山东省济宁市三校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题

这是一份山东省济宁市三校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题，共10页。试卷主要包含了曲线上的点到直线距离的最小值为，下列求导数运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
2．已知，下列排列组合公式中，不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．曲线上的点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）

A．B．
C．D．
5．已知函数在区间单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁位运动员要与这个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（ ）
A．B．C．D．
7．设偶函数的导函数，，当时，，则使得成立的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．下列求导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．由数字0，1，2，3组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是（ ）
A．可以组成18个不同的数
B．可以组成8个奇数
C．可以组成12个偶数
D．若数字1和2相邻，则可以组成8个不同的数
11．设函数，则关于的方程的实数根的个数可能为（ ）
A．4B．3C．2D．1
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．甲、乙、丙、丁、戊五名学生参加“劳动技术比赛”，决出第一名到第五名的名次，甲、乙、丙去咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是亚军，乙不是五人中成绩最好的，丙不是五人中成绩最差的，而且五人的成绩各不相同．”则他们五人不同的名次排列共有 种情况．（用数字填写作答）
13．某学校有5个班级的同学一起到某工厂参加社会实践活动，该工厂有5个车间供学生选择，每个班级任选一个车间进行实践学习，则恰有2个班级选择甲车间，1个班级选择乙车间的方案有 种．
14．设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（1）解不等式．
（2）若，求正整数n．
16．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)求的极值．
17．已知x＝1是函数f（x）＝mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．
（1）求m与n的关系表达式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）当x∈[﹣1，1]时，函数y＝f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．
18．已知函数．
(1)当时，求的单调区间与极值.
(2)若在上是增函数，求a的取值范围；
(3)讨论的单调性．
19．已知函数，．
(1)若的最大值是0，求的值；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围．
《山东省济宁市三校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题》参考答案
12．14
13．270
14．
15．（1）；（2）.
【分析】（1）根据排列数及排列数公式，计算即可；
（2）根据组合数及组合数公式，计算即可．
【详解】（1）由，可得，可得.
可得，
所以，即，
因为，，，
，，
所以；
（2）
，
故，解得.
16．(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；
(2)极大值为，极小值为0．
【分析】（1）求出导函数，在定义域内由得增区间，由得减区间；
（2）由单调性得极值点，计算得极值．
【详解】（1）的定义域为，
，令，解得或，
令，解得，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，，
所以的极大值为，极小值为0．
17．（1）n＝3m+6．（2）f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（3）m＜0．
【分析】（1）求出f′（x），因为x＝1是函数的极值点，所以得到f'（1）＝0求出m与n的关系式；
（2）令f′（x）＝0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；
（3）由题意知f′（x）＞3m，分x＝1和x≠1，当x≠1时g（t）＝t，求出g（t）的最小值．要使（x﹣1）恒成立即要g（t）的最小值，解出不等式的解集求出m的范围．
【详解】（1）f′（x）＝3mx2﹣6（m+1）x+n．
因为x＝1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）＝0，即3m﹣6（m+1）+n＝0．
所以n＝3m+6．
（2）由（1）知f′（x）＝3mx2﹣6（m+1）x+3m+6＝3m（x﹣1）[x﹣（1）]
当m＜0时，有1＞1，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：
由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
（3）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1）]＞3m，
∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1）]＜1．（*）
①x＝1时．（*）式化为0＜1恒成立．
∴m＜0．
②x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．
（*）式化为（x﹣1）．
令t＝x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）＝t，
则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min＝g（﹣2）＝﹣2．
由（*）式恒成立，必有⇒m，又m＜0．∴m＜0．
综上①②知m＜0．
18．(1)在上递增，在上递减，极大值为，无极小值
(2)
(3)当时，在上递增，当时，在上递增，在上递减.
【分析】（1）先求函数的定义域，然后对函数求导后，利用导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出极值；
（2）由题意可得在上恒成立，化简转化为在上恒成立，然后构造函数，求函数的最大值即可；
（3）求出函数的定义域，对函数求导化简变形后，分和即可.
【详解】（1）当时，，
定义域为，，
由，得，由，得，
所以在上递增，在上递减，
所以的极大值为，无极小值；
（2）定义域为，由，
得，
因为在上是增函数，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，
所以在上恒成立，
所以，
令，则在上递增，
所以，
所以
（3）定义域为，由，
得，
当时，，所以在上递增，
当时，由，得，解得，
由，得，解得，
所以在上递增，在上递减，
综上，当时，在上递增，当时，在上递增，在上递减.
19．(1)-1
(2)
【分析】（1）利用导数分和讨论函数最大值，从而求解；
（2）分离参数得，设，利用导数求函数的最小值，可得的取值范围．
【详解】（1）的定义域为，．
若，则，在定义域内单调递增，无最大值；
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，
为，解得，
显然符合题意，所以的值为
（2）对任意恒成立，
即在上恒成立．
设，则．
设，则，
所以在上单调递增，且，，
所以有唯一零点，且，
所以．
构造函数，则.
又函数在上是增函数，所以．
由在上单调递减，在上单调递增，得，
所以，所以的取值范围是
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
C
B
B
C
B
ABD
ABD
题号
11









答案
BCD









x
（﹣∞，1）
1
（1，1）
1
（1，+∞）
f′（x）
＜0
0
＞0
0
＜0
f（x）
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减