江苏省扬州市2026届高三上学期期末考试(扬州一模)数学试题（含答案）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.设 ,则集合 中元素的个数为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】 ,共 6 个元素.
2.已知复数 满足 ，则 等于
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】.
3.若 为抛物线 上一点,则点 到其焦点的距离为
A. 4 B. 5 C. D. 6
【答案】B
【解析】 在抛物线 上， ， ， 到焦点的距离 .
4.已知函数 为奇函数,则 的值为
A. 0 B. -2 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】 为奇函数,则 .
5.已知第一组数据 的平均数为 ,方差为 ,第二组数据 的平均数为 ,方差为 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】一组数据加上平均数后, 平均数不变, 方差变小.
6.函数 在区间 上的零点个数为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】画作 与 的图象,两个函数共有 4 个交点.
7.在无穷正项等差数列 中,记 为数列 的前 项和,则 “ ” 是 “数列 是等差数列” 的
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】当 时,则
是等差数列,充分; 当 是等差数列时, ,
是等差数列的前 项和
,而 ,
,必要.
8.已知双曲线的左、右焦点为 为双曲线的右支上一点,直线 与左支交于点 ,且 的平分线与 轴交于点 ,则双曲线 的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】方法一: 为 角平分线, ,
,
, , .
方法二: 由角平分线条件 ,
又
,令 ,则
. 又 共线且 ,若 在 上,
则 与 矛盾
在 线段上, ,又
联立
为正三角形, ,且 与 同线
. 在 中,
.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知 都是单位向量，且 ，则下列结论正确的有
A. B.
C. 与 的夹角为 D. 存在 ,使得
【答案】ABD
【解析】 , 对.
对. 与 夹角为 , D 对.
10.已知直线 与圆 相交于 两点,则下列结论正确的有
A. 直线 过一定点
B. 直线 与圆 相切
C. 点 到 的最大距离为
D. 的面积恒小于 8
【答案】BC
【解析】直线 不可能过定点, 错.
圆 ,圆心 ,半径 2,直线 直线 与 相切, 对.
到直线 距离 对.
即 时, ，D 错.
11.对于等式 ,如果将 视为自变量 视为常数, 记为 ,那么 为幂函数; 如果将 视为常数, 视为自变量 记为 ,那么 为指数函数; 如果将 视为自变量 记为 ,那么 称为幂指函数. 关于函数 ,下列结论中正确的有
A. 函数 在 上单调递增
B. 函数 有最小值
C. 当 时,方程 无实根
D. 当 时,函数 有两个极值点
【答案】BCD
【解析】令 在 单调递减, 单调递增,即 在 单调递减 单调递增, 错. 对.
时, 无实根, 对.
对于 时, , 在 单调递增, 有且仅有一个零点 且 在 单调递减, 单调递增
,如图 有两个零点, 有两个极值点, D 对,选 BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知等比数列 的前 项和为 ,且 . 若 ,则 ________.
【答案】4
【解析】 .
13.已知函数 在 上单调递减，则整数 的可能取值为_______(答案不唯一, 只需写出满足条件的一个值).
【答案】 可取 任何一个
【解析】 在 恒成立,
可取 任何一个 .
14.圆柱 的轴截面为 为下底面圆的直径， . 点 为下底面圆周上的一点,平面 与上底面的交线为 ,若四边形 为正方形，则四棱锥 的体积为________.
【答案】
【解析】方法一: 如图建系,
设平面 的法向量
不妨设 ,则 ,
①
为正方形, ,
,
,④
⑤,
由①②③④⑤解得
为矩形,
到平面 距离 .
方法二: ,设 四边形 为正方形, , .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.记 内角 的对边分别为 ,已知
(1) 求 ；
( 2 )若 ，求 边上的高 .
【解析】(1)
.
(2)
边上的高 .
16.在平面直角坐标系中，已知 ，平面内一动点 满足 成等差数列,记点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线 交曲线 于 两点.
①若点 的坐标为 ，求线段 的长；
②若 的面积是 面积的 3 倍，求直线 的方程.
【解析】(1) 成等差数列，
的轨迹为椭圆且
曲线 的方程为 .
(2)① 当 时， ，直线 方程为
.
② ，设 ， ①
设直线 方程为
且 由 ,代入③
直线 的方程为 .
17.如图，已知多面体 中， 平面 ， ，底面 为正方形.
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若 ，且平面 与平面 所成角的余弦值为 .
①式线段 的长；
②线段 上是否存在点 ,使得平面 平面 ,且满足 平面 . 若存在,试确定点 的位置; 若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)证明: 平面 ， ，又 ，
平面 平面 平面 平面 .
(2)①如图建系，设 ， ， ，
,设直线 的一个法向量
而平面 的一个法向量
.
② 设 ，当 时，由 ，延长 延长线于点
,此时 ,
若 平面 ,而
,此时 ,舍去
当 时,仿上,也舍
当 时,交线 平面 符合,
为 上靠近 的三等分点 .
18.某地文旅部门为了解天气状况对某景点旅游满意度的影响，分别于晴天和阴雨天在该景点调查了 200 位游客，调查结果如下表.
(1)完善上述表格，并判断能否有99%的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有影响;
(2)从这 200 位游客中任选两人，在两人调查当天的天气状况一致的条件下，试求他们对该景点均满意的概率；
(3)当地天气多变，文旅部门根据以往数据，为游客发布如下天气信息:若第1天为晴天,则第 2 天为晴天的概率为 ,为阴雨天的概率为 ; 若第 1 天为阴雨天,则第 2 天为阴雨天的概率为 ,为晴天的概率为 . 已知第 1 天是晴天, 求第 天仍是晴天的概率 ,并求前 天晴天的天数 的期望 .
附录: .
【解析】(1)2×2 列联表如下:
有 的把握认为当天天气状况对该景点旅游满意度有影响.
(2)记事件 为两个调查当天的天气状况一致，事件 为他们对该景点均满意
(3)由题意知
成首项为 ,公比为 的等比数列
某一天要么是晴天,要么是雨天,它符合两点分布
记第 天为 ，且
.
19.已知函数 ,直线 与曲线 相切.
(1)求 的值；
(2)若对任意 ，存在 ，使得不等式 成立,求 的最大值;
(3)若 ，求证:对任意 ，有 .
【解析】(1)设切点为
(2)对 使
先处理 3,固定住 使之成立,即 成立
只需 即可!
再处理 ,即 对 恒成立
令 ,
令 ,
在 上单调递减; 上单调递增
而 ,当 时, ,
当 时,注意到 单调递增且
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增
(3) ,要证:
只需证: ,其中
令
而
在 上单调递增
而 在 上单调递增
下只需证: ,令
在 上单调递增,
,只需证: ,
而 显然成立
对 恒成立,令 .满意
不满意
合计
晴天
80
阴雨天
40
合计
140
200
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
满意
不满意
合计
晴天
80
20
100
阴雨天
60
40
100
合计
140
60
200