2026届湖南省名校联考联合体高三上学期1月联考数学试卷（学生版）

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这是一份2026届湖南省名校联考联合体高三上学期1月联考数学试卷（学生版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 全集，，则（）
A. B. C. D.
2. 复数的共轭复数为，若，则（）
A. B. C. D.
3. 平面向量，，且，则（）
A. B. 2C. D. 3
4. 函数，若，则x的取值范围为（）
A. B. C. D.
5. 正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（）
A. B. C. D.
6. 函数的图象关于直线对称，则的最小值为（）
A. B. 1C. D. 2
7. 椭圆：的左、右顶点为，，椭圆C的右焦点为F，点P是椭圆C上异于，的一动点，过F作直线的垂线，垂足为M，若椭圆C的离心率为，三角形的面积最大值为6，则椭圆C的方程为（）
A. B.
C. D.
8. 函数满足：当时，且，，若函数（且）共有6个零点，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 等差数列的前n项和为，，，则（）
A. B. 公差
C. D. 的最大值为或
10. 抛物线：的焦点为F，准线为.若点在抛物线上，过F点的直线交抛物线于，两点，则（）
A.
B.
C. 圆与准线交于M，N两点，则三角形的面积为8
D. 以为直径的圆与轴只有一个公共点
11. 如图，在正三棱柱中，，，E，F分别在侧面.和侧面内运动（含边界），点在平面上的射影H在内（含边界），直线与平面所成的角为30°.则（）

A. 正三棱柱的体积为
B. 正三棱柱的外接球的体积为
C. H点到棱的距离为
D. 若直线与平面所成的角为，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数在点处的切线斜率为4，则______.
13. 从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有_____个.
14. 数列满足，数列满足，.将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，设的前n项和为，则_____（请用数字作答）.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，.
（1）证明：；
（2）若，求内角A的大小.
16. 如图，在四棱锥中，为等腰三角形，底面，，，，，，M为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面和平面所成夹角的正弦值.
17. 函数.
（1）若，求的极小值；
（2）当时，证明：.
18. 某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典A型和卓越型两款机器人中（卓越型是A型的优化版），随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台，卓越型优秀为20台.
（1）完成下面2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关.
（2）该公司为了进一步测试卓越型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队（母语为汉语）进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况（无平局），每局人类战胜机器人的概率为胜者记2分，负者记1分.每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响.
（i）求三局比赛中，人类队累计得分X的分布列和数学期望；
（ii）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义.
参考公式：
19. 双曲线：的一条渐近线为：，点在双曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.设双曲线C在切点N处的切线为，求切线与双曲线的两渐近线所围成的三角形的面积；
（3）设点B关于的对称点为R，点B关于原点的对称点为，双曲线上的动点M与，B不重合，且动直线与直线相交于点P，动直线与直线相交于点.求证：存在实数，使得，并求出实数的值.款类
测试结果
总计
优秀
良好
型
20
30
A型
7
30
总计
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828