2024-2025学年广东省广州市天河区九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市天河区九年级上学期期末数学试卷（含答案），共35页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列几何图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为1%，则下列说法正确的是（ ）
A．买1张这种彩票，不可能中奖
B．买200张这种彩票，可能有2张中奖
C．买100张这种彩票，一定有1张中奖
D．若100人每人买1张这种彩票，一定会有一人中奖
3．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠COD＝（ ）
A．72°B．60°C．54°D．48°
4．（3分）已知点A（m，﹣2）与点B（3，n）关于原点对称，则m+n的值为（ ）
A．5B．4C．﹣5D．﹣1
5．（3分）下列关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的说法正确的是（ ）
A．图象是一条开口向下的抛物线
B．顶点坐标是（﹣2，﹣3）
C．函数图象与y轴交于正半轴
D．y有最大值，最大值为﹣3
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，点O为AB的中点，若以点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列判断正确的是（ ）
A．点C在⊙O外B．点C在⊙O上C．点C在⊙O内D．无法判断
7．（3分）设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y＝﹣2x2+m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y1＞y2＞y3
8．（3分）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（ ）
A．（30+x）（20+x）＝600
B．（30+2x）（20+2x）＝600
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝1200
D．（30+2x）（20+2x）＝1200
9．（3分）如图，已知△ABC中，∠B＝70°，BC＝6，以BC为直径作半圆（圆心为点O），分别交AB，AC于点D，E．若DE=BD，则CE的长为（ ）
A．10π3B．5π3C．5π6D．5π2
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，画出直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），这个图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）设x1，x2是方程x2+5x＝0的两个根，则x1+x2＝ ．
12．（3分）如图，把△ABC绕点A逆时针旋转75°得到△AB′C′．若∠BAC＝35°，则∠BAC′的度数为 ．
13．（3分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC交⊙O于点D．已知∠ACB＝50°，则∠BAD的度数为 ．
15．（3分）在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径9cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是 cm．
16．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，3），B（5，3），若C是坐标轴上的一点，且∠ACB＝90°，则满足条件的点C的坐标为 ．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
18．（4分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2），将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA1B1．
（1）画出△OA1B1；
（2）求在旋转过程中，线段OB扫过的面积（结果保留π）．
19．（6分）某校体育节即将开幕，篮球、羽毛球、足球比赛均需要多名志愿者协助，小天和小河分别被随机分配到其中一项比赛担任志愿者．
（1）填空：小天被分配到篮球比赛的概率是 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求出小天和小河被分配到同一比赛当志愿者的概率．
20．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中的x，y满足如表：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）直接写出当y＜0时，x的取值范围．
21．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
22．（10分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒EF：③T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）．
【活动1】找出大圆的圆心．
小天同学选择用T型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示：
小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．”
【活动2】求环形花坛面积．
如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”
小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为M，N，与小圆两交点分别为P，Q，只要测出MN，PQ的长度，也可求出环形花坛的面积．”
【解决问题】
（1）利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）图3中，如果测得MN＝10m，求这个环形花坛的面积；
（3）填空：图4中，如果测得MN＝a，PQ＝b，用含a，b的式子表示环形花坛的面积S环形花坛＝ ．
23．（10分）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体AB的水平距离为2米，且点P离地面的高度为3.75米．
请尝试数学建模解决以下问题：
（1）在图1中，以B为原点，水平直线BC为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为y（米），该处离墙体AB的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式；
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE，FG组成，其中点E，F在顶棚抛物线形骨架上，FG∥AB交AE于点G．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．
24．（12分）如图，将锐角△AEF的边AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，过C作BC∥EF，交边FA的延长线上于点B，连接BC，作△ABC的外接圆，交边AE于点D，连接DC．
（1）若∠EFA＝60°，且ED＝2，求∠ADC的度数，并求DC的长；
（2）求证：EF＝BD．
25．（12分）已知关于x的函数y＝ax2﹣4ax+k﹣2．
（1）当a＞0，k＝4时，
①求当x≤0时，该函数的最小值；
②当0≤x≤5时，y有最小值为﹣2，求当0≤x≤5时，y的最大值．
（2）当k＝a时，若该函数图象与坐标轴有两个交点，求a的值；
（3）当a＜0，且k＝a时，若该函数图象与x轴有两个不同交点，试说明该图象与直线y＝kx﹣2始终有两个交点，并求出这两点之间距离的取值范围．
2024-2025学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题一本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列几何图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故A不符合题意；
B、不是中心对称图形．故B不符合题意；
C、是中心对称图形．故C符合题意；
D、不是中心对称图形．故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为1%，则下列说法正确的是（ ）
A．买1张这种彩票，不可能中奖
B．买200张这种彩票，可能有2张中奖
C．买100张这种彩票，一定有1张中奖
D．若100人每人买1张这种彩票，一定会有一人中奖
【分析】根据概率的意义，反映了事件发生的机会的大小，不一定会发生，据此分析即可．
【解答】解：A、买1张这种彩票，可能中奖，原选项不符合题意；
B、买200张这种彩票，可能有2张中奖，可能会发生，原选项符合题意；
C、买100张这种彩票，不一定有1张中奖，原选项不符合题意；
D、100人每人买1张这种彩票，不一定会有一人中奖，原选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了概率的意义，游戏公平性，解题的关键是正确理解概率的意义．
3．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠COD＝（ ）
A．72°B．60°C．54°D．48°
【分析】根据周角等于360°，可以求得∠COD的度数．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD=360°5=72°，
故选：A．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是掌握正多边形的性质．
4．（3分）已知点A（m，﹣2）与点B（3，n）关于原点对称，则m+n的值为（ ）
A．5B．4C．﹣5D．﹣1
【分析】根据点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（﹣x，﹣y）进行解答即可．
【解答】解：∵点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（﹣x，﹣y），点A（m，﹣2）与点B（3，n）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝2，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，有理数的加法，熟知关于原点对称的点的坐标变换规律是解题的关键．
5．（3分）下列关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的说法正确的是（ ）
A．图象是一条开口向下的抛物线
B．顶点坐标是（﹣2，﹣3）
C．函数图象与y轴交于正半轴
D．y有最大值，最大值为﹣3
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，二次函数的最值，由此解答即可．
【解答】解：A、由a＝1＞0可知图象是一条开口向上的抛物线，故此选项不符合题意；
B、由y＝（x﹣2）2﹣3可知图象的顶点坐标是（2，﹣3），故此选项不符合题意；
C、当x＝0时，y＝1＞0，所以函数图象与y轴交于正半轴，故此选项符合题意；
D、由开口向上，所以y有最小值，最大值为﹣3，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质．熟练掌握该知识点是关键．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，点O为AB的中点，若以点O为圆心，5为半径作⊙O，则下列判断正确的是（ ）
A．点C在⊙O外B．点C在⊙O上C．点C在⊙O内D．无法判断
【分析】连接OC，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得OC＝5，则点C到圆心的距离等于半径，判断点C在⊙O上．
【解答】解：连接OC，
∵AB＝10，∠C＝90°，点O为AB的中点，
∴OC=12AB=5，
∵⊙O的半径为5，
∴点C在⊙O上．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及直角三角形斜边上的中线，掌握点与圆的三种位置关系是解题关键．
7．（3分）设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y＝﹣2x2+m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y1＞y2＞y3
【分析】由题意可得对称轴为y轴，则（﹣1，y1）关于y轴的对称点为（1，y1），根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系．
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣2x2+m，
∴对称轴为y轴
∵（﹣1，y1）关于对称轴y轴对称点为（1，y1），
∴（1，y1）是抛物线y＝﹣2x2+m上点，
又∵a＝﹣2＜0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵1＜2＜3，点（1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y＝﹣2x2+m上的三点，
∴y1＞y2＞y3，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，熟练掌握以上知识点是关键．
8．（3分）如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（ ）
A．（30+x）（20+x）＝600
B．（30+2x）（20+2x）＝600
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝1200
D．（30+2x）（20+2x）＝1200
【分析】根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为（30+2x）cm，宽为（20+2x）cm，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵原画面是长为30cm，宽为20cm的矩形，且彩纸的宽度为xcm，
∴原画四周镶上彩纸后的长为（30+2x）cm，宽为（20+2x）cm．
根据题意得：（30+2x）（20+2x）＝2×30×20，
即（30+2x）（20+2x）＝1200．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）如图，已知△ABC中，∠B＝70°，BC＝6，以BC为直径作半圆（圆心为点O），分别交AB，AC于点D，E．若DE=BD，则CE的长为（ ）
A．10π3B．5π3C．5π6D．5π2
【分析】连结OE、CD，如图，先根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，则可计算出∠BCD＝20°，再根据DE=BD得到∠ECD＝∠BCD＝20°，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角定理计算出∠COE＝100°，然后根据弧长公式求解．
【解答】解：连结OE、CD，如图，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，
∵DE=BD，
∴∠ECD＝∠BCD＝20°，
∴∠OCE＝40°，
∵OE＝OC，
∴∠OCE＝∠OEC＝40°，
∴∠COE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴CE的长度为100×π×3180=53π．
故选：B．
【点评】本题考查了弧长的计算：熟练掌握弧长公式是解决问题的关键（弧长公式为l=nπR180，其中弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了圆周角定理．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，画出直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），这个图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象性质逐项分析判断即可．
【解答】解：A、根据一次函数图象，a＞0，b＞0，则抛物线对称轴应该在y轴左侧，选项图象不符合条件；
B、根据一次函数图象，a＜0，b＞0，则抛物线应该过原点，选项图象不符合条件；
C、根据一次函数图象，a＞0，b＝0，则抛物线顶点过原点，选项图象不符合条件；
D、根据一次函数图象，a＜0，b＜0，则抛物线开口向下，图象过原点，且对称轴在y轴左侧，选项图象符合条件，满足题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象，熟练掌握两个函数图象特征是关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）设x1，x2是方程x2+5x＝0的两个根，则x1+x2＝ ﹣5 ．
【分析】利用根与系数关系求解．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+5x＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣5
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是记住x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．
12．（3分）如图，把△ABC绕点A逆时针旋转75°得到△AB′C′．若∠BAC＝35°，则∠BAC′的度数为 110° ．
【分析】由旋转得，∠BAB'＝75°，∠B'AC'＝∠BAC＝35°，再根据∠BAC′＝∠BAB'+∠B'AC'可得答案．
【解答】解：由旋转得，∠BAB'＝75°，∠B'AC'＝∠BAC＝35°．
∴∠BAC′＝∠BAB'+∠B'AC'＝75°+35°＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
13．（3分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 460 只．
【分析】用1000乘以使用寿命不小于2200小时的百分比即可．
【解答】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为1000×17+650=460（只）．
故答案为：460．
【点评】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．
14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC交⊙O于点D．已知∠ACB＝50°，则∠BAD的度数为 50° ．
【分析】根据圆切线性质得到∠BAC＝90°，得到∠B＝40°，根据直径性质得到∠ACB＝90°，得到∠BAD＝50°．
【解答】解：∵AC与⊙O相切，
∴∠BAC＝90°．
又∵∠ACB＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝40°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝50°．
故答案为：50°．
【点评】此题考查了切线的性质以及圆周角定理推论．熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，直径对的圆周角是直角是解决问题的关键．
15．（3分）在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径9cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是 62 cm．
【分析】先利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为9cm的扇形的弧长为120°×π×9180°=6π(cm)，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为3cm，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
【解答】解：扇形的弧长为120°×π×9180°=6π(cm)，
设圆锥的底面圆半径为r，
∴2rπ＝6π，
解得r＝3（cm），
故圆锥的高为：92-32=62(cm)，
故答案为：62．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理．
16．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，3），B（5，3），若C是坐标轴上的一点，且∠ACB＝90°，则满足条件的点C的坐标为 （0，3+5）或（0，3-5）或（2，0） ．
【分析】先根据A，B两点的坐标求出AB，再根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2＝36，然后分两种情况讨论：①若点C在y轴上，设点C坐标为（0，m），求出AC和BC的平方，利用勾股定理列出关于m的方程，解方程求出m即可；②若点C在x轴上，设点C坐标为（n，0），求出AC和BC的平方，利用勾股定理列出关于n的方程，解方程求出n，最后写出答案即可．
【解答】解：∵A（﹣1，3），B（5，3），
∴AB∥x轴，AB＝5﹣（﹣1）＝5+1＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2＝36，
若点C在y轴上，设点C坐标为（0，m），
∴AC2＝（﹣1）2+（3﹣m）2，BC2＝52+（3﹣m）2，
∴1+（3﹣m2）+25+（3﹣m）2＝36，
2（3﹣m）2＝10，
（3﹣m）2＝5，
3-m=±5，
∴m=3+5或3-5，
∴C（0，3+5）或（0，3-5）；
若点C在x轴上，设点C坐标为（n，0），
∴AC2＝[n﹣（﹣1）]2+32＝（n+1）2+9，BC2＝（5﹣n）2+32＝（5﹣n）2+9，
∴（n+1）2+9+（5﹣n）2+9＝36，
n2+2n+1+9+25﹣10n+n2+9＝36，
2n2﹣8n+8＝0，
n2﹣4n+4＝0，
（n﹣2）2＝0，
n﹣2＝0，
n＝2，
∴点C坐标为：（2，0）．
综上可知：点C的坐标为：（0，3+5）或（0，3-5）或（2，0），
故答案为：（0，3+5）或（0，3-5）或（2，0）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理和直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握利用分类讨论的思想解决问题．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝0，
则x+1＝0或x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或x＝5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
18．（4分）如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，且点B的坐标为（4，2），将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA1B1．
（1）画出△OA1B1；
（2）求在旋转过程中，线段OB扫过的面积（结果保留π）．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）利用勾股定理求出OB的长，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所求．
（2）由勾股定理得，OB=42+22=25，
∴线段OB扫过的面积为90×(25)2360=5π．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、扇形面积的计算，熟练掌握旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键．
19．（6分）某校体育节即将开幕，篮球、羽毛球、足球比赛均需要多名志愿者协助，小天和小河分别被随机分配到其中一项比赛担任志愿者．
（1）填空：小天被分配到篮球比赛的概率是 13 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求出小天和小河被分配到同一比赛当志愿者的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小天和小河被分配到同一比赛当志愿者的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得小天被分配到篮球比赛的概率是13，
故答案为：13；
（2）将篮球、排球、拔河分别记为A，B，C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小天和小河被分配到同一比赛当志愿者的结果有3种，
∴小天和小河被分配到同一比赛当志愿者的概率为39=13．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中的x，y满足如表：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）直接写出当y＜0时，x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）通过解方程x2﹣4x+3＝0得到抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交点坐标，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）把（1，0），（2，﹣1）分别代入得a+b+3=04a+2b+3=-1，
解得a=1b=-4，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴相交于点（1，0），（3，0），
∵抛物线开口向上，
∴当1＜x＜3时，y＜0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；
（2）先求出k的值，再代入方程x2﹣3x+k＝0，求出x＝2或x＝1，把x＝2或x＝1代入方程求出m的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤94；
（2）∵k是符合条件的最大整数，
∴当k≤94时的最大整数值是2，
则关于x的方程x2﹣3x+k＝0是x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，
∴当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，
解得m＝1；
而m﹣1≠0，所以m＝1舍去，
当x＝1时，（m﹣1）+1+m﹣3＝0，
解得m=32，
∴m的值为32．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解等知识，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
22．（10分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒EF：③T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）．
【活动1】找出大圆的圆心．
小天同学选择用T型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示：
小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．”
【活动2】求环形花坛面积．
如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”
小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为M，N，与小圆两交点分别为P，Q，只要测出MN，PQ的长度，也可求出环形花坛的面积．”
【解决问题】
（1）利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）图3中，如果测得MN＝10m，求这个环形花坛的面积；
（3）填空：图4中，如果测得MN＝a，PQ＝b，用含a，b的式子表示环形花坛的面积S环形花坛＝ π(a2-b2)4 ．
【分析】（1）先作出两条不平行的弦AC，BC，再作出AC，BC的垂直平分线，其交点即为所求的点O；
（2）设切点为C，连接OM，OC．利用勾股定理即可解决问题；
（3）连接OM，OP，过点O作OH⊥MN，由垂径定理得MH=12MN=12a，PH=12PQ=12b，由勾股定理得OM2＝OH2+MH2，OP2＝OH2+PH2，从而得出OM2-OP2=MH2-PH2=a2-b24，最后由S环形花坛=π⋅OM2-π⋅OP2=π⋅(OM2-OP2)求解即可．
【解答】解：（1）如图点O即为所求；
（2）如图，设切点为C，连接OM，OC，
∵MN是切线，
∴OC⊥MN，
∴CM＝CN＝5，
∴OM2﹣OC2＝CM2＝25，
∴S圆环=π⋅OM2-π⋅OC2=25π(m2)；
（3）如图，连接OM，OP，过点O作OH⊥MN，
∵OH⊥MN，
∴MH=12MN=12a，PH=12PQ=12b，
∵Rt△OMH中，OM2＝OH2+MH2，Rt△OPH中，OP2＝OH2+PH2，
∴OM2-OP2=MH2-PH2=(12a)2-(12b)2=a2-b24，
∴S环形花坛＝π•OM2﹣π•OP2＝x（OM2﹣OP2）=π(a2-b2)4，
故答案为：π(a2-b2)4．
【点评】本题考查作图与应用，线段的垂直平分线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体AB的水平距离为2米，且点P离地面的高度为3.75米．
请尝试数学建模解决以下问题：
（1）在图1中，以B为原点，水平直线BC为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为y（米），该处离墙体AB的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式；
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE，FG组成，其中点E，F在顶棚抛物线形骨架上，FG∥AB交AE于点G．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．
【分析】（1）根据题意设y与x之间的函数关系式为y＝a（x﹣2）2+3.75，再将A（0，3.5）代入y＝a（x﹣2）2+3.75，求出a即可；
（2）先求出E点坐标，再用勾股定理求出AE；再用待定系数法求出AE所在直线的函数解析式，然后F坐标为（m，-116m2+14m+3.5），根据FG∥AB，则G（m，-14m+3.5），然后求出FG关于m的函数解析式，由函数的性质求出FG的最值即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，抛物线顶点P的坐标为（2，3.75），
∴设y与x之间的函数关系式为y＝a（x﹣2）2+3.75，
将A（0，3.5）代入y＝a（x﹣2）2+3.75，得4a+3.75＝3.5，
解得a=-116，
∴y=-116（x﹣2）2+3.75=-116x2+14x+3.5，
∴y与x之间的函数关系式为y=-116x2+14x+3.5；
（2）如图，过点E作EH⊥AB于点H，
∵点E到地面的距离定为1.5米，
∴当y＝1.5时，-116x2+14x+3.5＝1.5，
解得x1＝8，x2＝﹣4（舍去），
∴E（8，1.5），
∴AH＝3.5﹣1.5＝2（米），HE＝8米，
∴AE=22+82=217（米），
设AE所在直线的函数解析式为y＝kx+b，
将A（0，3.5），E（8，1.5）代入y＝kx+b得：b=3.58k+b=1.5，
解得k=-14b=3.5，
∴AE所在直线的函数解析式为y=-14x+3.5，
∵FG∥AB，
∴设F坐标为（m，-116m2+14m+3.5），
则G（m，-14m+3.5），
∴FG=-116m2+14m+3.5﹣（-14m+3.5）=-116m2+12m=-116（m2﹣8m）=-116（m﹣4）2+1，
∵-116＜0，
∴当m＝4时，FG最大，最大值为1，
此时AE+FG＝（217+1）米，
∴所需铝合金材料的最大长度为（217+1）米．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
24．（12分）如图，将锐角△AEF的边AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，过C作BC∥EF，交边FA的延长线上于点B，连接BC，作△ABC的外接圆，交边AE于点D，连接DC．
（1）若∠EFA＝60°，且ED＝2，求∠ADC的度数，并求DC的长；
（2）求证：EF＝BD．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABC＝180°﹣∠EFA＝120°，由内接四边形的性质可得∠ADC＝60°，由旋转的性质可得∠DAC＝90°，AC＝AE，从而得出∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝30°，再由直角三角形的性质可得CD＝2AD，求出AE=AC=3AD，再结合DE=AE-AD=3AD-AD=(3-1)AD=2，求解即可；
（2）作DG∥AC交圆于G，连接CG、BG，由旋转的性质可得：∠DAC＝90°，AC＝AE，证明四边形ADGC为矩形，得出 DG＝AC，∠DGC＝90°，进而得出DG=AC，DG＝AE，由圆周角定理可得∠ADC＝∠DBG，证明∠ADC＝∠EFA，得出∠DBG＝∠EFA，再证明∠BGC＝∠EAF，即可得出△AEF≌△GBD（AAS），再由全等三角形的性质即可得解．
【解答】（1）解：∵BC∥EF，∠EFA＝60°，
∴∠EFA+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠EFA＝120°，
∵作△ABC的外接圆，交边AE于点D，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝60°，
由旋转的性质可得：∠DAC＝90°，AC＝AE，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADC＝30°，
∴CD＝2AD，
∴AC=CD2-AD2=3AD，
∴AE=AC=3ADDE=AE-AD=3AD-AD=(3-1)AD=2，
解得AD=3+1，
∴CD=2AD=23+2；
（2）证明：如图，作DG∥AC交圆于G，连接CG、BG，
由旋转的性质可得：∠DAC＝90°，AC＝AE，
∴∠ADG＝180°﹣∠DAC＝90°，CD为圆的直径，
∴∠DGC＝90°，
∴四边形ADGC为矩形，
∴DG＝AC，∠DGC＝90°，
∴DG=AC，DG＝AE，
∴∠ADC＝∠DBG，
∵BC∥EF，
∴∠EFA+∠ABC＝180°，
∵作△ABC 的外接圆，交边AE于点D，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠EFA，
∴∠DBG＝∠EFA，BC=BC，
∴∠BAC＝∠BGC，
∵∠EAF+∠CAB＝180°﹣∠DAC＝90°，∠BGC+∠DGB＝90°，
∴∠BGC＝∠EAF，
∴△AEF≌△GBD（AAS），
∴BD＝EF．
【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
25．（12分）已知关于x的函数y＝ax2﹣4ax+k﹣2．
（1）当a＞0，k＝4时，
①求当x≤0时，该函数的最小值；
②当0≤x≤5时，y有最小值为﹣2，求当0≤x≤5时，y的最大值．
（2）当k＝a时，若该函数图象与坐标轴有两个交点，求a的值；
（3）当a＜0，且k＝a时，若该函数图象与x轴有两个不同交点，试说明该图象与直线y＝kx﹣2始终有两个交点，并求出这两点之间距离的取值范围．
【分析】（1）①对称轴为直线x＝2，开口向上，当x＜2时，y随x的增大而减小，即当x＝0时，函数有最小值为ymin＝k﹣2＝4﹣2＝2；
②当0≤x≤5时，ymin＝﹣2，即当x＝2时，ymin＝4a﹣8a+2＝﹣2，解得a＝1，从而y＝x2﹣4x+2，那么当x＝5时，ymax＝25﹣20+2＝7；
（2）当k＝a时，函数解析式为y＝ax2﹣4ax+a﹣2，根据该函数图象与坐标轴有两个交点，分为a＝0和a≠0分类讨论即可；
（3）当a＜0，且k＝a时，该二次函数解析式为y＝ax2﹣4ax+a﹣2，开口向下，由图象x轴有两个不同交点，得Δ＞0，解得a＜-23.又因为二次函数y＝ax2﹣4ax+a﹣2与直线y＝kx﹣2始终有两个交点且k＝a，设交点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），两交点之间距离为d，故令ax2﹣4ax+a﹣2＝ax﹣2，由韦达定理知x1+x2＝5，x1x2＝1，且y1＝ax1﹣2，y2＝ax2﹣2，最后根据d=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+(ax1-2-ax2+2)2=23⋅1+a2，由于a＜-23，所以d=23⋅1+a2＞23×1+49=2733．
【解答】解：（1）①对称轴为直线x＝2，当a＞0，开口向上，
故当x＜2时，y随x的增大而减小，
所以当x＝0时，函数有最小值为ymin＝k﹣2＝4﹣2＝2；
②当0≤x≤5时，ymin＝﹣2，即当x＝2时，ymin＝4a﹣8a+2＝﹣2，解得a＝1，
此时，y＝x2﹣4x+2，那么当x＝5时，ymax＝25﹣20+2＝7．
即y的最大值为7．
（2）当k＝a时，函数解析式为y＝ax2﹣4ax+a﹣2，
∵该函数图象与坐标轴有两个交点，
则当a＝0时，y＝﹣2，仅与y轴有且只有一个交点，不符合题意，舍去；
当a≠0时，函数为二次函数，若图象过原点时，此时a﹣2＝0，a＝2，符合题意，
当二次函数图象与x轴只有一个交点时，令Δ＝0，即16a2﹣4a（a﹣2）＝0，
解得a＝0或-23（0舍去），
综上，a的值为2或-23．
（3）当a＜0，且k＝a时，该函数为二次函数，解析式为y＝ax2﹣4ax+a﹣2，开口向下，
∵图象x轴有两个不同交点，
故令Δ＞0，即16a2﹣4a（a﹣2）＞0，整理得a（3a+2）＞0，
解得a＜-23．
又∵二次函数y＝ax2﹣4ax+a﹣2与直线y＝kx﹣2始终有两个交点且k＝a，设交点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），
两交点之间距离为d，
故令ax2﹣4ax+a﹣2＝ax﹣2，整理得：ax2﹣5ax+a＝0，
由韦达定理知x1+x2＝5，x1x2＝1，
且y1＝ax1﹣2，y2＝ax2﹣2，
则d=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+(ax1-2-ax2+2)2
=(x1-x2)2+a2(x1-x2)2
=(1+a2)(x1-x2)2
=(1+a2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=1+a2⋅25-4
=21⋅1+a2，
∵a＜-23，
∴d=21⋅1+a2＞21×1+49=2733．
故两点之间距离的取值范围为d＞2733．
【点评】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数的最值问题、抛物线与坐标轴的交点情况、根系关系、根的判别式、分类讨论的数学思想，熟练掌握以上内容是解题关键．使用寿命
x＜1000
1000≤x＜1600
1600≤x＜2200
2200≤x＜2800
x≥2800
灯泡只数
5
10
12
17
6
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
■
3
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
C
B
D
D
B
D
使用寿命
x＜1000
1000≤x＜1600
1600≤x＜2200
2200≤x＜2800
x≥2800
灯泡只数
5
10
12
17
6
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
﹣1
■
3
…