2023年湖南省永州市中考数学试卷（Word版附解析）

这是一份2023年湖南省永州市中考数学试卷（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“﹣30”表示（ ）
A．运出30吨粮食B．亏损30吨粮食
C．卖掉30吨粮食D．吃掉30吨粮食
2．企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美．下列企业标志图为中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列多边形中，内角和等于360°的是（ ）
A．B．C．D．
4．关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为 x＝1，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．7D．﹣7
5．下列各式计算结果正确的是（ ）
A．3x+2x＝5x2B．9=±3C．（2x）2＝2x2D．2-1=12
6．下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A．B．C．D．
7．某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2.7（1+x）2＝2.36B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36D．2.36（1﹣x）2＝2.7
8．今年2月，某班准备从《在希望的田野上》、《我和我的祖国》、《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A．12B．13C．23D．1
9．已知点M（2，a）在反比例函数y=kx的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的定长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E，则下列结论不正确的是（ ）
A．BC＝BEB．CD＝DE
C．BD＝ADD．BD一定经过△ABC的内心
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．﹣0.5，3，﹣2三个数中最小的数为 ．
12．2a2与4ab的公因式为 ．
13．已知x为正整数，写出一个使x-3在实数范围内没有意义的x值是 ．
14．甲、乙两队学生参加学校仪仗队选拔，两队队员的平均身高均为1.72m，甲队队员的身高的方差为1.2，乙队队员身高的方差为5.6．若要求仪仗队身高比较整齐，应选择 队较好．
15．如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80，则∠D＝ 度．
16．若关于x的分式方程1x-4-m4-x=1（m为常数）有增根，则增根是 ．
17．已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 度．
18．如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为 cm．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解关于x的不等式组：2x-2＞03(x-1)-7＜-2x．
20．（8分）先化简，再求值：（1-1x+1）÷xx2+2x+1，其中x＝2．
21．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5．
（1）△AOB是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
22．（10分）今年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防溺水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有18360名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了n名学生的成绩x（成绩均为整数，满分为100分）分成四个组：1组（60≤x＜70）、2组（70≤x＜80）、3组（80≤x＜90）、4组（90≤x≤100），并绘制如图所示频数分布图．
（1）n＝ ；所抽取的n名学生成绩的中位数在第 组；
（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为 ；
（3）试估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数．
23．（10分）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）．
24．（10分）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
（1）探究：根据上表中的数据，请判断y=kt和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
25．（12分）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若AC=6，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；
（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．
26．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），
顶点坐标为（2，9），点P（x1，y1）为抛物线上的动点，PH⊥x轴于H，且x1≥52．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线OP：y=y1x1x交BF于点G，求S△BPGS△BOG的最大值；
（3）如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM的延长线于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求点P的横坐标．
2023年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1．【2023·永州】我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“﹣30”表示（ ）
A．运出30吨粮食B．亏损30吨粮食
C．卖掉30吨粮食D．吃掉30吨粮食
【答案】 A
2．【2023·永州】企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美．下列企业标志图为中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】 C
3．【2023·永州】下列多边形中，内角和等于360°的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
4．【2023·永州】关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为 x＝1，则m的值为（ ）
A．3B．﹣3C．7D．﹣7
【答案】 A
5．【2023·永州】下列各式计算结果正确的是（ ）
A．3x+2x＝5x2B．9=±3C．（2x）2＝2x2D．2-1=12
【答案】D
6．【2023·永州】下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】 D
7．【2023·永州】某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2.7（1+x）2＝2.36B．2.36（1+x）2＝2.7
C．2.7（1﹣x）2＝2.36D．2.36（1﹣x）2＝2.7
【答案】B 【解析】根据题意得2.36（1+x）2＝2.7．故选：B．
8．【2023·永州】今年2月，某班准备从《在希望的田野上》、《我和我的祖国》、《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A．12B．13C．23D．1
【分析】列出表格，得出所有等可能的结果共有6种，其中恰好选中前面两首歌曲的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【答案】B 【解析】设A《在希望的田野上》、B《我和我的祖国》、C《十送红军》．列表如下：
由上表可知，所有可能结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，其中恰好选中前面两首歌曲的结果有2种，则恰好选中前面两首歌曲的概率为26=13．故选：B．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．【2023·永州】已知点M（2，a）在反比例函数y=kx的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】把点（2，a）代入反比例函数解析式，可得a=k2，由k＞0可知a＞0，可得点M一定在第一象限．
【答案】A 【解析】方法1：∵点M（2，a）在反比例函数y=kx的图象上，∴a=k2，∴k＞0，∴a＞0，∴点M一定在第一象限．故选A．方法2：∵反比例函数y=kx中，k＞0，∴图象的两个分支在一、三象限，∵点M（2，a）在反比例函数y=kx的图象上，∴点M一定在第一象限．故选：A．
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0，图象的两个分支在一、三象限；关键是得到反比例函数的比例系数的符号．
10．【2023·永州】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的定长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E，则下列结论不正确的是（ ）
A．BC＝BEB．CD＝DE
C．BD＝ADD．BD一定经过△ABC的内心
【分析】由作图知，BD平分∠ABC，根据角平分线的性质得到CD＝DE，BD一定经过△ABC的内心，故B不符合题意，故D不符合题意；根据全等三角形的性质得到BC＝BE，故A不符合题意；无法证明BD＝AD，故C符合题意．
【答案】C 【解析】由作图知，BD平分∠ABC，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，BD一定经过△ABC的内心，故B不符合题意，故D不符合题意；在Rt△BCD与Rt△BED中，CD=DEBD=BD，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE，故A不符合题意；无法证明BD＝AD，故C符合题意．故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．【2023·永州】﹣0.5，3，﹣2三个数中最小的数为 ．
【答案】-2
12．【2023·永州】2a2与4ab的公因式为 ．
【答案】2a
13．【2023·永州】已知x为正整数，写出一个使x-3在实数范围内没有意义的x值是 ．
【答案】1或2 【解析】要使x-3在实数范围内没有意义，则x﹣3＜0，∴x＜3.∵x为正整数，∴x的值是1或2．
14．【2023·永州】甲、乙两队学生参加学校拉拉队选拔，两队队员的平均身高均为1.72m，甲队队员的身高的方差为1.2，乙队队员身高的方差为5.6．若要求拉拉队身高比较整齐，应选择 队较好．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【答案】甲 【解析】∵S甲2＝1.2，S乙2＝5.6，∴S甲2＜S乙2，∴若要求拉拉队身高比较整齐，应选择甲队较好．故答案为：甲．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15．【2023·永州】如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80，则∠D＝ 度．
【分析】首先由AB∥CD得出∠BCD＝∠B＝80°，再由BC∥ED得出∠D+∠BCD＝180°，据此可得出此题的答案．
【答案】100 【解析】∵AB∥CD，∠B＝80，∴∠BCD＝∠B＝80°，∵BC∥ED，∴∠D+∠BCD＝180°，∴∠D＝100°．故答案为：100．
【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
16．【2023·永州】若关于x的分式方程1x-4-m4-x=1（m为常数）有增根，则增根是 ．
【答案】x＝4 【解析】∵关于x的分式方程1x-4-m4-x=1（m为常数）有增根，∴x﹣4＝0，∴x＝4，故答案为：x＝4．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
17．【2023·永州】已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 度．
【分析】设扇形圆心角的度数为n°，根据扇形面积公式列方程并解方程即可．
【答案】60 【解析】设扇形圆心角的度数为n°，则nπ×62360=6π，解得：n＝60，即扇形圆心角的度数为60°，故答案为：60．
【点评】本题考查扇形的面积公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18．【2023·永州】如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB的距离为4cm，则水面AB的宽度为 cm．
【分析】过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理可得AC＝BC，然后在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC的长，即可得出AB的长．
【答案】16 【解析】如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，∴AC=BC=12AB，由题意知，OA＝10cm，CD＝4cm，∴OC＝6cm，在Rt△AOC中，AC=OA2-OC2=102-62=8cm，∴AB＝2AC＝16cm，故答案为：16．
【点评】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，同时需熟练掌握勾股定理．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【2023·永州】解关于x的不等式组：2x-2＞03(x-1)-7＜-2x．
解：解不等式2x﹣2＞0得，x＞1，
解不等式3（x﹣1）﹣7＜﹣2x得，x＜2，
所以不等式组的解集为1＜x＜2．
20．【2023·永州】先化简，再求值：（1-1x+1）÷xx2+2x+1，其中x＝2．
解：（1-1x+1）÷xx2+2x+1
=x+1-1x+1•(x+1)2x
=xx+1•(x+1)2x
＝x+1，
当x＝2时，原式＝2+1＝3．
21．【2023·永州】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5．
（1）△AOB是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OB＝4，再证OA2+OB2＝AB2，然后由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）由∠AOB＝90°得AC⊥BD，再由菱形的判定定理即可得出结论．
（1）解：△AOB是直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，
∴OB＝OD=12BD＝4.
∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，
∴OA2+OB2＝AB2.
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.
（2）证明：由（1）可知，∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握菱形的判定，由勾股定理的逆定理证出△AOB为直角三角形是解题的关键．
22．【2023·永州】今年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防溺水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有18360名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了n名学生的成绩x（成绩均为整数，满分为100分）分成四个组：1组（60≤x＜70）、2组（70≤x＜80）、3组（80≤x＜90）、4组（90≤x≤100），并绘制如图所示频数分布图．
（1）n＝ ；所抽取的n名学生成绩的中位数在第 组；
（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为 ；
（3）试估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数．
【分析】（1）用四组的频数相加可得n的值，再根据中位数的定义解答即可；
（2）根据“频率＝频数÷总数”解答即可；
（3）用18360乘样本中成绩大于或等于70分的人数所占比例即可．
解：（1）600；3【解析】由题意得，n＝90+160+200+150＝600，
所抽取的n名学生成绩的中位数在第3组．
故答案为：600；3；
（2）0.25【解析】若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为150600=0.25．
故答案为：0.25；
（3）18360×600-90600=15606（名），
答：估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数约15606名．
【点评】本题考查频数分布直方图，样本估计总体的思想，中位数等知识，解决此题的关键是明确“频率＝频数÷总数”．
23．【2023·永州】永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732）．
【分析】根据题意可得：AB⊥BN，AH⊥HN，BH＝CD＝MN＝0.9米，AB＝2.9米，CM＝DN，从而可得AH＝2米，然后在Rt△AHC中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，再在Rt△AHM中，利用锐角三角函数的定义求出HM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
解：由题意得：AB⊥BN，AH⊥HN，BH＝CD＝MN＝0.9米，AB＝2.9米，CM＝DN，
∴AH＝AB﹣BH＝2.9﹣0.9＝2（米），
在Rt△AHC中，∠ACH＝45°，
∴CH=AHtan45°=2（米），
在Rt△AHM中，∠AMH＝30°，
∴HM=AHtan30°=233=23（米），
∴CM＝HM﹣HC＝23-2≈1.5（米），
∴DN＝CM＝1.5米，
∴D、N两点间的距离约为1.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．【2023·永州】小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
（1）探究：根据上表中的数据，请判断y=kt和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
【分析】（1）根据上表中的数据，可知y与t成一次函数关系，根据点的坐标利用待定系数法即可求出该函数关系式；
（2）①当t＝20时，求出y的值即可；
②当t＝24×60＝1440分钟时，求出y的值，即可求出答案．
解：（1）根据上表中的数据，y＝kt+b（k，b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系，
∵当t＝1时，y＝7，当t＝2时，y＝12，∴k+b=72k+b=12，∴k=5b=2，
∴y＝5t+2；
（2）①当t＝20时，y＝100+2＝102，
即估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升；
②当t＝24×60＝1440分钟时，y＝5×1440+2＝7202（毫升），
当t＝0时，y＝2，∴7200×301500=144（天），
答：估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
25．【2023·永州】如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若AC=6，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；
（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，故∠BAC+∠ABC＝90°，由∠BAC＝∠BDA得∠BDA+∠ABC＝90°，有∠BAD＝90°，即可得证；
（2）证明△ACB∽△DCA，则 BCAC=ACDC=ACBD-BC，可得 BC6=65-BC，解得BC＝2 或BC＝3，由AC＞CD即可得到BC的长；
（3）先证明△ABC∽△DAC，则 ACDC=ABAD，得到AC•AD＝CD•AB，由 DE•AM＝AC•AD得到DE•AM＝CD•AB，故 AMDC=ABDE，由同角的余角相等得∠BAM＝∠CDE，有△AMBB∽△DCE，得∠E＝∠ABM，进一步得到∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，则∠BNG＝90°，即可得到结论．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝∠BDA，∴∠BDA+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，∴ED是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DCA＝90°，
∴△ACB∽△DCA，∴BCAC=ACDC=ACBD-BC，
∴BC6=65-BC，
解得BC＝2或BC＝3，
当BC＝2时，CD＝BD﹣BC＝3，
当BC＝3时，CD＝BD﹣BC＝2，
∵AC＞CD，即6＞CD，∴BC＝3；
（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠DCA＝90°，
∵∠BAC＝∠BDA，∴△ABC∽△DAC，∴ACDC=ABAD，
∴AC•AD＝CD•AB，
∵DE•AM＝AC•AD，∴DE．AM＝CD•AB，∴AMDC=ABDE，
∵∠BAM＝∠CDE，
∴△AMB∽△DCE，∴∠E＝∠ABM，
∵∠EGA＝∠BGN，∴∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，
∴∠BNG＝90°，∴BM⊥CE．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26．（解析不好，待换）【2023·永州】如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），
顶点坐标为（2，9），点P（x1，y1）为抛物线上的动点，PH⊥x轴于H，且x1≥52．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线OP：y=y1x1x交BF于点G，求S△BPGS△BOG的最大值；
（3）如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM的延长线于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求点P的横坐标．
【分析】（1）由顶点式坐标公式和待定系数法分别求出a，b，c值，即可求出抛物线解析式；
（2）利用抛物线的解析式可得B的坐标，求出直线BF的解析式，设G（m，﹣m+5），根据直线OP的解析式y=y1x1x 得 m=5x1x1+y1，用 x1，y1 表达GT长度，根据S△BPGS△BOG=PHGT=1，将GT和PH长度代入，可将面积比转化成二次函数的形式，根据P横坐标取值范围和此二次函数的图象性质即可求出S△BPGS△BOG 的最大值；
（3）设MF交PH于T，根据正方形的性质和FC＝PH可求出PT＝MC，再利用△EOB∽△CMB相似和OB＝MB可推出OE＝MC，设E（0，a），可求出直线AP的解析式，用a表达P点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，解方程可得答案．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），顶点坐标为（2，9），
∴c=5-b2a=24ac-b24a=9，解得a=-1b=4c=5，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过点G作GT⊥x轴于点T，如图所示，
在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得0＝﹣x2+4x+5，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∵F（0，5），∴BO＝FO＝5，
设直线BF的解析式为：y＝kx+5，
∴y＝5k+5，解得k＝﹣1，
∴直线BF的解析式为y＝﹣x+5，
由G在直线BF上，设G（m，﹣m+5），
∵G在直线OP上，直线OP为y=y1x1x，∴﹣m+5=y1x1m，
∴m=5x1x1+y1，∴GT=-m+5=-5x1x1+y1+5=5y1x1+y1，
由P（x1，y1） 在抛物线 y＝﹣x2+4x+5上，知P（x1，-x12+4x1+5），
∴PH=y1=-x12+4x1+5，
∵S△BPG＝S△BPO﹣S△BOG，
∴S△BPGS△BOG=S△BPO-S△BOGS△BOG=S△BPOS△BOG-1=12×5⋅PH12×5⋅GT-1=PHGT-1，
∵PHGT=y15y1x1+y1=x1+y15，
∴S△BPGS△BOG=PHGT-1=x1+y15-1=x1-x12+4x1+55-1=-15（x1-52）2+54，
∵x1≥52，-15＜0，
∴当 x=52 时，S△BPGS△BOG取最大值，最大值为54；
（3）设MF交PH于T，如图：
∵OBFM为正方形，F（0，5），
∴FM＝BM＝OF＝BO＝5，∠MBO＝90°，FC∥OB，
∵PH⊥x，∠MBO＝90°，FC∥OB，
∴MTBH为矩形，∴TH＝MB＝FM＝5，
∵PH＝FC，∴PT＝MC，
∵BC⊥BE，∴∠MBC+∠MBE＝90°，
∵∠MBO＝90°，∴∠OBE+∠MBE＝90°，∴∠OBE＝∠MBC，
∴∠CMB＝∠EOB＝90°，
∴△EOB∽△CMB，∴EOCM=OBMB=EBCB，
∵OB＝MB，∴EO＝MC，
∵PH＝FC，∴PT＝MC，∴EO＝MC＝PT，
设 EO＝MC＝PT＝a，
∴PH＝PT+TH＝5+a，E（0，a），
∵A（﹣1，0），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
则b=a-k+b=0，∴k=ab=a，
∴直线AP的解析式为y＝ax+a，
∵PH＝a+5，P在直线AP上，∴a+5＝ax+a，
∴x=5a，即P点横坐标为 5a，∴x1=5a，y1＝a+5，
∴a=5x1，y1=5x1+5∴5x1+5=-x12+4x1+5，
∴x13-4x12+5＝0，∴（x1+1）（x12-5x1+5）＝0，
解得x1＝1或x1=5-52或x1=5+52，
∵x1≥52，
∴x1=5+52，
∴点P的横坐标为5+52．
【点评】本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合．时间t
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总水量y
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歌曲
A
B
C
A
（A，B）
（A，C）
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（B，A）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
时间t
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总水量y
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