重庆市南开中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题及答案

这是一份重庆市南开中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题及答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集小于10的正整数，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．若函数，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
5．下列函数既是奇函数又在单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数为定义在上的奇函数，若在单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知实数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
三、单选题
10．在同一坐标系下，函数与在其定义域内的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
四、多选题
11．若函数在上单调递增，则实数可能的值有（ ）
A．B．C．D．0
12．定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增B．
C．在上单调递减D．若正数满足，则
五、填空题
13．若函数为奇函数，则实数 ．
14．已知，则 .
15．求函数，的最小值 ．
16．已知函数，若，则实数的取值范围为 ．
六、解答题
17．已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
18．已知幂函数，且在上单调递增．
(1)求实数的值；
(2)求函数，的值域．
19．为定义在上的函数，且对任意实数均满足．
(1)求的解析式；
(2)若存在使得不等式成立，求实数的取值范围．
20．重庆南开中学作为高中新课程新教材实施国家级示范校，校本选修课是南开中学课程创新中的重要一环，学校为了支持生物选修课程开展，计划利用学校面积为的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔，三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右边沿保留宽的通道，如图．设矩形空地长为，三块种植植物的矩形区域（如下图中阴影部分所示）的总面积为．
(1)求关于的函数关系式；
(2)求的最大值，及此时长的值．
21．已知为定义在上不恒为的函数，对定义域内任意，满足：，．且当时，．
(1)证明：；
(2)证明：在单调递减；
(3)解关于的不等式：．
22．已知函数．
(1)若方程恰有两个不同的正根，求实数的取值范围；
(2)若
①求在上的最大值；
②若，对有：恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】用列举法求出全集，再利用补集、交集的定义求解即得.
【详解】依题意，全集，而，则，
又，所以.
故选：A
2．B
【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.
【详解】命题“，”的否定是:，,
故选：B
3．C
【分析】由具体函数的定义域求解即可.
【详解】函数的定义域为：，
所以且.
故的定义域为.
故选：C.
4．B
【分析】利用分式不等式的解法，结合必要非充分条件定义即可进行判断．
【详解】，由可得，
解得：或，
所以“”不能推出“”；
当时，可得：，
所以“”可以推出“”
“”是“”的必要非充分条件．
故选：B．
5．C
【分析】根据基本函数的单调性，结合奇偶性的定义即可逐一求解.
【详解】对于A,函数在单调递减，故不符合要求，
对于B，在单调递减，故不符合要求，
对于D, 为对勾函数，故在单调递增，在单调递减，故不符合要求，
对于C，由于的定义域为，关于原点对称，且故为奇函数，
且函数均为上的单调递增函数，所以为上的单调递增函数，符合要求，
故选：C
6．D
【分析】根据函数的奇偶性及单调性，以及分类讨论即可解决.
【详解】因为函数为定义在上的奇函数，
则，
因为在上单调递减，
所以在上单调递减，
不等式的解集等价于：
或，
即或，
所以不等式的解集为：
或或，
故选：D.
7．A
【分析】先将恒成立问题转化为求函数最值，再利用基本不等式求函数最值，最后解关于实数的不等式即可.
【详解】因为恒成立，所以.
又因为，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，所以.
故选：A.
8．D
【分析】分析给定分段函数的性质，变形方程并结合图形求出的范围即可.
【详解】当时，函数单调递增，函数取值集合是，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，函数取值集合是，
方程，化为，解得或，如图，
观察图象知，的解，即函数的图象与直线交点的横坐标，显然方程只有一个解，
要原方程有四个不同的实数根，当且仅当有3个不同的实根，
因此直线与函数的图象有3个公共点，则，
所以实数的取值范围为.
故选：D
9．ABC
【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.
【详解】选项A：因为，所以，故A 正确；
选项B：因为，，
所以，故B正确；
选项C：因为，
所以，所以，故C正确；
选项D： ，取，
故D错误；
故选：ABC.
10．AB
【分析】根据幂函数以及一次函数的性质即可求解.
【详解】若，则直线和函数均为上的单调递减函数，故可排除CD；
当，此时，满足图象B,
若，则直线和函数均为上的单调递增函数，比如时，此时A选项中的图象满足，
故选：AB
11．BC
【分析】利用分段函数在上的单调性，求出的范围即判断得解.
【详解】由函数在上单调递增，得，解得，
所以实数的取值范围是，即可能的值有，.
故选：BC
12．ABD
【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AC，根据单调性比较大小判断B，根据单调性解不等式判断D.
【详解】对于任意，，
所以，所以在上单调递增，故选项A正确；
因为的定义域为，所以，
所以为奇函数，所以，由在上单调递增，
所以，故选项B正确；
对于任意，
，
因为，，所以，所以，
所以在上单调递增，故选项C错误；
，即，
又，所以，
因为在上单调递增，所以，
解得，即，故选项D正确.
故选：ABD
13．0
【分析】利用奇函数的定义，列式求解即得.
【详解】函数的定义域为R，由为奇函数，得，，
因此，解得，
所以实数.
故答案为：0
14．
【分析】换元令再代入求解即可.
【详解】令，则，故.
故答案为：
15．
【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式的，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，且
，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最小值为.
故答案为：
16．
【分析】令，分段解不等式得的取值范围，再分段解关于的不等式即得.
【详解】函数，令，由，得或，
解得或，即，因此，即，
于是或，解得或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
17．(1)；
(2).
【分析】（1）解分式不等式化简集合A，把代入求出集合B，再利用交集的定义求解即得.
（2）由（1）的信息，利用集合的包含关系列式求解即得.
【详解】（1）由，得，解得，即，
当时，，
所以.
（2）由（1）知，，而，
由，得，解得，
所以实数的取值范围是.
18．(1)
(2)
【分析】(1)直接利用幂函数的定义和在上单调递增求出.
(2)先分离常数确定函数的单调性，再求值域.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，
解得或，
又在上单调递增，
所以；
（2）
由函数的单调性可知在上是单调递增的，
所以
所以，值域为
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，联立方程即可求出的解析式；
（2）由题意可得存在，使得，令，即，求解在的最大值即可得出答案.
【详解】（1）因为①，
所以②，
所以②①得：.
（2）存在使得不等式成立，
即存在使得不等式成立，
即，令，
所以，，
因为在上单调递增，
所以，故.
故实数的取值范围为．
20．(1)
(2)；
【分析】（1）根据题意表示出空地宽为，再表示出关于的函数式；
（2）利用基本不等式直接求解即可.
【详解】（1）由题知，空地宽为，
则.
（2）由（1）知，，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，
故的最大值为，此时长的值为.
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）当时，，可知，可得，即可得证；
（2）利用定义法证明函数单调性，
（3）根据函数的定义可知，再根据函数的定义域与单调性解不等式.
【详解】（1）当时，成立，
当时，成立，
当时，，且，
所以，所以，
解得，
综上所述，当时，.
（2）由（1）得当时，，
任取，，且，
则，，，，
所以，
所以，
即，
所以函数在上单调递减；
（3）由（2）得函数在上单调递减，
又，
所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
22．(1)；
(2)①；②．
【分析】（1）设出方程的两根分别为，根据即可解出；
（2）①根据分类讨论函数的单调性，即可求出；
②由①求出，即可解不等式求出.
【详解】（1）设方程两根分别为，因为等价于，
依题意可得，，
解得：，故实数的取值范围为．
（2）①设，，
当时，，易知，；
当时，，根据对勾函数的单调性易知，
在上递减，在上递增，而，
所以，，
即．
当时，根据函数单调性的运算可知，在上单调递增，
即，所以，，
因为，所以，
，
综上，.
②根据①可知，，所以依题可得，恒成立，
解得： 或，即实数的取值范围为．
补证：函数在上递减，在上递增．
设，则，
因为，所以，即，
所以函数在上递减，
同理可证，函数在上递增．
【点睛】本题第二问的解题关键是分类讨论，判断函数的单调性以及取最大值的位置，即可得解．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
B
C
D
A
D
ABC
AB
题号
11
12








答案
BC
ABD