黑龙江省大庆实验中学实验二部2025--2026学年高一上册期末考试数学试题【附解析】

这是一份黑龙江省大庆实验中学实验二部2025--2026学年高一上册期末考试数学试题【附解析】，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题.等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的补集和交集的定义求解.
【详解】，.
故选：A.
2. “”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由得或，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】由得，即或，
则“”是“”成立的必要不充分条件．
故选：B．
3. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得答案.
【详解】sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°
＝－＋＝．
故选：C.
4. 已知函数的零点在区间内，且，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意发现，再由函数零点存在定理即可求解．
【详解】因为的图象是一条连续的曲线，
且和都为增函数，
所以在上单调递增，
又，
由函数零点存在定理可知，的零点在区间内，
所以．
故选：B．
5. 把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于，由已知可得，根据弧长公式计算即可.
【详解】过点作于，
由折叠性质可得，，
所以，所以，所以，
所以劣弧的长是.
故选：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据折叠性质得到线段的关系，进而得到，根据弧长公式即可求解.
6. 已知函数，记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性将转化为，再利用指数、对数函数性质比较自变量大小，结合时函数的单调性，得出、、的大小关系.
【详解】因为函数，定义域为，而且，
所以偶函数，所以.
由指数函数与对数函数的性质可得，.
因为时，在上单调递增，
所以，所以.
故选：A
7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. 2D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】通过平移得到，再利用对称性列方程，即可求解.
【详解】函数的图象向左平移个单位后，
得到的函数，
因为曲线关于直线对称，
所以，，
解得：，，
因为，令，得，所以的最小值是.
故选：B.
8. 已知函数，，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合图象按、、分类讨论，利用函数图象的交点个数去判断方程根的个数，进而求得实数的取值范围.
【详解】令，的对称轴为，
则实根的个数即为函数与函数图象交点个数，
如下图，
当时，
函数与函数的图象有1个交点，且交点横坐标大于1，
即，函数与函数有2个交点，
且2个交点关于对称，
则方程有两根，且两根和为2，不符合题意；
当时，函数与函数的图象有2个交点，，
时，可得，或，
时，，可得，，，
即函数与函数的图象有5个交点，
则方程有5个根，且5个根的和为5，不符合题意；
当时，函数与函数的图象有2个交点，
即函数与函数的图象有2个交点，分别为，
即，或，，
当时，函数与函数无交点，不符合题意；
当时，函数与函数有4个交点，且关于对称，
所以4个交点横坐标之和为4，
则方程有4个根，且4个根之和为4，符合题意，
综上，实数的取值范围是.
故选：C.

【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作出函数的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9. 以下说法正确的有（ ）
A. 化成角度为
B. 化成的形式是
C. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是
D. 在半径为的圆中，圆心角为的弧长为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用角度与弧度的互化可判断AB选项；利用弧度的定义可判断C选项；利用扇形的弧长公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是，C错；
对于D选项，在半径为的圆中，圆心角为的弧长为，D对.
故选：AD.
10. 下列各式化简正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据指数幂的运算法则，以及对数的运算法则，结合选项，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A，由，所以，所以A正确；
对于B，由对数的运算法则，可得，所以B错误；
对于C，由指数幂的运算法则，可得，所以C正确；
对于D，由对数的运算法则，可得，所以D不正确.
故选：AC.
11. 大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主题，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰油城景色．某摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，）．下列说法正确的有（ ）
A. 求摩天轮转动一周的解析式
B. 游客甲坐上摩天轮后10分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米
C. 游客甲坐上摩天轮后，一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米
D. 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，分钟后游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同
【答案】ACD
【解析】
【分析】理解题意依次求得,由公式计算出，代入点求出，即得判断A，依题意，解三角方程即可判断B，设出高度变化的解析式并利用和差化积进行化简，再利用正弦函数的性质求解最大值判断C，依题意可得，由此解得，，由已知得，即得时，，进而判断D即可.
【详解】对于A，由题意知，，，解得，
又，所以，
时，，解得，
因为，所以，
所以，；故A正确，
对于B，令，得，解得，
即，可得，而，结合题意可得，
当时，即，游客甲距离地面的高度第一次恰好达到52米，
所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米；故B错误，
对于C，由题意知，
设任意一段连续的5分钟时间内的起始时刻为，
此时，
，
则高度变化为，
由和差化积公式得，
结合正弦函数的性质可得，
则在一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米，故C正确，
对于D，由题意知，
因中间间隔5个座舱，从第1个座舱到第6个座舱需要5分钟，
则有，
依题意，即，
即，所以，解得，；
所以，；时，，不合题意；当时，，
即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，经过17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同，故D正确.
故选：ACD
12. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，则（ ）
A.
B. ，都有
C. 的值域为
D. ，都有
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.直接验证；B.由 判断；C. 由 判断，D.由时， ，作差法判断.
【详解】因为函数，
A.，故正确；
B. ，易知在上递减，
所以，都有，故正确；
C. 当时，；当时，，所以 ，故错误；
D. 当时，，
要证明，都有，
即证明，
化简得，
即证明，即证明，
因为，
所以不等式恒成立，故D正确；
故选：ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若函数且，且，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由求出，由得到，分别按照和讨论解不等式.
【详解】由题意得，
当时，得，得．
当时，，恒成立．
故的取值范围为．
故答案为：
14. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】将目标式化为齐次式，结合同角三角函数关系，即可求得结果.
【详解】
．
故答案为：.
15. 已知函数，若实数、满足，则的最大值为__________
【答案】##
【解析】
【分析】判断出函数在上为增函数，以及，由得出，可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为，
对任意的，，即函数的定义域为，
因为函数在上为增函数，函数在上为增函数，
由复合函数法可知函数在上为增函数，
又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，
因为，
所以，故函数的图象关于点对称，
由可得，
所以，则，即，
要考虑的最大值，只需考虑时，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
故答案为：.
16. 用表示函数在区间I上的最大值，若，实数满足，的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】对参数范围进行分类讨论，再结合正弦函数的性质与给定定义求解即可.
【详解】由题意得和均有意义，则，
当时，此时，
此时结合正弦函数性质得，
若，可得，
由正弦函数性质得恒成立，此时符合题意；
当时，此时，
此时结合正弦函数性质得，
若，可得，
此时，解得，即；
当时，此时，
此时结合正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
则，，
若，可得，不符合正弦函数性质，故排除；
当时，有，
若，则，与已知矛盾.
所以，即，则.
当时，此时，
此时，，
若，可得，
解得，
令，可得，符合题意；
当时，此时，
可得，，
若，得到，
同理解得，符合题意.
综上所述.
故答案：
四、解答题.（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 设集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由根式、对数函数的性质求定义域得集合，再求得集合，进而根据并集的定义求解即可；
（2）先求出，根据交集结果，分，两种情况讨论求解即可.
【小问1详解】
对于集合A：，得，故；
当时，，所以.
【小问2详解】
由，则或，而，
当时，，即，满足题设；
当时，，可得.
综上所述，实数m的取值范围为.
18. 已知函数的图象关于点对称．
（1）若，求函数的最值及取最值时的的值；
（2）若，且，求．
【答案】（1）当时，函数取最大值为1，当时，函数取最小值为.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正弦公式进行化简，将代入即可求出的值，求出，结合正弦函数的图象即可求出答案；
（2），即，结合的范围确定的准确范围，利用平方关系求出，再利用两角差的余弦公式可求出答案.
【小问1详解】
函数
因为函数图象关于点对称，所以，即，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以当，即时，函数取最大值，且最大值为1，
当，即时，函数取最小值，且最小值为，
【小问2详解】
因为，即，
因为，所以，又，所以，
当时，则，与题意不符，
所以，有，所以
所以．
所以
．
19. 已知函数的图象和函数的图像关于对称．
（1）求；
（2）若时最小值为，求m值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由函数互为反函数，写出解析式；
（2）令，则，应用二次函数性质及其最小值，讨论大小关系列方程求参数即可.
【小问1详解】
由题意，与互为反函数，
所以.
【小问2详解】
由（1），，令，
则，开口向上且对称轴为，
当，即时，最小值，即，
所以，满足；
当，即时，最小值，即，
所以，（舍）；
综上，或.
20. 已知函数的最小正周期为．
（1）求函数在区间上的单调递增区间；
（2）已知函数，若，，使得，求实数m的取值范围．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）由周期求得函数的解析式，由正弦函数的性质求得函数的单调递增区间，即可得答案；
（2）令，利用二次函数的图象与性质得出，由（1）中结论求得在对应区间的范围，讨论，，时分别求得的范围，由集合的包含关系建立不等式组，解得实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意可知，故，
即，
令，即，
又，则只有当和时范围才存在，
即得，和.
故函数在区间上的单调递增区间为，；
【小问2详解】
令，由得：
，
该函数的图象的对称轴，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数的最小值为，最大值为，
即函数，即
由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减，
且，，
时，，
当时，，不合题意舍去，
当时，，由题意得，
即，解得，
当时，，由题意得，
即，解得，
综上可得：.
21. 已知函数．
（1）若不等式在恒成立，求实数取值范围．
（2）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”，常数称为反比例对称常数．已知函数是“反比例对称函数”，求函数的反比例对称常数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用对数运算对函数表达式进行化简，令，将函数转化为二次函数，求出函数的最大值，使最大值小于或等于，解不等式即可；
（2）根据“反比例对称函数”列出，根据函数在取得最大值，结合得出，解出，再进行验证，得到答案.
【小问1详解】
因为，所以，
则，令，
即可化为，，
由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则有恒成立，解得；
【小问2详解】
定义域为，
因为函数是“反比例对称函数”，所以有，
下面研究函数的单调性：
，令，
由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
又在上单调递增，在上单调递减，
结合函数的性质得在上单调递增，在上单调递减，
因为在取得最大值，且，则，可得，
，
，
，
所以，即时对任意的都有，
综上，.
22. 已知定义在的奇函数满足：①；②对任意均有；③对任意，均有.
（1）求的值；
（2）利用定义法证明在上单调递减；
（3）若对任意，恒有，求实数的取值范围.
【答案】（1）0（2）见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）用赋值法令，即可求解；
（2）根据函数的单调性定义，设，比较大小，做差，利用条件等式转化为一个函数值，或对按已知等式赋值将函数值的差转化为一个函数值，判断该函数值的正负，即可得出结论；
（3）根据已知条件求出或，利用函数的单调性，不等式转化为对任意,不等式或者恒成立，令，，则，，则不等式等价于……①或……②对任意恒成立，，，转化二次函数最值的不等量关系，即可求解.
【详解】解：（1）在中，
令；
（2）由题知：对任意都有，
且对任意均有
证一：任取，则
，
因为，所以，
所以，
即即，也即在单调递减；
证二：任取，设，，，，
则，
因为，所以，即，
也即在单调递减；
（3）在中
令，
令，，
而为奇函数，故，
又在及上均单调递减，
因此原不等式等价于对任意，
不等式或者恒成立，
令，，则，
，则不等式等价于
……①或……②
对任意恒成立，
法一：令，立，开口向上，
则不等式①；
对于②，当时，由，
即必不存在满足②.
综上，.
法二：
令，，
开口向上，对称轴为，
且，，，
1°当即时，问题等价于
或，解得；
2°当即时，
问题等价于或，
解得；
3°当即时，
问题等价于或，
解得；
4°当即时，
问题等价于或，解得；
综上，
【点睛】本题考查抽象函数，合理运用赋值法求函数值，证明函数的函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，考查不等式恒成立问题，等价转化求函数最值有关的不等式，属于难题.