河南省商丘市睢县高级中学2025--2026学年高一上册第二次月考数学试题【附解析】

这是一份河南省商丘市睢县高级中学2025--2026学年高一上册第二次月考数学试题【附解析】，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式将集合具体化，结合交集运算可得.
【详解】由已知得：，，
故.
故选：B.
2. 函数与的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数和幂函数的图象和性质直接判断即可.
【详解】函数为单调递减的指数函数，且过点，其值域为，排除B，D.
函数为幂函数，定义域和值域都是，且单调递增，过点.
故选：A.
3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
4. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】由题意可得，解得或，
又的单调递增区间为，
在上单调递增，
故函数的单调递增区间为.
故选：B.
5. 若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先过呢据条件化简得到，法一，根据基本不等式，即可求解；法二，根据条件等式，变形得，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】，
法一：，当且仅当时，上式等号成立，
又，可得时，的最小值为.
故选：A.
法二：，当且仅当时，上式等号成立，
又，可得时，的最小值为.
故选：A.
6. 若弧度为2的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所夹扇形的面积是（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式和面积公式，即可求解.
【详解】设扇形所在圆的半径为，
根据题意，可得α＝2，l＝4，所以，
所以.
故选：B.
7. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得.
【详解】因为函数为幂函数，
所以，解得或，
又为为增函数，则，
故恒过定点.
故选：C.
8. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对给定的幂或对数变形，借助幂函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答.
【详解】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即，
函数在单调递增，并且有，
则，
于是得，即，则，
又函数在单调递增，且，则有，
所以.
故选：C
【点睛】思路点睛：同指数的幂或同底数的幂，同底数的对数大小比较可分别利用幂函数、指数函数、对数函数单调性进行比较，
如果既有幂，又有对数，一般是选取适当的“媒介”数，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列结论正确是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. “，有”的否定是“，使”
D. “是方程的实数根”的充要条件是“”
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的范围判断A；根据交集的概念判断B；全称量词命题的否定是存在量词命题判断C；将1代入方程求解判断D.
【详解】对于A，因为，所以或，所以“当”时，“”成立，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，正确；
对于B，“”一定有“”成立，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，错误；
对于C，命题“，有”是全称量词命题，
其否定是存在量词命题，即“，使”，正确；
对于D，当时，1为方程的一个根，故充分；
当方程有一个根为1时，代入得，故必要，正确；
故选：ACD
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 函数在定义域上单调递减
D. 函数为奇函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据指数函数性质，结合解析式有意义可判断A；根据指数函数的值域直接推导可判断B；利用复合函数单调性的性质可判断C；根据奇函数定义可判断D.
【详解】对A，因为，所以对任意，，
即函数的定义域为，A错误；
对B，函数，
因为，所以，，所以，
即函数的值域为，B正确；
对C，因为在上单调递减，函数单调递增，
所以，由复合函数单调性可知，函数在上单调递减，C正确；
对D，由，可得：，
则为奇函数，D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，若关于方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ）
A. B.
C. D. 函数有6个零点
【答案】ABC
【解析】
【分析】方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点，画出函数大致图象可完成判断；B由图象可判断选项正误；C由题可得，，据此可完成判断；D令，可将函数的零点个数转化为图象与直线交点个数之和，据此可完成判断.
【详解】对于A，由题可画出大致图象，
则方程有四个不同的根，即图象与直线有4个交点，
则由图可得，故A正确；
对于B，由图可得，当时，，当趋近于0时，，则，故B正确；
对于C，由题.
又由题及图可得，，
则，注意到函数
在上单调递减，则，故C正确；
对于D，令，则，
由图可得，则的零点个数为
方程根的个数之和，
即图象与直线交点个数之和.
由图，图象与直线交点个数为0，图象与直线交点个数为2，
图象与直线交点个数为3，图象与直线交点个数为3，
则交点个数之和为8，即函数有8个零点，故D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点睛：对于零点问题，常转化为函数图象交点相关的问题；对于含有的问题，常通过令来简化问题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则____________.
【答案】
【解析】
分析】分子分母同除以，求解即可.
【详解】由，
解得.
故答案为：.
13. 若，则的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】函数在上单调递减，
又因为，所以，解得
所以的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知函数定义在上，且对任意的，都有，则不等式的解集为____．
【答案】
【解析】
【分析】通过构造分析单调性，将原不等式转化为关于的不等式组求解.
【详解】构造函数（）.
对任意且，不妨设，由，得.
将，代入上式，化简得.
因，故，即在上单调递减.
由，得.
由于不等式有意义，所以，
不等式变形为（其中），即.
因单调递减，故.
解得或；解得.
取交集得或.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简集合，根据补集和并集的概念计算即可；
（2）由题意可知集合是集合的真子集，列不等式求解即可.
【小问1详解】
由题意知，
若，则，所以，
所以；
【小问2详解】
因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，
因为，所以，
所以且等号不同时成立，解得，
当时，，满足题意，
当时，，满足题意，
所以实数的取值范围是.
16. 已知关于x的不等式．
（1）当时，解关于x的不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求x的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）不等式可化为，然后分，，，，五种情况求解不等式；
（2）不等式对恒成立，把看成自变量，构造函数，则可得，解不等式组可求出x的取值范围
【详解】解：（1）不等式可化为，
当时，不等式化，解得，
当时，不等式化，
解得，或；
当时，不等式化为；
①时，，解不等式得，
②时，，解不等式得，
③时，，解不等式得．
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为．
（2）由题意不等式对恒成立，
可设，，
则是关于a的一次函数，要使题意成立只需：
，
解得：，
所以x的取值范围是．
17. 计算
（1）；
（2）；
（3）已知，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3），.
【解析】
【分析】（1）根据指数运算求得正确答案.
（2）根据对数运算求得正确答案.
（3）利用平方的方法求得正确答案.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
设，则，因，得；
由，得， ，
得， 故.
18. 正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”.其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如表所示：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
，，.
（1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆该型号汽车从地到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系是：（），则这辆车在国道上和在高速路上行驶速度分别为多少时，才能使得总耗电量最少，最少为多少？
【答案】（1）选择，
（2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为
【解析】
【分析】（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【小问1详解】
对于，当时，它无意义，所以不合题意，
对于，易知是减函数，
由图表知，随着的增大而增大，所以不合题意，
所以选，由表中数据可得，
解得，，所以当时，.
【小问2详解】
国道路段长为，所用时间为，
所耗电量为
，
因为，所以当时，；
高速路段长为，所用时间为，
所耗电量为
，
当且仅当即时等号成立.
所以：
故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，
该车从地到地的总耗电量最少，最少为.
19. 已知，.
（1）求不等式的解集；
（2）设函数，若存在实数，使得成立，求实数m的取值范围；
（3）若，，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）确定函数定义域为R，代入化简得到，即可求出的取值范围，再结合指数函数的性质即可得解；
（2）先由题设得方程有实数解，接着令得方程有实数解，再结合函数单调性性质求出即可计算求解.
（3）先由题意得，接着求出，再分、和求出即可计算得解.
【小问1详解】
由可知函数的定义域为R，
因，
结合对数函数的单调性可得，，即，
解得，得，
故不等式的解集为.
【小问2详解】
由题可得，
因存在实数，使得成立，
即存在实数，使得成立，
所以方程有实数解，
令，当且仅当即时等号成立，
所以方程有实数解，
因为和为上的增函数，所以为上的增函数，
所以，所以，得，
所以实数m的取值范围为；
【小问3详解】
由题意，使得，所以，
由（1）知，
因为，所以，，所以，
因为，
①当时，在区间上单调递增，所以，
则，得，所以；
②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，即，
所以；
③当时，在区间上单调递减，所以，
则，得，所以；
综上所述，满足题意的实数的取值范围为.
0
20
40
0
2400
4400