辽宁省葫芦岛市2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
2.复数 满足 ,则复数 的虚部是
A. B. i C. 1 D. -1
【答案】D
3.若抛物线的焦点是双曲线 的焦点之一，则抛物线的标准方程是
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
4.从小到大排列的一组数据 ,若这组数据的第 60 百分位数与平均数相同，则 的值为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
5.20 世纪 30 年代，里克特()制定了里氏震级.里氏震级是一种衡量地震能量大小的尺度,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大,里氏震级 的计算公式为 ,其中 是被测地震的最大振幅, 是“标准地震”的振幅. 已知 5 级地震的最大振幅为 ,则 7 级地震的最大振幅是
A. B. C. D.
【答案】D
6.在 中, ; 则
A. B. C. 4 D. 8
【答案】A
7.数列 满足 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
8.已知 为非零向量， 为单位向量，满足 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知 ,则 的值可能为
A. B. 0C. D.
【答案】BD
10.已知抛物线 的焦点为 ,过 的直线 交抛物线于 两点,设直线 的斜率为 (其中 为坐标原点),则下列结论正确的是
A.
B.
C. 若 ，则直线 的斜率为
D. 以线段 为直径的圆一定与抛物线的准线相切
【答案】ABD
11.若实数 和等比数列 满足 ,则 可能的取值有
A. -3 B. -2 C. 0 D. 2
【答案】AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.在 的展开式中，含 项的系数为________.
【答案】80
13. ,则不等式 的解集为_______.
【答案】
14.在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点， 为侧面正方形 内一动点 (包含边界)，若 ，则动点 的轨迹长为________.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间及在 上的值域；
(2)若 为锐角且 ，求 的值 .
【解析】(1)
令 ,
解得:
则 单调递增区间:
当 时, ,
故
(2)由 ,得:
整理得: .
因 为锐角,所以
结合正弦值为负数,故有
所以,由同角三角函数的平方关系得:
.
16.已知椭圆 的长轴长为8，离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)如果过定点 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ,求直线 的方程.
【解析】(1)由已知可得:，解得 ，所以椭圆的标准方程是
(2)设直线 的方程为 ，联立方程
整理得:
即
解得 (符合 )
所以直线 的方程为 .
17.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为等腰梯形， .
(1)求证: 平面 ；
(2)若二面角 的余弦值为 ， 求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】
(1)由已知可得
在 中,由余弦定理得
在 中,由勾股定理逆定理得
面 ， 面
面 面
面
(2)以 为坐标原点，过 作 垂直于 ，以 所在的直线为 轴， 轴, 轴,建立坐标系,则
设 ,则 ,
设面 的一个法向量为
令 ,则
于是 .
设平面 的一个法向量为 ,
则
令 ,则
.
于是
解得
所以
所以
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
18.已知函数 .
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)当 时，讨论 的单调性；
(3)判断函数 在 上的零点个数，并说明理由.
【解析】(1)当 时，
,于是切点为 .
所以切线方程为: .
(2)当 时， ，
当 时， ， ，所以，
所以， 在 上单调递增 .
当 时, ,所以
所以， 在 上单调递减
(3)令 ,
当 时, ,不是 的零点.
当 时,整理得:
令 ,
则
① 当 时，显然 ，
故 在 上单调递减且 ,
② 当 时，设
在 上单调递减
故
从而
所以 在 上单调递增,
故
综上可以判断,
当 ,时 有 2 个零点;
当 时, 有 1 个零点;
当 时, 无零点 .
19.在平面直角坐标系中,直线 以每秒 1 个单位的速度沿坐标轴随机向上、下左、右四个方向移动且向四个方向移动的概率都相同, 秒结束后所得的直线称为直线 在 秒的生成直线,记作直线 ,生成直线 的概率称为该生成直线的生成概率,记作 ,整个操作称为一个 秒操作. 例如: 直线 在 1 秒生成的直线有 以及 ,其对应的生成概率为 .
(1)写出直线 在 3 秒的生成直线 的概率；
(2)判断直线 是否为直线 在 6 秒的生成直线，若是，求出其概率； 若不是，请说明理由;
(3)设直线 进行了79次6秒操作，生成直线 的直线有 次，此时概率为 ,当 为多少时, 最大.
【解析】(1) 在 3 秒生成的直线有,,,
其生成的概率分别为,,,
(2)记事件 A:生成直线 . 直线需要在 6 秒中有 3 秒向左(上)移动，3 秒向右 (下) 移动, 即可回到初始位置。
(3)由(2)得，79 次操作满足二项分布，设生成直线为 得条数为 ,则
若使 最大,只需研究 与 的大小关系. 13 分
当 时,
当 时,
当 时,
所以 24 或 25 次时，其生成概率最大 .