陕西省商洛市2026届高三上学期12月学情调研测试数学试题（Word版附解析）

这是一份陕西省商洛市2026届高三上学期12月学情调研测试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知向量不平行，，则（ ）
A．B．C．1D．2
4．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ）
A．36种B．24种C．18种D．12种
6．已知等差数列的公差不为零，，是和的等比中项，设，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．一条直线经过点，被圆截得的弦长等于8，这条直线的方程为（ ）
A．或B．或
C．D．或
8．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．某科技公司统计了一款APP，最近5个月的下载量如表所示，若y与x线性相关，且经验回归方程为，则（ ）
A．y与x负相关B．
C．预测第6个月的下载量约为2.1万次D．残差绝对值的最大值为0.5
10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有2个零点
B．当时，
C．不等式的解集是
D．，都有
11．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为，AB为底面圆直径，，点C在底面圆周上．（不与A、B重合），则（ ）
A．该圆锥的体积为B．的中点为，则平面PAC
C．该圆锥的侧面积为D．该圆锥的内切球半径为
三、填空题
12．已知正数a，b满足，则的最小值为 ．
13．已知抛物线，直线与抛物线相交于，且的中点为，则 ．
14．已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知．
(1)求的最小正周期和对称轴方程；
(2)已知的内角C满足，且点D在线段AB上，求CD的长．
16．已知等差数列的前n项和为且．
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)设，求数列的前n项和．
17．如图，在正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，D为棱的中点，E是棱上的动点（不与B、重合），连接BD．

(1)证明：．
(2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ABC夹角的余弦值.
18．已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)已知直线，交于，两点，
①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由；
②若，求的面积的最小值．
19．若直线与两个函数图象在公共点处相切，称直线为这两个函数的“合一切线”．
(1)已知，求函数的零点；
(2)求函数与函数的“合一切线”方程；
(3)已知，若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求a，b的值．
参考答案
1．D
【详解】集合，
所以.
故选：D
2．D
【详解】，
z在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
3．B
【详解】因为向量，不平行，，
所以存在实数，使得：，
即，解得.
故选：B.
4．B
【详解】因为，则，故，
因此，.
故选：B.
5．C
【详解】当教师甲与2名学生去北京时，分配方案共有（种）；
当教师甲与另一名教师及2名学生去北京时，分配方案共有（种），
综上，分配方案共有（种）.
故选：C.
6．D
【详解】设的公差，因为，是和的等比中项，所以，
即，解得，则，
所以，
所以的最小值为.
故选：D.
7．D
【详解】由圆的方程，得到圆心坐标为，半径，
直线被圆截得的弦长为8，弦心距，
若此弦所在的直线方程斜率不存在，直线方程为，满足题意；
若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为，
所求直线的方程为，，
圆心到所设直线的距离，整理得，解得：，
此时所求方程为，即，
综上，此弦所在直线的方程为或
故选：D
8．A
【详解】不等式可化为，
当时，不等式的解集为，不符合题意，
当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以，
当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以，
综上，实数的取值范围为.
故选：A.
9．ABC
【详解】对于A，由，得变量与负相关，A正确；
对于B，，，
，则，解得，B正确；
对于C，当时，，预测第6个月的下载量约为2.1万次，C正确；
对于D，当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，因此残差绝对值的最大值为0.2，D错误.
故选：ABC
10．BCD
【详解】对A，当时，由得，
又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有3个零点，故A错误；
对B，设，则，则，故B正确；
对C，当时，由，得；
当时，由，得无解；故C正确；
对D，，都有
，故D正确；
故选：BCD．
11．BD
【详解】
因为圆锥的顶点为P，底面圆心为，AB为底面圆直径，，
所以是等边三角形，
对于A，该圆锥的体积为，故错误
对于B，在中，由的中点为，的中点为，
所以，又平面，平面，所以平面，故正确；
对于C，该圆锥的侧面积为，故错误；
对于D，作圆锥的轴截面如下图，则的内切圆半径即为该圆锥的内切球半径，设所求半径为，
则根据等面积法有，解得，
所以该圆锥的内切球半径为，故正确；
故选：BD
12．9
【详解】由题且，
所以，
当且仅当即时等号成立.
所以的最小值为9.
故答案为：9.
13．
【详解】又中点在直线上，
所以，即，故直线的方程为
设，联立方程得，
所以，，
因为的中点为，
所以，解得，满足判别式，
故.
故答案为：
14．
【详解】不等式在上有实数解，即在上有实数解，
只需，
，，
故在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，
所以，实数的取值范围为.
故答案为：
15．(1)，；
(2).
【详解】（1）由，
得，
所以的最小正周期为，
由，得，
所以图象的对称轴为.
（2）在中，由，得，即，
而，即，则，，
由，得，而，
所以
16．(1)，；
(2).
【详解】（1）设等差数列的公差为，由及，得，
解得，所以数列的通项公式为，
前n项和.
（2）由（1）得，
所以
.
17．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在正三棱柱中，取中点，连接，则，
由D为棱的中点，得，而平面，则平面，
又平面，于是，由平面，
得平面，而平面，因此，而，
所以.
（2）由（1）得直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，设，则，
平面平面，则平面与平面的一个法向量均为，
由直线与平面所成角的正弦值为，
得，解得，
，而，设平面的法向量为，
则，取，得，
所以平面与平面ABC夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)①不存在，详见解析
②
【详解】（1）因为，故.
由，代入得，则.
又因为在双曲线上，代入，得，则，
故双曲线方程为.
（2）由题可设，将代入双曲线中，
整理得，由根与系数关系得，
，
.
①不存在符合的直线.
令，
由得，即，
将代入上式得，
，
展开并整理，
将根与系数关系代入，
化简整理得，解得.
因此直线方程为.
检验，此时直线与双曲线的两个交点为，与重合，不构成垂直关系，
因此不存在满足条件的直线.
②弦长，
到直线的距离，
，
令，可知在单调递增，
故，所以的面积最小值为.
19．(1)0；
(2)；
(3)，，.
【详解】（1）中，令，解得，
故定义域为，
，令，则恒成立，
故函数，即在上单调递增，
又，故当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，也是最小值，又，
故有且只有1个零点，零点为0；
（2）由（1）知，函数与函数的公共点仅有1个，
即横坐标为0，则，故公共点为，
，故在处的切线斜率为，
切线方程为，即，
，故在处的切线斜率为，
切线方程为，即，
综上，与函数的“合一切线”方程为；
（3），
设函数与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为，
其斜率分别为，则，
因为，所以，
所以，
不妨设，则，
因为，
由“合一切线”的定义可知，，
又，故，，
故，，
由“合一切线”的定义可知，，
又，，，代入上式，可得，
当，，时，取，，
则，，月份编号x
1
2
3
4
5
下载量y（万次）
5
4.5
4
3.5
2.5