（湖南、广西）湘一联盟2025--2026学年高二上册12月月考数学试题【附答案】

这是一份（湖南、广西）湘一联盟2025--2026学年高二上册12月月考数学试题【附答案】，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．点所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．3
2．在等比数列中，，则公比（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．若空间向量与垂直，则（ ）
A．B．C．1D．2
4．已知椭圆的焦距为，则（ ）
A．B．或C．D．或
5．已知直线与圆相交，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．对于数列，设甲：，对任意，，乙：为等差数列．则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知空间中，，，四点共面，则（ ）
A．B．C．1D．2
8．已知抛物线的焦点为，点，直线交于两点，且点为的重心，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知直线，，，则下列选项正确的是（ ）
A．的倾斜角的取值范围是B．过定点
C．若，则D．若，则
10．如图，在直三棱柱中，，且为所在平面内一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点的轨迹是一条直线
B．若，则点的轨迹是半径为1的圆
C．若，则点的轨迹是椭圆
D．若点到直线和的距离相等，则点的轨迹是抛物线
11．已知正项数列满足，，，其中表示不大于的最大整数，则（ ）
A．
B．数列的前项和为
C．能使，，成等差数列的正整数共有个
D．数列的前项和为
三、填空题
12．已知平面过坐标原点，且一个法向量为，则点到的距离为 .
13．已知是递增的等比数列，若，，则 ．
14．已知双曲线的左､右焦点分别为，抛物线以为焦点，与的一个交点为，若的周长为，则 .
四、解答题
15．设为递增的等差数列，其前n项和为，已知，且.
（1）求的通项公式；
（2）求使成立的的最小值.
16．已知圆的圆心为，且圆经过点.
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线与圆相切，求的方程.
17．如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，且.
（1）证明：平面；
（2）当线段的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知数列满足．
（1）求的值；
（2）证明是等比数列，并求的通项公式；
（3）设的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
19．已知椭圆的长轴长为4，离心率为.
（1）求椭圆的方程.
（2）设分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上除上、下顶点外的一点，直线分别与椭圆交于另一点和，直线与椭圆交于另一点.
（i）求面积的最大值；
（ii）证明：直线过定点.
参考答案
1．【答案】A
【详解】点所在直线的斜率为.
故选A
2．【答案】B
【详解】由，可得，所以.
故选B
3．【答案】B
【详解】由题可知，解得.
故选B
4．【答案】D
【详解】由题意可得，则，
当椭圆的焦点在轴上时，则，，，解得；
当椭圆的焦点在轴上时，则，，，解得.
综上所述，或.
故选D.
5．【答案】C
【详解】圆的方程可整理为：，
因此圆心，半径.
因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离，
得，即.
故选C.
6．【答案】B
【详解】若，则的奇数项和偶数项分别成等差数列，不一定为等差数列，
如通项公式为的数列，满足，不是等差数列；
反之，若为等差数列，设其公差为，则，即符合条件，
所以甲是乙的必要不充分条件.
故选B
7．【答案】A
【详解】设原点，，即，
则，，因为四点共面，所以，所以，．
故选A.
8．【答案】D
【详解】由题可知，如下图所示：
设直线的方程为，设，
联立方程可得，消去得，
所以，，
所以，
因为为的重心，所以，，
解得，
所以的方程为，即，检验可知，不过点，满足题意，
所以的方程为.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，的斜率，倾斜角的取值范围是，故A正确；
对于B，易知过定点，故B正确；
对于C，若，则，解得或，故C错误；
对于D，由C可知，当时，，
所以当时，有，解得，故D正确．
故选ABD
10．【答案】ABD
【详解】对于A，如图，连接，当点与点不重合时，
因为三棱柱为直三棱柱，所以，
又，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，所以平面平面，
又因为平面平面，所以点的轨迹是过点的一条直线，故A正确；
对于B，因为，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，故B正确；
对于C，如图，以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，
则，，设，因为，
所以，化简得，
所以点的轨迹是圆，故C错误；
对于D，因为平面平面，所以，
所以点到直线的距离即点到点的距离，
所以点到直线的距离与点到点的距离相等，
满足抛物线的定义，则点的轨迹是在平面内的一条抛物线，故D正确.
故选ABD
11．【答案】AC
【详解】对于A，由题可知是首项为，公差为的等差数列，所以，因为为正项数列，所以，故A正确；
对于B，因为，所以的前项和为，故B错误；
对于C，由题意知，，
因为，，成等差数列，
所以，代入得，解得，
因为，，所以当时，都有，
所以的取值共有个，故C正确；
对于D，当时，，共项
当时，，共项
当时，，共项
当时，，共项
当时，，共项
当时，，共项
当时，，共项
当时，，共项
当时，，共项
当时，，共项，
所以的前项和为
，故D错误；
故选AC.
12．【答案】
【详解】由题可知，在平面内，，.
13．【答案】
【详解】设等比数列的公比为．
由等比数列的性质可知，又，
所以是方程的两个根，解得或27，
又是递增的等比数列，所以．所以．
故．
14．【答案】.
【详解】设双曲线的半焦距为，，由题可知，则；
如图，过点作轴的垂线，过点作的垂线，垂足为点，则为的准线，所以；
由题可知，解得，所以；
在中，由勾股定理可得，又，所以；
所以，整理可得，解得，因为，所以，即.
15．【答案】（1）
（2）5
【详解】（1）设数列的公差为，因为，且，
所以，解得或（舍），
故.
（2）由（1）可得：，
若，则，解得：，
故的最小值为.
16．【答案】（1）
（2）或.
【详解】（1）由题可知，即，
解得，则圆心的坐标为，
所以圆的半径，
所以圆的方程为.
（2）当的斜率不存在时，，与圆相切，符合题意.
当的斜率存在时，设.因为与圆相切，所以，
解得，所以的方程为，即.
综上，的方程为或.
17．【答案】（1）见详解
（2）.
【详解】（1）如图，过点作交于点，连接，
则平面.
在正方体中，.
.
又.
平面平面平面.
平面平面，
∴平面平面，
平面.
（2）以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，.
，
则，
当，即分别为的中点时，的长度最小，
此时.
设向量为平面的应该法向量，
则令，则.
易知平面即平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）
（2）见详解，
（3）
【详解】（1）因为，
所以．
（2）因为，
所以，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即．
（3）由（2）得，
①当为正奇数时，
，
由，得，
即，
因为，所以对任意的正奇数都成立，
当时，有最小值1，
所以．
②当为正偶数时，
，
由，得，
即，
因为，所以对任意的正偶数都成立，
当时，有最小值，所以，
综上，可知，即实数的取值范围是．
19．【答案】（1）.
（2）（i）2；（ii）见详解.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为.
由题可知，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）如图，由（1）可知.
由题可知直线的斜率存在，设直线，
联立直线与椭圆的方程，即，消去，可得，
则，由，可得，异号，
所以
，
当且仅当，即时“”成立.
又的面积，
所以的面积，
即面积的最大值为2.
（ii）由上知直线，
联立直线与椭圆的方程，即，
消去，可得.
因为，所以，
设，则，
又，所以，
即.
同理可得.
直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程，即，
消去，可得，
所以，则.
直线的方程为，
由对称性可知：若直线过定点，则定点必在轴上.
令，得
，（将代入即可）
所以直线过定点.