湖南省名校联考联合体2026届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试卷

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这是一份湖南省名校联考联合体2026届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试卷，共4页。试卷主要包含了已知，则，在等比数列中，，，则等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 设为虚数单位，则（）
A. 2B. 3C. D. 5
3. 如图，在矩形中，为中点，那么向量=（）
A B. C. D.
4. 已知，则（）
A. B. C. D.
5. 已知某一随机变量X的概率分布如下，且E（X）=6.9，则a的值为
A. 5B. 6C. 7D. 8
6. 若双曲线与关于直线对称，且的离心率与的离心率之积为常数），则称与互为型双曲线.已知双曲线，则的3型双曲线的渐近线为（）
A. B. C. D.
7. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，且边上的高为1，则（）
A. B. 1C. D.
8. 已知函数fx=lg2x−1+2+ex2−2x，设a=fln2，b=fe−1，c=fln3−1，则（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，其中为第一象限内的点，与的准线交于点，则（）
A. B. C. D.
10. 在等比数列中，，，则（）
A. B.
C. 数列是以4为公比的等比数列D. 数列的前项和为
11. 设函数的定义域为，且fffx+y−fxfy=−xy，，，则（）
A. B.
C. 函数为偶函数D. 函数f1−x3在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点处的切线方程为______.
13. 已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为______.
14. 已知函数fx=7csωx+π5ω>0仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16. 某药厂质监部门随机从甲、乙生产线生产的同一种药品中分别抽取50个样本进行检测，根据检测指标，将这种药品分为“一级品”和“二级品”两个级别，统计结果如下表：
（1）根据小概率值独立性检验，分析这种药品的级别是否与生产线有关？
（2）视频率为概率，现将甲、乙生产线生产的这种药品件数按3：4的比例混放一起，从混合药品中随机抽取一件药品，若取到的药品是二级品，求它是取自乙生产线的产品的概率.
附：，其中.
17. 如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，侧面底面分别为的中点．

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角余弦值．
18. 已知椭圆的长轴长为短轴长的倍，焦距为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）若坐标原点为，平行四边形的四个顶点，，，均在椭圆上，且圆内切于四边形.
（i）证明：四边形为菱形；
（ii）求四边形面积的最大值.
19. 已知函数.
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，证明：；
（3）若，不等式fx≥x+2sinx−1恒成立，求实数的取值范围.
X
4
a
9
P
m
0.2
05
级别
生产线
合计
甲
乙
一级品
35
30
65
二级品
15
20
35
合计
50
50
100
0.050
0.010
0005
3.841
6.635
7.879