辽宁省大连育明高级中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题及答案

这是一份辽宁省大连育明高级中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题及答案，共9页。试卷主要包含了个选项中，只有一项是符合要求的，卡西尼卵形线,，数学试卷参考答案及评分标准等内容，欢迎下载使用。
1. 已知点 A1,0,1,B0,1,3,C0,0,1,P1,x,2 在平面 ABC 内，则 x 值为( )
A. 12 B. −12 C. 1 D. -1
2. 已知双曲线 y2a2−x2b2=1a>0,b>0 的虚轴长等于 4,渐近线方程是 x±2y=0 ,则实轴长等于( )
A. 8 . B. 4 C. 2 D. 1
3. 1+x2x−2x6 的展开式的常数项是( )
A. 400 B. -160 C. -80 D. 80
4. 已知两点 A−2,0,B2,0 ,以及圆 C:x−32+y−42=r2r>0 ,若圆 C 上存在点 P ，满足 AP⋅PB=0 ，则 r 的取值范围是( )
A. 3,6 B. 3,7 C. 4,6 D. 4,7
5. 正三棱台 ABC−A1B1C1,AB=12,A1B1=6 ，底面 ABC 与侧面 BB1C1C 所成角为 30∘ ， 则棱 AA1 与底面 ABC 所成角的正弦值为( )
A. 113 B. 1313 C. 21313 D. 36
6. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”. “礼”主要指德育; “乐” 主要指美育; “射”和 “御” 就是体育和劳动; “书” 指各种历史文化知识; “数” 指数学. 某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次. 讲座次序要求 “礼” 在第二次或在最后一次，“数” 和 “书” 相邻，则 “六艺” 讲座不同的次序共有( )
A. 144 种 B. 120 种 C. 108 种 D. 84 种
7. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ,抛物线 C 过点 F 的弦中最短的弦长为 8,点 B 在 C 上， D 是线段 BF 上靠近点 F 的五等分点，则 cs∠DOF ( O 为坐标原点)的最小值为 ( )
A. 25 B. 55 C. 32 D. 255
8. 已知椭圆 C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0 和双曲线 C2:x2a22−y2b22=1a2>0,b2>0 有公共焦点, 左，右焦点分别为 F1,F2 ，设两曲线在第一象限的交点为 M ，设椭圆 C1 的离心率为 e1 ，双曲线 C2 的离心率为 e2 ,若 F1F2†=6MF2 ,则 e1e2 的取值范围为( )
A. 34,32 B. 0,32 C. 34,1 D. 34,53
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选 项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有 选错的得 0 分.
9. 已知 fx=3x−4n 的展开式的二项式系数的和为 513 且 fx=a0+a1x−1+ a2x−12+⋯+anx−1n ,下列选项正确的是 ( )
A. a1+a2+⋯+an=512 B. a2=−324
C. a0+a1+a2+⋯+an∣=49 D. f3 除以 6 所得的余数为 5
10. 正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中, AA1=2AB=4 ,动点 P 满足 AP=aAC+bAA1 , 且 a,b∈0,1 ，则下列说法正确的是( )
A. 当 a=12,b=13 时， D1P=12AB−12AD−23AA1
B. 当 a+2b=1 时，点 M 是线段 BD 上的动点，则 PM 的最小值为 33
C. 若直线 BP 与直线 AA1 所成角为 60∘ ，则点 P 的轨迹是双曲线的一部分
D. 若 a=12, b=0 ，则四面体 PA1C1 B 的外接球的表面积是 894π
11. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,O 为坐标原点，点 P2,3 ，曲线 y=kx−1 交 C 于两点 Ax1,y1,Bx2,y2,k∈13,3 ,下列结论正确的是( )
A. y1y2=−4
B. △OAB 面积的最小值为 23
C. 若点 A 到抛物线 C 的准线距离为 d ，则 AP+d 的最小值为 10
D. AB 的取值范围是 4199,1211
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知直线 l1:ax+2y−a+1=0 ，直线 l2:3x+a−1y−2=0 ， l1//l2 ，则直线 l1 的倾斜角大小为_____
13. 甲、乙、丙、丁等 6 名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配 2 人，甲、乙不在同一个单位, 丙、丁也不在同一个单位, 则不同的分配方案共有_____种(用数字作答)
14. 1675 年法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了一种特殊的曲线 一 卡西尼卵形线, 卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹. 已知在平面直角坐标系 x 的中, M−3,0,N3,0 ,动点 P 满足 PMPM=9 ,其轨迹为一条连续的封闭曲线 C . 若点 D 在椭圆 2x227+2y29=1 上，且 DM⊥DN ，则点 D _____。 C 连续连续，点 P 的纵坐标的最大值是_____. (第一个空 2 分, 第二个空 3 分)
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出必要的文字说明、证明 过程及验算步骤。
15. (13分)已知点 A−1,2,C−1,0 ，点 A 关于直线 x−y+1=0 的对称点为 B .
(1)求 △ABC 的外接圆的方程；
(2)直线 l 过抛物线 x2=12y 的焦点 F ，且与 △ABC 的外接圆相切，求直线 l 的方程.
16. (15 分) 如图,在四棱锥 P−ABCD 中,平面 APD⊥ 平面 ABCD,AB⊥BC,AB// CD ,且 AB=4,AP=PD=CD=BC=2 .

(1)求四棱锥 P−ABCD 的体积；
(2)点 E 在棱 AB 上，点 F 为棱 PC 的中点，且 EF// 平面 APD .
① 求 AEEB 的值；② 求平面 PCE 与平面 ABCD 所成角的正弦值.
17. ( 15 分)在 △ABC 中， ∠ABC=90∘,AB=BC=6,D 为边 AB 上一点， AD=2,E 为边 AC 上一点， DE//BC ，将 △ADE 沿 DE 翻折，使 A 到 A′ 处， ∠DA′B=90∘
(2)若射线 DE 上存在点 M ，使 DM=λDE ，且 MC 与平面 A′EC 所成角的正弦值为 15 ，求 λ 的值.

18.(17分)已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1 和 F2 ，焦距为 4，过 F1 的直线 l 交双曲线 C 的左支于 P、Q 两点， P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离乘积为 34 .
(1)求 C 的方程；
(2)若双曲线 C 的离心率 e∉1,2 ，求 △PQF2 的内切圆半径 r 的取值范围.
19.(17 分)已知 A1−3,0 和 A23,0 是椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右顶点，椭圆 E 上的点到其焦点距离的最大值为 5,直线 l 与椭圆 E 相交于 M,N 两点,直线 l 不经过坐标原点 O ,且不与坐标轴平行.
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)设点 D−4,0 ，若 DM=λDN ，求实数 λ 的取值范围；
(3)直线 OM 与椭圆 E 的另外一个交点为 S ，直线 A1S 与直线 A2N 相交于点 P ，直线 OP 与直线 l 相交于点 Q ,证明: 点 Q 在一条定直线上,并求出该定直线的方程.
大连育明高级中学 2025 2026 学年(上)期末考试 高二 数学试卷参考答案及评分标准
一. 单项选择题(每小题 5 分，共 40 分)
1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.D 7.D 8.A
二. 多项选择题(每小题 6 分，共 18 分. 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分分, 有选错的得 0 分).
9. BCD 10. ACD 11. BCD
三. 填空题(每小题 5 分，共 15 分)
12. π445∘ 13.60 14. ∈32
四。解答题
15. ( 1 )设点 Bx0,y0 由题意 y0−2x0+1=−1x0−12−y0+22+1=0 解得 x0=1y0=0 即 B1,0 3 分
∴AC⊥BC,∴ΔABC 的外接圆是以线段 AB 为直径的圆 ∵AB=22,AB 的中点为 0,1 ΔABC 的外接圆方程是 x2+y−12=2 6 分
(2)(过程略)焦点 F0,3
x−y+3=0 或 x+y−3=0y=x+3或y=−x+3⋯⋯13 分
16. (1)(过程略) 作 PH⊥AD ，垂足为 H ，平面 APD⊥ 平面 ABCD ，平面 APD∩ 平面 ABCD=AD∴PH⊥ 平面 ABCD ,
17. VP−ABCD=13SABCD⋅PH=22 .
(2)①如图，取 PD 的中点 Q ，连接 AQ,FQ .
∵F 为棱 PC 的中点， ∴FQ//CD ，
又 AB//CD,∴FQ//AB,A、E、F、Q 四点共面,
∵EF// 平面 APD ,平面 APD∩ 平面 AEFQ=AQ,∴EF//AQ ,
∴ 四边形 AEFQ 是平行四边形. ∴AE=FQ=12CD=14AB ，即 AEEB=13 ⋯⋯9 9 分
② 取 AB 的中点 G ，连接 DG ，由条件知四边形 BCDG 为正方形. 以 D 为坐标原点， DG,DC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴,过点 D 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系,如图. 易知 C0,2,0,P1,−1,2,E2,−1,0 .

∴PC=−1,3,−2,PE=1,0,−2 .
设平面 PCE 的法向量为 n=x,y,z ,
则 n⋅PC=−x+3y−2z=0,n⋅PE=x−2z=0,
令 z=2 ,可得 n=2,43,2 . 12 分
平面 ABCD 的一个法向量为 m=0,0,1 .
∴cs⟨m,n⟩=m⋅nmn=24+169+2=33535 , 14 分
∴ 平面 PCE 与平面 ABCD 所角的正弦值为 91035 . 15 分
17. ( 1 )证明:由题意知 DE⊥A′D ， DE⊥BD ，
又 A′D∩BD=D ,所以 DE⊥ 平面 A′BD ,
又 A′B⊂ 平面 A′BD ,所以 DE⊥A′B ,
又 A′D⊥A′B,DE∩A′D=D ,所以 A′B⊥ 平面 AϕDE 5 分
(2))作 A′Q⊥BD ，垂直为 Q ，由(1)知， DE⊥ 平面 A′BD ，
又 A′Q⊂ 平面 A′BD ,所以 DE⊥A′Q ,
又 BD∩DE=D,BD,DE⊂ 平面 BDE ,
所以 A′Q⊥ 平面 BDE

故以 B 为原点， CB ， DB ， QA′ 的方向分别为 x,y,z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,则 C−6,0,0,A′0,−3,3,E−2,−4,0 ,
D0,−4,0 设 Mx0,y0,z0 ,则 DE=−2,0,0 ,
DM=x0,y0+4,z0,CE=4,−4,0,
CA′=6,−3,3 ,又 DM=λDE ,
所以 x0=−2λy0+4=0z0=0 ,故 M−2λ,−4,0,MC=2λ−6,4,0
设平面 A′EC 的一个法向量为 m=x,y,z ,
则 m⋅CE=0m⋅CA′=0 ,即 4x−4y=06x−3y+3z=0 ,取 x=1 ,则 m=1,1,−3 11 分设 MC 与平面 A′EC 所成角为 θ ,
则 sinθ=cs⟨MC,m⟩=m⋅MCm⋅MC=2λ−6+42λ−62+16⋅5=15 , 12 分解得 λ=2 或 λ=−1 , 14 分 由题意知 λ>0 ,故 λ=2 15 分
18.(1)(过程略) x23−y2=1 或 x2−y23=1 6 分
(2)(过程简略) ∵ 双曲线 C 的离心率 e∈1,2∴C 的方程为 x23−y2=1 7 分设直线 l:x=my−2,Mx1,y1,Nx2,y2
联立直线与双曲线方程得 m2−3y2−4my+1=0
m2−3≠0,Δ>0,y1+y2=4 m m2−3,y1y2=1 m2−3