福建省厦门市集美区灌口中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题-自定义类型

这是一份福建省厦门市集美区灌口中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题-自定义类型，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （9，－3）B. （－9，－3）C. （9，3）D. （－9，3）
3.任意画一个三角形，下列事件中，是必然事件的是（）
A. 这个三角形有两条边相等B. 这个三角形有一个内角是直角
C. 这个三角形三个内角的和是D. 这个三角形两条边的和等于第三条边
4.如图所示，如图，点A，B，C在上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5.某种药品经过两次降价，单价由100元降为81元.若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x,则符合题意的方程是（ ）
A. 100（1-x2）=81B. 100（1-x）2=81C. 100（1-2x）=81D. 81（1+x）2=100
6.如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（ ）
A. 顺时针，B. 逆时针，C. 顺时针，D. 逆时针，
7.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数（）和反比例函数（）的图象如图所示．一条垂直于 x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则△AOB的面积是（ ）
A. B. C. D.
8.已知：二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象与x轴的交点A的坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t的值为（ ）
A. ﹣7B. ﹣6C. ﹣5D. ﹣4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机摸出1个球，则摸出黄球的概率是 ．
10.若x=1是方程x2+bx+2=0的一个根，则b的值为 .
11.点关于原点对称的点的坐标是 ．
12.如图，A，B为⊙O上两点，AB=8，OC⊥AB于点C，且OC=3，则OA的长是 .
13.若抛物线y=2x2-x+k与x轴只有一个交点，则k= .
14.若反比例函数图象上的两点，且，则k的取值范围是 ．
15.如图，等边三角形ABC中，AB=5，P为AB边上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E则DE的最小值为 .
16.二次函数（a≠0）可以写成的形式，其能与函数建立联系，发现当x=m时，y2=n,当x=m+t时，y1=n.我们把上述现象称为函数y1参照y2取值延后，延后值为t.若函数参照取值延后，延后值为3，则d-e的值是 .
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：．
四、解答题：本题共8小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
如图，在平行四边形中，点E，F在AB，CD边上，且．求证：．
19.(本小题5分)
先化简，再求值：，其中．
20.(本小题7分)
在某项针对岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为m，规定：当时为A级，当时为B级，当时为C级．现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下表：
(1) 求样本数据中为A级的频率：
(2) 试估计1000个岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数；
(3) 从样本数据为C级的人中随机抽取2人，用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率．
21.(本小题5分)
如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E，
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，，求扇形的面积．
22.(本小题5分)
在中，，D为平面内一点．
(1) 当D在线段上时，将线段绕点A顺时针旋转至，连接，请你在图中用尺规作图补全图形；
(2) 在（1）的条件下，试判断线段与的数量关系并证明．
23.(本小题7分)
综合与实践
问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩12米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完12米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1) 在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2) 求12米材料恰好用完时与的长；
(3) 种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段，上．求出符合设计要求的矩形周长的最大值．
24.(本小题5分)
中，，是外接圆上的一点，且点是所对的弧的中点．
(1) 如图1，过点作于点，
①连接，则的度数为______；
②若，，求外接圆的半径；
(2) 如图2，连接，过点的直线交于点，交该外接圆于点，交的延长线于点；的延长线交于点．若，，求证：．
25.(本小题8分)
已知抛物线与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且的面积为6．
(1) 求抛物线的对称轴和解析式；
(2) 平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；
(3) 若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线与抛物线交于点G，求证：直线必过定点．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】-3
11.【答案】
12.【答案】5
13.【答案】
14.【答案】 /
15.【答案】
16.【答案】39
17.【答案】解：，
，
则或，
解得：．

18.【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴．

19.【答案】解：
，
当时，原式．

20.【答案】【小题1】
解：根据表格数据可知，样本数据中为A级的频率为；
【小题2】
解：（人），
答：1000个岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数为人；
【小题3】
解：根据表格数据可知，样本数据为C级的人“日均发微博条数”分别为，
则画树状图如下：
由图知，从样本数据为C级的人中随机抽取2人的情况数为种，其中抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的情况数为种，
抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率为．

21.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
∴是的切线．
【小题2】
解：如图，连接，
∵是的直径，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
扇形的面积为．

22.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求；
【小题2】
解：线段与的数量关系为：，
连接，
由旋转可得，，
∴，
∵，
∴，，
∴
∴
∴
∴，
∴，
∴
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且
，
∴点的坐标为，
，
∴点的坐标为，
∵点是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
【小题2】
点在抛物线上，
∴设点的坐标为
，交轴于点，
，
，
∵在中，，
，
，
根据题息，得
，
解得：(不符合题意，舍去)，
，
，
答：的长为米，的长为米；
【小题3】
如图矩形灯带为，
由点的坐标得，
设直线的解析式为，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
同理的表达式分别为：，
设点，，
则矩形周长，
故矩形周长的最大值为米．

24.【答案】【小题1】
解：①∵，是外接圆上的一点，
∴是直径，，
又∵点是所对的弧的中点
∴
∴
故答案为：．
②如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
又∵
∴四边形是矩形，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
又∵
∴，
又∵
∴
∴，，
∴四边形是正方形，
∴
∴
在中，
∵是直径，
∴外接圆的半径为
【小题2】
解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
由（1）可得四边形是正方形，
∵，
即
∵
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴是直径，
又∵是直径，
∴是圆心，
∴．

25.【答案】【小题1】
解：由题意得：抛物线的对称轴为直线
∵，
∴
令，则
∴
∵的面积为6．
∴，
解得：
∴，
将代入得：，
解得：，
∴
【小题2】
解：∵，
∴
设点，
∵四边形是平行四边形，
∴且
∴，即：
∵顶点Q在原抛物线上，
∴，
解得：
∴
∴平移后抛物线的表达式为：
【小题3】
解：设，设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵直线过定点
∴
得：
∵直线过N点，
∴，，
∴
令，
解得：
∴
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴直线必过定点
日均发微博条数
0
2
3
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
人数
1
1
2
1
3
3
3
1
4
2
3
1
1
2
1
1