2025--2026学年河南省南阳华龙高级中学高二上册12月月考数学【附答案】

这是一份2025--2026学年河南省南阳华龙高级中学高二上册12月月考数学【附答案】，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
2．在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若直线与直线平行，则与之间的距离是（ ）
A．3B．1C．D．4
4．已知复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是
A．-1+iB．1+iC．1-2iD．1-i
5．已知在中，，若点为双曲线的两个焦点，且点在上，则的离心率为（ ）
A．7B．C．D．
6．若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，，，若中的第项为奇数，把该项替换成，若第项为偶数，把该项替换成，得到数列，则的前100项和为（ ）
A．1121B．1123C．3365D．3367
8．已知P为曲线M：上的动点，，，，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．直线与的斜率之积为定值
D．当，时，
二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分）
9．已知m，且，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若空间向量，，且，则实数
B．若，则存在唯一的实数，使得
C．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
D．点关于平面对称的点的坐标是
11．已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．若，则异面直线与所成的角的余弦值为
D．若三棱柱存在内切球，则
三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分）
12．已知函数的图象在点处的切线方程是，则 .
13．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为 .
14．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，则的最小值为 ．
四、解答题（本题5小题，共77分）
15．（本题14分）在等差数列中，，．
(1)求通项公式及其前项和的最小值；（6分）
(2)若数列为等比数列，且，，求的前项和．（8分）
16．（本题14分）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点.
(1)求线段的长.（7分）
(2)为原点，求的面积.（7分）
17．（本题15分）如图，在底面为正方形的四棱锥中，，面， ， 分别为和的中点，
(1)求证： ，，，四点共面；（7分）
(2)求二面角的余弦值.（8分）
18．（本题16分）如图1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图2，将四边形沿翻折，使得平面平面.
(1)求证：平面；（5分）
(2)当直线与所成角的余弦值为时，求线段的长度；（6分）
(3)当线段最短时，求二面角的正弦值.（5分）
19．（本题18分）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，.
(1)求抛物线的方程；（5分）
(2)设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点.
①直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值；（7分）
②求四边形面积的最小值.（6分）2025-2026学年度高二上学期数学12月月考试卷参考答案
1．B
【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长.
【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上，
所以，解得，所以椭圆的长轴长为．
故选：B.
2．D
【分析】根据空间向量线性运算计算即可.
【详解】
因为底面是平行四边形，，所以是、的中点.
由向量的平行四边形法则可得，，，
所以.
故选：D.
3．A
【分析】先利用平行直线的判定可求出，再利用平行直线间的距离公式可得答案.
【详解】对于 ：斜率 ，
对于 ：，斜率 ，
因为，所以，
即：，
因此， 的方程为：，即，
两条平行直线之间的距离为：
.
故选：A
4．B
【分析】将变形，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，由共轭复数的定义可得结果.
【详解】因为，
，
，故选B.
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
5．B
【分析】利用双曲线的定义，结合余弦定理建立关系式，进而求出离心率.
【详解】设，（），因为点为双曲线的两个焦点，所以.
在中，由余弦定理得，，即，解得，即.
因为点在双曲线上，所以，即，所以.
故双曲线的离心率为：.
故选：B.
6．C
【分析】设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，设向量的夹角为，
所以，可得，
解得，
所以在方向上的投影为
，当且仅当时，即时，等号成立，
所以在方向上的投影的最大值为．
故选：C.
7．D
【分析】分析数列的周期规律，再结合的定义及存在的周期性规律求值即可.
【详解】已知，，，所以，，
，，，，
，
可以发现，每3项为一组，依次是“奇、奇、偶”.
若为奇数，；若为偶数，，结合的周期，每3项的为：
，，，和为，
，，，和为，
，，，和为，
可见每组和为6，12，18，（等差数列，首项6，公差6，共33项）
所以前99项和为，
第100项为第34组的第1项，为奇数，故.
所以的前100项和为.
故选：D.
8．D
【分析】明确点轨迹，根据椭圆的性质，可判断各选项是否正确.
【详解】因为，.
所以点的轨迹为椭圆位于轴下方的部分，包含与x轴的交点，且，，.
所以，为椭圆的焦点，，为椭圆的左右顶点.
如图：
根据椭圆的定义，，故A正确；
当点位于椭圆下顶点时，的面积最大，为，故B正确；
设，则，，
则为定值，故C正确；
当，时，，
因为，故D错误.
故选：D
9．BC
【分析】由排列与组合数的运算性质求解即可.
【详解】A错，，．
B对，．
C对，，，所以．
D错，．
故选：BC.
10．AC
【分析】利用空间向量的对称特征可判定D，利用空间向量平行的充要条件及坐标表示可判定A、B，利用投影向量的概念可判定C.
【详解】对于A，可知，即A正确；
对于B，显然时，恒成立，此时不唯一或者不存在，故B错误；
对于C，向量在向量上的投影向量，故C正确；
对于D，易知点关于平面对称的点的坐标是，故D错误.
故选：AC
11．AB
【分析】建立空间直角坐标系，计算的坐标和的坐标即可判断A，计算平面的法向量，计算即可判断B，由分别计算即可判断C，对于D先根据等面积法计算出内切圆的半径，可判断D.
【详解】设，
如图，建立空间直角坐标系，
则.
对于A：，
所以，故A正确；
对于B：，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
所以，即，又平面，所以平面，故B正确；
对于C：若，，则，
所以，
即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；
对于D：先设的内切圆半径为，则，
所以，
则若三棱柱存在内切球，则.
故选：AB
12．
【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解.
【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得，
因此，.
故答案为：.
13．
【分析】根据空间直角坐标系下点的坐标的特征计算可得.
【详解】点到轴的距离为.
故答案为：
14．
【分析】由抛物线的定义，用，表示出，再根据勾股定理和基本不等式求解即可.
【详解】
设，，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如图所示.
由抛物线的定义可得，.因为为线段的中点，所以.
又，所以，所以.
又，所以，当且仅当时取等号，所以，即，所以的最小值为.
故答案为：.
15．(1)，最小值为
(2)
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，再由等差数列的前项和公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）设等差数列的公差为.
因为，所以，解得，
所以.
所以.
因为，所以当或时取得最小值，
且最小值为.
（2）由（1）可得：，，
所以等比数列的公比为，
所以，所以等比数列的前项和.
16．(1)8
(2)
【分析】（1）求出直线方程，与抛物线方程联立，应用韦达定理，结合焦点弦长公式可得结果；
（2）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后由三角形的面积公式求解．
【详解】（1）∵抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为1，
∴直线方程为，
由，得，
设，则，
则由抛物线焦点弦长公式得：．
（2）点到直线的距离为，
则的面积．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的三等分点，，分别延长和交于点，证明，由此证明，重合，再证明直线与相交，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求平面，的法向量，结合向量夹角公式求结论.
【详解】（1）取的三等分点，，如图所示，
由题意知，，所以，
确定平面，且 ，
在平面中，分别延长和交于点，
所以，则，即，
又在面中，，且，连接并延长交于点，
则，那么有，
所以，为同一点，又点，点，
所以直线与相交，确定平面，
所以，，，四点共面；
（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设二面角为， （为锐角），
设长为，则，，，，，，
因为，所以，则点，
又，，
设平面的法向量为，不妨令，
由，得，
取，可得，，
所以为平面平面的一个法向量，
又，，
设平面的法向量为，
由，得，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
所以，
所以二面角的余弦值为
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）通过证明即可证得线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系后写出，再设出点，则，写出，再运用向量夹角公式列出方程，即可求得，继而求得；
（3）利用这个二次函数，求出取得最小值时的，则两点确定，再求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值，再转换为正弦值即可.
【详解】（1）在矩形中，分别是的中点，
所以和是全等的正方形，
所以.
又因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又因为平面，
所以平面.
（2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，.
设，则，
所以，而，
设直线与所成角为，
则，
解得或（舍去）.所以，
所以线段的长度为.
（3）因为，
所以当时，线段最短，
此时.
设是平面的一个法向量，
则，即，
取平面的一个法向量为.
设是平面的一个法向量，
则即，
取平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，
则，
所以.
19．(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）由题意求出即可得解；
（2）①①设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出点的坐标，将用替换，可得点的坐标，再根据斜率公式化简即可得证；
②联立直线与圆的方程，求出点的坐标，即可求出，将用替换，可得，再根据四边形的面积化简整理即可得解.
【详解】（1）由题意可得，
所以抛物线的方程为；
（2）①设直线的方程为，则直线的方程为，
联立，消得，解得或，
所以，
将用替换，可得，
，
则，，
所以，
所以为定值；
②联立，消得，
解得或，
所以，
所以，
将用替换，可得，
故四边形的面积
，
令，
则，
所以，
设，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当，即时，取得最小值，最小值为，
所以四边形面积的最小值为.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．