果.
【详解】抛物线的准线方程为，
圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，
所以，截圆所得的弦长为，
故选：A.
5．B
设等比数列的公比为，根据已知求出的值即得解.
【详解】设等比数列的公比为，
由题得.
所以.
故选：B
6．A
根据双曲线方程可得渐近线方程，结合轴且过右焦点，可得.再根据的面积与双曲线方程即可解得.
【详解】由双曲线方程得其渐近线方程为，
由题知轴且过右焦点，令，得，.
则的面积，解得.
双曲线（），，解得.
故选：.
7．C
转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.
【详解】记，则为直线的斜率，
故当直线与半圆相切时，斜率最小，
设，则，解得或（舍去），
即的最小值为.
故选：C.
8．D
首先由直线过定点求出的值，再根据等和数列性质求解即可.
【详解】由直线变形得：
，当时，
所以直线过定点，即，
由数列为“等和”数列且（为常数），
所以，
所以等和”数列的奇数项为1，偶数项为2，
所以
，
故选：D.
9．CD
根据给定的直线的方程，结合各选项中的条件逐一判断作答.
【详解】依题意，直线，由解得：，因此直线恒过定点，A不正确；
当时，直线，而直线，显然，即直线不垂直，B不正确；
当时，直线，而直线，显然，即，C正确；
当时，有，解得，即直线，
因此直线之间的距离，D正确.
故选：CD
10．CD
由得，由得，则，即可判断ABC；根据和等差数列下标和的性质可得，即可判断D.
【详解】A：由，得，
由，得，所以，所以，故A错误；
B：由选项A的分析知，，故B错误；
C：因为，，，所以数列是递减数列，
其前6项为正，从第7项起均为负，故最大，故C正确；
D：由选项A的分析知，，，，
所以，且，即，所以，故D正确.
故选：CD
11．ABD
椭圆定义有，结合已知确定的最小值并确定此时的位置，即可判断D、B的正误，此时设，结合椭圆方程求短轴长，即可判断A、C的正误.
【详解】由题意知，所以．
因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确．
当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确．
由B的分析，不妨令，代入椭圆方程，得．又，所以，得，
所以椭圆的短轴长为，故A正确．
易得，所以，故C错误．
故选：ABD.
12．
通过空间向量的加法和减法得到，从而表示出
【详解】因为
即
故答案为：
13．
根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，可得出的值，由此可得出该椭圆的离心率的值.
【详解】因为两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，
则，解得，
所以，故.
故答案为：
14．
设求得的最小值，进而可得利用二倍角的余弦公式可求.
【详解】由题意知圆故半径为1，
设则当且仅当即时，等号成立，
即当时，取得最小值，且

所以又
所以
故答案为：.
15．(1)，
(2)或或.或.
（1）根据椭圆的定义得到，，进而求出，得到椭圆方程和离心率；
（2）设直线方程为，联立椭圆方程，求出，并求出点到直线的距离，计算三角形面积解方程即可.
【详解】（1）由题意得，，解得，
故，
故椭圆的标准方程为，
离心率为；
（2）由题意，直线斜率不存在时，不能构成，
故设直线方程为，
联立得，，
设，
，解得或，
则，
所以
，
设到直线的距离为，则，
所以，
解得或，
所以直线的方程为或或.或.
16．(1)
(2)
（1）计算出公比、公差即可求解；
（2）由裂项相消法即可求解.
【详解】（1）设公比为，公差为，
所以，解得，所以，
所以，所以，解得，
所以；
（2）因为，
所以数列的前n项和.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）取的中点，连接，根据题意易证四边形为平行四边形，从而得到，再根据线面平行的判定即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量运算公式即可求解；
（3）利用线面夹角的向量公式即可求解.
【详解】（1）取的中点，连接，如图所示：

因为分别为的中点，所以，且.
又因为是的中点，所以，.
所以，，则四边形为平行四边形，即.
因为平面，平面，，所以平面.
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系.
，，则，，，，，，，，.
设平面的法向量，则，即，
设，则.
又，则点到平面的距离.
（3）由（2）知平面的法向量，，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．(1)证明见解析
(2).
(3).
（1）由求出数列的通项，再根据等差数列的定义判断即可；
（2）将代入求出，进一步求得，利用错位相减法求解；
（3）判断数列的单调性，求出最大项得解.
【详解】（1）当时，；
当时，.
又也符合上式，所以（）.
因为，
所以数列是等差数列.
（2）由，得，
故，
，
则，
两式相减得
，
即.
（3）因为，
当时，，即，当时，易得，
所以，故是数列中的最大项，且.
要使对一切恒成立，只需即可，
故实数m的取值范围为.
19．(1)
(2)（i）证明见解析，；（ii）
（1）根据题意求出，即可得解；
（2）（i）设直线的方程为，其中，且，设直线与椭圆交于点，联立方程，利用韦达定理求出，，再结合斜率公式化简即可得出结论；
（ii）法一：直线的方程为，设直线与轴交于点，直线的方程为，分别求出的坐标，联立方程组求出，即可得的坐标，再求出三角形面积的表达式，结合基本不等式即可得解.
法二：直线的方程为，设直线与轴交于点，直线的方程为，分别求出的坐标，易得点是线段的中点，则，其中为点到直线的距离，求出的最大值即可.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，
因为椭圆的离心率为，所以，即，
据，得，即.
所以直线的方程为，即，
因为原点到直线的距离为，
故，解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）（i）设直线的方程为，其中，且，即，
设直线与椭圆交于点，
联立方程组整理得，
所以，，
（i）所以
为定值，得证；
（ii）法一：直线的方程为，令，得，故，
设直线与轴交于点，
直线的方程为，令，得，故
联立方程组整理得，
解得或0（舍），，
所以的面积
，
由（i）可知，，故，代入上式，
所以，
因为点在轴下方且不在轴上，故或，得，
所以，
显然，当时，，
当时，，
故只需考虑，令，则，
所以，
当且仅当，，即时，不等式取等号，
所以的面积的最大值为.
法二：直线的方程为，令，得，故，
设直线与轴交于点，
直线的方程为，令，得，故，
由（i）可知，，故，
所以点是线段的中点，
故的面积，其中为点到直线的距离，
思路1 显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，
设直线的方程为，即，
联立方程组整理得，
据，解得（正舍），
所以平行直线：与直线：之间的距离为
，即的最大值为，
所以的面积的最大值为.
思路2 因为直线的方程为，
所以，
依题意，，，，故，
所以，
因为在椭圆上，故，即，
所以，
当且仅当时取等号，故，
所以，
即的面积的最大值为.
思路3 因为直线的方程为，
所以，
因为在椭圆上，故，
设，，不妨设，
所以，
当，，时，，
即的面积的最大值为.