河北省七校2026届高三上册高考模拟联考数学试题【附答案】

这是一份河北省七校2026届高三上册高考模拟联考数学试题【附答案】，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设复数，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量，则（ ）
A．B．
C．D．
4．若函数与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．1
C．ln3D．
5．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第三题是测量方邑的问题．如图，点在方邑东表的延长线上，和是两个垂直于东表的延长线且等长的测量标杆．某兴趣小组采用现代测量方法，测得，两标杆间的距离为，则（ ）
A．B．
C．D．
6．若函数（且）的最大值为3，则（ ）
A．B．C．2D．3
7．在等比数列中，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知是函数的两个零点，则的值不可能为（ ）
A．B．0C．D．
二、多选题
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数最大的项是第4项
B．所有项的系数之和为1
C．含的项的系数为
D．常数项为
10．如图，在正四棱柱中，分别是的中点，则（ ）
A．平面
B．
C．平面
D．平面
11．已知抛物线的准线的方程为，过点的直线与交于两点（点在第一象限），直线为坐标原点）分别交于两点，分别为线段的中点，则（ ）
A．
B．以为直径的圆恒过定点
C．
D．的面积不超过四边形的面积的
三、填空题
12．若椭圆（且）的焦距为6，则 ．
13．已知函数，其导函数的图象如图所示，则 ， ．
14．现有甲、乙两个箱子，甲中有2个黑球，乙中有2个白球．每次从甲箱中随机取出一球放入乙箱，摇匀后再从乙箱中随机取出一球放入甲箱，称为“一次操作”．连续进行2次操作后，记甲箱中黑球的数量为，则 ．
四、解答题
15．已知数列的首项，且．
（1）证明：数列是等差数列．
（2）令，求数列的前项和．
16．为了提高利润，某果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图，这是2016年至2025年该果园每年的投资金额（单位：万元）与年利润增量（单位：万元）的散点图．
模型①由最小二乘法可求得与的经验回归方程为；
模型②由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，令，则，且有．
（1）根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程；
（2）已知2025年的投资金额为20万，年利润增量为40万，分析这两种模型在2025年时哪个模型的预报效果更好．
参考公式与数据：．
17．如图，四棱锥的底面是菱形，是的中点，是的中点，．
（1）证明： 平面．
（2）证明：平面．
（3）若，求与平面所成角的正弦值．
18．已知双曲线的离心率为，焦距为4．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）过双曲线的左焦点的直线与双曲线交于两点，的中点为，点的轨迹为曲线．
（i）求的方程．
（ii）已知点在曲线上，点在轴的右侧，点在轴的左侧，为坐标原点，直线与直线分别交于点．求证：.
19．已知函数．
（1）当时，求在上的最大值．
（2）当时，证明：在上单调递增．
（3）证明：，使得．
参考答案
1．【答案】C
【详解】不等式，得，则，而，
所以.
故选C
2．【答案】C
【详解】因为复数,所以，
则
故选C.
3．【答案】B
【详解】由，得，而，
因此，所以.
故选B
4．【答案】D
【详解】由函数与函数的图象关于直线对称，得，
求导得，所以.
故选D
5．【答案】D
【详解】延长交于，依题意，，
在中，，由正弦定理得，则，
在中，，，
所以.
故选D
6．【答案】B
【详解】函数中，，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，当，，
其值域为，而函数在上单调递增，
因此函数的值域为，
当时，函数在上单调递减，值域为，无最大值，不符合题意；
当时，函数在上单调递增，当时，，
解得，符合题意，所以.
故选B
7．【答案】B
【详解】由，得
所以，即，所以 ；
所以 ，得到；
故选B.
8．【答案】C
【详解】由是函数的两个零点，得，，
则，而，则，
当时，，，解得，而，则；
当时，，，解得，而，则；
当时，，，解得，而，则，
因此的值可能是，ABD均可能，C不可能.
故选C
9．【答案】BC
【详解】对于A，由，则其展开式共有项，中间为第项，所以二项式系数最大的项为第项，故A错误；
对于B，令，则，所以所有项的系数之和为，故B正确；
对于CD，由，则其展开式的通项，
令，解得，则含的项的系数为，故C正确；
令，该方程无整数解，则展开式中无常数项，故D错误.
故选BC.
10．【答案】AB
【详解】在正四棱柱中，令，则，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面、平面的法向量分别为，
则，取，得；
，取，得，
对于A，，，即，而平面，
因此平面，A正确；
对于B，，，即，因此，B正确；
对于C，，即向量不垂直，因此与平面不平行，C错误；
对于D，，而，向量与不共线，因此与平面不垂直，D错误.
故选AB
11．【答案】ABD
【详解】对于A，由抛物线准线的方程为，得，A正确；
设，由消去并整理得，
设，则，，
因此，即，以为直径的圆恒过定点，B正确；
对于C，取的中点，连接，则且，
且，C错误；
对于D，取的中点，连接，，由图知点到直线的距离不大于
点到直线的距离，则，由，得，
，
因此的面积不超过四边形面积的，D正确.
故选ABD
12．【答案】
【详解】由焦距为6，结合椭圆方程可得，，
解得或，因为，所以.
13．【答案】
【详解】求导得到，由导函数图象可知 ，，
即，得到 ，所以，
所以是方程的两个根
由韦达定理得到 ，所以
14．【答案】/
【详解】依题意，的可能值为0，1，2，
的事件是第1次操作甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，其概率为，
第2次操作是甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，其概率为，因此；
的事件是甲取黑球放入乙，乙取黑球放入甲，再重复上次操作的事件，
与甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，甲取白球放入乙，乙取黑球放入甲的事件的和，
因此，，
，
所以.
15．【答案】（1）见详解；
（2）
【详解】（1）因为，，所以，
由，两边同时除以可得：，
两边再同时乘以可得：，
又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得：，则，
即，
所以.
16．【答案】（1）；
（2）模型②.
【详解】（1）由，得，
则，，
所以模型②中关于的经验回归方程为.
（2）模型①，，当时，年利润增量，
模型②，，当时，，
因此年利润增量，而，
所以模型②的预报效果更好.
17．【答案】（1）见详解；
（2）见详解；
（3）
【详解】（1）设,连接,所以,
因为，所以,所以为中点；
又因为是的中点，所以是三角形 的中位线；
所以,
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为底面是菱形，所以 ;
又因为，,平面,
所以平面,
因为平面,
所以
又因为，,平面,
所以平面.
（3）在平面内，过点作,所以
因为平面，以点为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设
因为在菱形中，，所以都是等边三角形，
所以
所以 ,
因为是的中点，所以 ,
则 ,
设平面的法向量为
则，即 ，令，得到
设与平面所成角为，
则.
18．【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）
【详解】（1）由双曲线的离心率为，焦距为4，
得半焦距，，则，
所以双曲线的标准方程为.
（2）（i），当直线不垂直于时，设其方程为，，
由消去得，，设，
则，，
于是，，整理得，
当直线垂直于时，由对称性不妨令，则，其坐标满足，
所以的方程为.
（ii）设直线的方程为，，
由消去得，，，
，直线，直线，
则，，
，所以.
19．【答案】（1）；
（2）见详解；
（3）见详解.
【详解】（1）当时，，
求导得，
而，由，得；由，得，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为.
（2）函数，求导得，
由，得，
，
当且时，
，，
因此，所以当时，在上单调递增.
（3）如图，
由正弦函数的部分图象知，当时，，
当时，，
由（2）知在上单调递增，取，
当时，，则；
当时，，此时，
若为奇数，令，由，得，
；
若为偶数，令，则
，
所以，使得.