2025--2026学年河南省漯河市临颍县新时代实验学校高二上册期中考试数学【附答案】

这是一份2025--2026学年河南省漯河市临颍县新时代实验学校高二上册期中考试数学【附答案】，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在平行六面体中，若，则（ ）

A．B．C．D．
2．已知直线l上两点，，若直线l的倾斜角为，则实数n的值为（ ）
A．B．0C．D．
3．在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的大小是（ ）．
A．B．C．D．
4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
5．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．椭圆的短轴长为（ ）
A．B．C．6D．3
7．经过两点，的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
8．圆与圆的公切线的条数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、多项选择题（本题3小题，每题3分，共18分）
9．已知点，圆，则（ ）
A．点在直线上
B．点可能在圆上
C．圆上至少有2个点与点的距离为1
D．过点作圆的切线，则切点弦过点
10．如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．与所成角的余弦值为
B．与平面所成角的正弦值为
C．点到直线的距离为
D．与平面的距离为
11．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点，直线交于C，D两点.若的重心在以为直径的圆上，则（ ）
A．的焦距为
B．的渐近线方程为
C．的外接圆的面积为
D．过点作直线交于，两点，且，则
三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分）
12．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是 .
13．在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为 .
14．设，分别为双曲线：（，）的左、右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，，则的离心率为 .
四、解答题（本题5小题，共77分）
15．（本题14分）已知抛物线：（）经过点.
(1)求抛物线的焦点的坐标；（6分）
(2)设直线经过点，且斜率为，若与有2个交点，求实数的取值范围.（8分）
16．（本题18分）如图，在四边形中，，，，将沿翻折至，使点落在点的位置，且.点，满足，，连接，，.

(1)证明：；（5分）
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；（7分）
(3)若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.（6分）
17．（本题15分）已知圆的圆心在直线上，且经过点，.
(1)求圆的标准方程；（7分）
(2)求过原点且与圆相切的直线方程.（8分）
18．（本题17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面.

(1)证明：.（5分）
(2)点在线段上，若平面，求.（5分）
(3)求二面角的正弦值.（7分）
19．（本题13分）已知空间中三点，，，设，.
(1)求与的值；（6分）
(2)已知向量与互相垂直，求k的值.（7分）2025-2026学年度高二上学期数学期中考试参考答案
1．A
【分析】根据空间向量的线性运算得到，然后求即可.
【详解】解：，又因，，
∴，
∴，，，
故选：A.
2．A
【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可.
【详解】因为点，在直线l上，直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率为，解得.
故选：A.
3．C
【分析】将正三棱柱补体后得到如图所示的几何体，则或其补角即为所求的异面直线与所成的角，通过解三角形可得其大小.
【详解】
如图，将题设的正棱柱补成如图所示的几何体，
因为，故或其补角即为所求的异面直线与所成的角.
设，则，
在直角三角形中，因为，，故，
同理，，
故，而，
故，故异面直线与所成的角为.
故选：C.
【点睛】本题考查异面直线所成的角的计算，注意通过平移、补体等方法构造异面直线所成的角，本题属于中档题.
4．A
【分析】由题意，得，进而得到即可求解离心率.
【详解】由题意，得，则，
所以，则，即，
所以的离心率为.
故选：A.
5．B
【分析】利用在上的投影向量公式计算求解.
【详解】在上的投影向量为
故选：B.
6．C
【分析】化简椭圆的方程为标准方程，结合椭圆的几何性质列出方程，即可求解.
【详解】椭圆的标准方程为，则，，
所以，，故此椭圆的短轴长.
故选：C.
7．D
【分析】根据两点坐标可得直线斜率，由斜率与倾斜角关系可得结果.
【详解】，，，
设直线的倾斜角为，则，.
故选：D.
8．A
【分析】确定两圆的圆心与半径，确定圆与圆的位置关系，从而确定公切线的条数.
【详解】，圆心，半径为2，圆，圆心，半径为3，
两圆的圆心距为，大于两圆的半径之和，故两圆相离，
则两圆的公切线有4条.
故选：A.
9．AD
【分析】对选项A将点代入验证即可；对于选项B则求圆心到直线的距离可知直线与圆外离，即可得结果；对于C点P到圆上一点的最小值为1；对于D根据选项构造以线段为直径的圆，求出圆和圆的公共弦方程进而求解.
【详解】对A,点，代入直线方程得，故点在直线上．故A正确；
对B，圆心到直线的距离为（为圆的半径），故直线与圆相离，因此点不可能在圆上．故B错误；
对C，因为，所以圆上只有1个点与点的距离为1．故C错误；
对D,构造以线段为直径的圆，则线段为圆和圆的公共弦．
圆的直径式方程为，
整理得 ①．
圆方程化为一般式为，与①作差变形得的方程为．整理得，令解得即直线经过点．故D正确
故选：AD
10．ACD
【分析】通过建系，求出相关点的坐标，相关直线的方向向量、相关平面的法向量坐标，利用空间向量夹角的坐标公式以及点到直线、点到平面的距离公式分别计算即可逐一判断.
【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则
对于A，，，
设与所成角为，则，故A正确；
对于B，平面的法向量可取为，，
设与平面所成角为，则，故B错误；
对于C，因，与同方向的单位向量为，
，则点到直线的距离为，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，，
则，故可取，
由，平面，可得平面，
则与平面的距离即点到平面的距离，
由，则到平面的距离为，故D正确.
故选：ACD
11．ABD
【分析】由题设求得的重心的坐标为代入圆，结合，求得，进而得的焦距和渐近线方程，即可判断A、B；由题设得，令，，进而可求的外接圆的圆心，从而得半径、面积即可判断C；设直线，，，联立利用韦达定理结合求得，再利用弦长公式求得即可判断D.
【详解】由题意易得C，D两点的坐标为，，
又，所以的重心的坐标为，
记，则以线段为直径的圆的方程为，
所以，所以，
所以，所以的焦距为，，
故的渐近线方程为，故A、B均正确；
不妨令，，
又，所以线段的垂直平分线的方程为，
线段的垂直平分线的方程为，
令，得，所以的外接圆的圆心为，
所以的外接圆的半径为，
所以的外接圆的面积为，故C错误；
由上面分析知的方程为，由题知直线的斜率不为0，
设直线，，，
联立，整理得，
则，，，，
所以，
因为，所以，
所以，
即，整理得，即，
所以，故D正确.

故选：ABD.
12．
【分析】求得点关于轴的对称点为，求得到圆上上的点的最短距离即可.
【详解】由圆，得圆心坐标，半径为1，
点关于轴的对称点为，
则到圆上上的点的最短距离即为它爬到的最短路程，
所以它爬到的最短路程是.
故答案为：.
13．
【分析】设G关于平面对称的点为，的周长，再通过建系以及转化思想转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况，由此可得结果.
【详解】
设G关于平面对称的点为，连接，则，
，的周长，
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,，，
设，则，所以
即点到与距离和的最小值，
设关于x轴对称的点为，
则
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况.
14．
【分析】利用双曲线的定义得到，由得到，由得到，设，求出，由及二倍角的余弦公式得到，由即得到，
在中，利用余弦定理建立的等式计算得解.
【详解】点在的右支上，，
，，
，，
设，，，
，，
，
，，，
，，，
在中，，
即，整理得，则，又，故.
故答案为：
15．(1)；
(2)或.
【分析】（1）将点代入抛物线方程计算求出，求出焦点坐标即可；
（2）设直线的方程为点斜式，联立直线和抛物线，消去，整理得到关于的一元二次方程，利用计算得解.
【详解】（1）抛物线：（）经过点，
，，，抛物线的焦点的坐标为；
（2）设直线经过点，且斜率为，设直线的方程为，
联立，消去，整理得到，
与有2个交点，，
，或.
实数的取值范围为或.
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由线面垂直的判定理证明平面即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进行求解；
（3）求出平面的法向量，再由线面角的向量求法求解．
【详解】（1）证明：取的中点，连接，.

因为，所以，因为，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，故.
（2）因为，，所以，则，
由，得，
因为，所以，则.
所以，，互相垂直，以为坐标原点，
以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间坐标系.
则，，，.
，，
设平面的法向量为，
取，则，
由（1）可知，，易知，
又，，所以，，
又，，平面，所以平面，
则是平面的一个法向量.
所以，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
（3）因为，所以四边形为平行四边形，
则，又，所以四边形为平行四边形，
则，，又，，
所以，，
则四边形为平行四边形，所以.
设平面的法向量为，
取，则，
易知，因为点是线段的中点，
所以，
设直线与平面所成的角为，
所以.
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解；
（2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案.
【详解】（1）线段的中点，直线的斜率，
则线段的中垂线斜率为，方程为，即，
由，解得，，因此圆的圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
（2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为，
即直线与圆相切；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为，
解得，因此切线方程为，
所以经过原点且与圆相切的直线方程为或.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）作，垂足为，连接.在中，根据题设证得，进而得到平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）先在（1）的基础上证得平面，再结合平面得到平面平面.再根据面面平行的性质，利用线段成比例即可得解；.
（3）利用题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角的余弦值进而得答案．
【详解】（1）作，垂足为，连接.
在中，.
，.
所以，四边形是正方形.
所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以.
（2）因为四边形是正方形，所以.
因为平面，所以平面.
若平面，因为，所以平面平面.
因为平面平面，平面平面，所以，
所以.因为，所以.
（3）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，.

设平面的法向量为，
则取.
设平面的法向量为，
则取.
，
，
即二面角的正弦值为.
19．(1)，
(2)5
【分析】（1）由向量夹角公式即可求解；
（2）由向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1）因为，，，
所以，，
所以，，
.
（2），
因为向量与互相垂直，
所以，
解得．所以的值是5.