广东省广州市白云区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份广东省广州市白云区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 点关于原点的对称点是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A B.
C. D.
3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. 正五边形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 半圆
4. 下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为I，Ⅱ，Ⅲ，三个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．指针指向扇形I的概率是（ ）
A B. C. D.
6. 如果在反比例函图象的每一支上，y随x的增大而增大，那么t的取值范围是（ ）
A B. C. D.
7. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是圆的直径，若∠CAB=25°，则∠P的度数为（ ）
A. 50°B. 65°C. 25°D. 75°
8. 方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
9. 圆锥的底面直径是8，母线长是9，则该圆锥的全面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 下列关于抛物线的说法中，正确的是（ ）
A. 开口向上B. 必过点C. 对称轴为D. 与x轴没有交点
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 已知一个等边三角形三条角平分线的交点为O，把这个三角形绕点O顺时针旋转_______后，所得图形与原来的图形重合．（填写小于的度数）
12. 已知函数，当时，记函数值y为，则_____（填写“”“”或“=”）．
13. 如图，的直径是为，弦为，的平分线交于点D，则_______．
14. 方程两个根的和为a，两个根的积为b，则________．
15. 为了估计箱子中白球的个数，在该箱再放入10个红球（红球与白球除颜色不同以外，其他均相同），搅匀后，从箱子中摸出15个球．如果在这15个球中有2个是红球，那么估计箱子中白球的个数为_______个．
16. 点A是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，的面积是1，则下列结论中，正确的是_______（填序号）．
①此反比例函数图象经过点；②此反比例函数的解析式为；③若点在此反比例函数图象上，则点也在此反比例函数图象上；④点在此反比例函数的图象上且，则．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 尺规作图：如图，已知．作边关于点A对称的图形．（保留作图痕迹，但不要求写作法）
18. 求二次函数的最小值，并写出当自变量x取何值时，y取得最小值．
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
20. 已知蓄电池电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，求这个反比例函数的解析式．
21. 如图，是的两条弦，，垂足分别为E，F．比较和的大小，并证明你的结论．
22. 线上教学的师生，可采用的方式包括：①连麦问答；②视频对话；③不定时签到；④投票；⑤选择题推送等．为了解学生最喜爱的方式，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图1和图2；
（1）本次随机抽查的学生人数为________人，补全图2；
（2）参加线上教学的学生共有6000名，可估计出其中最喜爱“①连麦问答”的学生人数为_______人，图1中扇形①的圆心角度数为________度；
（3）若在“①，②，③，④”四种方式中随机选取两种作为重点交互方式，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“②，③”这两种方式的概率．
23. 一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
24. 已知抛物线．
（1）若，求该抛物线与轴交点的坐标；
（2）判断该抛物线与x轴交点个数，并说明理由；
（3）若时，该抛物线与x轴有且只有一个交点，求m的取值范围．
25. 如图，已知正方形边长为2．点O是边的中点，点E是正方形内一个动点，且．
（1）连接，求的度数；
（2）连接，若，求的长度；
（3）将线段绕点D逆时针旋转后，得到线段，连接，线段长是否存在最小值，若无，说明理由；若有，求出这个最小值．
2022学年第一学期学生学业质量诊断调研九年级数学（试题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 点关于原点的对称点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．
2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的概念对四个选项依次进行判断即可．
【详解】A、将化简为，是一元二次方程，故该选项符合题意；
B、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、中含有两个未知数，且最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、的右边是分式，不是一元二次方程，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解题时，要注意一元二次方程包括三点：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）所含未知数的项的最高次数是2．
3. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. 正五边形B. 平行四边形C. 等腰梯形D. 半圆
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．正五边形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．平行四边形是中心对称图形，故此选项合题意；
C．等腰梯形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．半圆不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
4. 下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一般地，形如的函数即为反比例函数，其变形形式为或，由此判断即可．
【详解】解：根据反比例函数定义知，，均不是反比例函数，是一次函数，只有，即是反比例函数，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的判断，掌握反比例函数的基本定义以及变形形式是解题关键．
5. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为I，Ⅱ，Ⅲ，三个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．指针指向扇形I的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：∵转盘分成3个大小相同的扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三个数字，
∴指针指向扇形Ⅰ的概率是，
故选A．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
6. 如果在反比例函图象的每一支上，y随x的增大而增大，那么t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的增减性与系数之间的关系进行求解即可．
【详解】解：∵在反比例函图象的每一支上，y随x的增大而增大，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知对于反比例函数，当时，在反比例函数图象的每一支上y随x的增大而减小，时，在反比例函数图象的每一支上y随x的增大而增大是解题的关键．
7. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是圆的直径，若∠CAB=25°，则∠P的度数为（ ）
A. 50°B. 65°C. 25°D. 75°
【答案】A
【解析】
【分析】利用切线长定理可切线的性质得PA=PB，CA⊥PA，则∠PAB=∠PBA，∠CAP=90°，再利用互余计算出∠PAB=65°，然后根据三角形内角和计算∠P的度数．
【详解】∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA=PB，CA⊥PA，∴∠PAB=∠PBA，∠CAP=90°，∴∠PAB=90°﹣∠CAB=90°﹣25°=65°，∴∠PBA=65°，∴∠P=180°﹣65°﹣65°=50°．
故选A．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
8. 方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程没有实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
9. 圆锥的底面直径是8，母线长是9，则该圆锥的全面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长，圆锥的底面积底面半径的平方，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：圆锥的侧面积，
圆锥的底面积，
∴圆锥的全面积，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求圆锥的全面积，熟知圆锥的侧面积和底面积的求法是解题的关键．
10. 下列关于抛物线的说法中，正确的是（ ）
A. 开口向上B. 必过点C. 对称轴为D. 与x轴没有交点
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次项系数为，即可判断A；求出当，y的值即可判断B；根据对称轴公式求出对称轴即可判断C；根据一元二次方程与二次函数的关系，利用判别式求解即可判断D．
【详解】解：A、∵，∴开口向下，说法错误，不符合题意；
B、当时，，即函数经过点，不经过点，说法错误，不符合题意；
C、∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，说法正确，符合题意；
D、∵，∴抛物线与x轴有两个不相同的交点，说法错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟知相关知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 已知一个等边三角形三条角平分线的交点为O，把这个三角形绕点O顺时针旋转_______后，所得图形与原来的图形重合．（填写小于的度数）
【答案】##度
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质可得点O是等边三角形的中心，再根据旋转对称图形的性质，用360°除以3计算即可得解．
【详解】解：∵O为等边三角形的三条角平分线的交点，
∴点O是该等边三角形的外心，
∵，
∴把这个三角形绕点O旋转，按顺时针方向至少旋转120°与原来的三角形重合．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
12. 已知函数，当时，记函数值y为，则_____（填写“”“”或“=”）．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质求出当时，y随x增大而减小即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确得到当时，y随x增大而减小是解题的关键．
13. 如图，的直径是为，弦为，的平分线交于点D，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据直径所对圆周角是直角得到，利用勾股定理求出，根据角平分线的定义和等弧所对的圆周角相等证明，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，证明是解题的关键．
14. 方程两个根的和为a，两个根的积为b，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵方程两个根的和为a，两个根的积为b，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
15. 为了估计箱子中白球的个数，在该箱再放入10个红球（红球与白球除颜色不同以外，其他均相同），搅匀后，从箱子中摸出15个球．如果在这15个球中有2个是红球，那么估计箱子中白球的个数为_______个．
【答案】65
【解析】
【分析】设放入10个红球之前，箱子中白球的个数为，根据这15个球中有2个是红球，列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设放入10个红球之前，箱子中白球个数为，根据题意得，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，根据题意列出方程是解题的关键．
16. 点A是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，的面积是1，则下列结论中，正确的是_______（填序号）．
①此反比例函数图象经过点；②此反比例函数解析式为；③若点在此反比例函数图象上，则点也在此反比例函数图象上；④点在此反比例函数的图象上且，则．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】根据反比例函数比例系数几何意义可得此反比例函数解析式为，即可判断①②；根据反比例函数的对称性即可判断③；根据反比例函数的增减性即可判断④．
【详解】解：设点A所在的反比例函数解析式为，
∵轴，点A在反比例函数图象上，的面积是1，
∴，
∴，
∴此反比例函数解析式为，故②正确；
当时，，即反比例函数图象经过点，不经过点，故①错误；
∵点在此反比例函数图象上，
∴由反比例函数的对称性可知，点也在此反比例函数图象上，故③正确；
∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，
∵点在此反比例函数的图象上且，
∴，故④错误；
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义求出反比例函数解析式是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 尺规作图：如图，已知．作边关于点A对称的图形．（保留作图痕迹，但不要求写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】延长，，在延长线上取，，连接即可．
【详解】解：如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查了作图—中心对称，解题的关键是学会利用中心对称的性质找到对称点．
18. 求二次函数的最小值，并写出当自变量x取何值时，y取得最小值．
【答案】当时，取得最小值，最小值为
【解析】
【分析】将解析式配方，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵，，开口向上，
∴当时，取得最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数图象性质，掌握配方法化为顶点式是解题的关键．
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
20. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，求这个反比例函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的关系式为，
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，正确计算是解题的关键．
21. 如图，是的两条弦，，垂足分别为E，F．比较和的大小，并证明你的结论．
【答案】，证明见解析
【解析】
【分析】根据垂径定理得到，再由，即可证明．
【详解】解：，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．
22. 线上教学的师生，可采用的方式包括：①连麦问答；②视频对话；③不定时签到；④投票；⑤选择题推送等．为了解学生最喜爱的方式，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图1和图2；
（1）本次随机抽查的学生人数为________人，补全图2；
（2）参加线上教学的学生共有6000名，可估计出其中最喜爱“①连麦问答”的学生人数为_______人，图1中扇形①的圆心角度数为________度；
（3）若在“①，②，③，④”四种方式中随机选取两种作为重点交互方式，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“②，③”这两种方式的概率．
【答案】（1），补全图见解析
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据方式③的人数与占比即可求得本次随机抽查的学生人数，进而求得方式②的人数，补全统计图即可求解；
（2）用方式①的占比乘以，估计出其中最喜爱“①连麦问答”的学生人数，用方式①的占比乘以，得出图1中扇形①的圆心角度数；
（3）用列表法求概率即可求解．
【小问1详解】
解：本次随机抽查的学生人数为：（人），
∴方式②的人数为（人），
故答案为：．补全统计图如图，
【小问2详解】
解：估计出其中最喜爱“①连麦问答”的学生人数为（人），
图1中扇形①的圆心角度数为，
故答案为：，．
【小问3详解】
列表如下，
共有12种等可能结果， 恰好选中“②，③”这两种方式的有2种，
∴恰好选中“②，③”这两种方式的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求扇形统计图的圆心角的度数，样本估计总体，列表法求概率，从统计图表中获取信息，掌握求概率的方法是解题的关键．
23. 一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
【答案】一共有10个队参加比赛
【解析】
【分析】设应邀请x个球队参加比赛，根据每两队之间都赛两场，共有90场比赛，列出一元二次方程，解方程即可求解．．
【详解】解：设一共有x个队参加比赛，
由题意得，即，
解得或（舍去），
∴一共有10个队参加比赛，
答：一共有10个队参加比赛．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
24. 已知抛物线．
（1）若，求该抛物线与轴交点的坐标；
（2）判断该抛物线与x轴交点的个数，并说明理由；
（3）若时，该抛物线与x轴有且只有一个交点，求m的取值范围．
【答案】（1）该抛物线与轴交点的坐标为
（2）当时 ，抛物线与轴有2个交点，当时，抛物线与轴有1个交点，当时，抛物线与轴没有交点
（3）或
【解析】
【分析】（1）当时，，令，解一元二次方程即可求解；
（2）令，即，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（3）分两种情况讨论，①抛物线的顶点在轴上，②在时，抛物线与轴只有一个交点，分别将，代入抛物线，即可求解．
【小问1详解】
当时，，
令，即，
解得：，
∴该抛物线与轴交点的坐标为；
【小问2详解】
对于抛物线，令，
即，
，
当时，即，解得：，
当时，即，解得：，
当时，即，解得：，
∴当时 ，抛物线与轴有2个交点，
当时，抛物线与轴有1个交点，
当时，抛物线与轴没有交点；
【小问3详解】
∵，
∴抛物线对称轴为直线，
①当抛物线的顶点在轴上时，由（2）可得当该抛物线与x轴有且只有一个交点时，，
②当时，该抛物线与x轴有且只有一个交点，
∴，
当时，，
∴，即，
当时，，
∴，即，
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数图像与轴的交点问题，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
25. 如图，已知正方形边长为2．点O是边的中点，点E是正方形内一个动点，且．
（1）连接，求的度数；
（2）连接，若，求的长度；
（3）将线段绕点D逆时针旋转后，得到线段，连接，线段长是否存在最小值，若无，说明理由；若有，求出这个最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）判断出点E在以为直径，且在正方形内部的半圆上，根据直径所对的圆周角是直角可得结论；
（2）由可知是半圆的切线，连接利用切线的性质进一步得出，再运用勾股定理可得结论；
（3）根据证明得到，求得的最小值即可
【小问1详解】
∵点O为的中点，，，
∴点E在以O为圆心，以1为半径的圆上，且位于正方形内部的半圆上，
∴；
【小问2详解】
当时，切于点E，连接，如图1，
∵四边形是正方形，
∴，，即是的切线，
∴，
∵
∴，
∴，且平分，
∴，
∴，
∴
∴
∴
在中，，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，即
∴
在和中，
∴最小时，最小，
如图2，连接交于点，
在中，，
存在最小值为
【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键
①
②
③
④
①
①②
①③
①④
②
②①
②③
②④
③
③①
③②
③④
④
④①
④②
④③