勾股定理关于赵爽弦图的应用—2025-2026浙教版数学八年级上册期末核心考点专练

这是一份勾股定理关于赵爽弦图的应用—2025-2026浙教版数学八年级上册期末核心考点专练，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图是我国古代著名的赵爽弦图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，其中∠AFB=∠BEC=∠AGD=∠CHD=90°，连结AE,DE，若∠AED=∠ADE,DE=2，则正方形ABCD的边长是（ ）
A．5B．2C．52D．6
2．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a=6，弦c=10，则小正方形ABCD的面积是（ ）
A．3B．4C．6D．9
二、填空题
3．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在Rt△ABC中，已知直角边BC=5，AC=7，则CD= ．
4．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在Rt△ABC中，若BC=3，AC=4，则CD= ．
5．如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为13和1，且直角三角形的两直角边分别为a，b，则(a+b)2的值为 ．
6．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在Rt△ABC中，已知直角边BC=5，AC=7，则CD= ．
7．我国古代数学家赵爽创制了一幅 “赵爽弦图”， 极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图， “赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形． 若大正方形的面积是 25 ， 小正方形的面积是 1 ， 则 AE= .
8．如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形ABCD，其中AE=4，AB=5，则DE的值是 ．
三、单选题
9．如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么ab的值为（ ）
A．4B．6C．12D．13
10．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长AD为10，AE的长为6，则小正方形的边长EF为（ ）
A．6B．4C．3D．2
11．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）
A．14B．16C．143D．142
12．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”，若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．4B．8C．12D．16
13．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”，其中∠ABC=90°，AC=13cm，AB=5cm，则阴影部分的面积是（ ）cm2．
A．169B．25C．49D．64
四、解答题
14．勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB.
（1）求证：EF=DF；
（2）若EF=2，求PE的长.
15．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
（1）如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法1：S大正方形=______；方法2：S大正方形=______；
根据以上信息，可以得到的等式是______；
（2）如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若a=3，b=4，求斜边c的值．
16．勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．
如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连接AE交BG于点P，连接BE，得到图2，若∠ABE=∠AEB．
（1）求证：EF=DF；
（2）若EF=2，求PE的长．
17．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有______个；
②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
①a2+b2+c2+d2=______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】2
4．【答案】1
5．【答案】25
6．【答案】2
7．【答案】3
8．【答案】17
9．【答案】B
10．【答案】D
11．【答案】D
12．【答案】A
13．【答案】C
14．【答案】（1）证明：∵∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∵AB=AD
∴AE=AD
∵∠DFA=90°
∴EF=DF
（2）解：由（1）得：EF=DF
∵EF=2 可以求得 AG=HE=2，
证△APG≌△EPH
∴PG=PH=1
∴PE=5
15．【答案】（1）a+b2；a2+2ab+b2；a+b2=a2+2ab+b2；
（2）解：方法1：S小正方形=c2，
方法2：S小正方形=a+b2−2ab，
∴c2=a+b2−2ab，
∴a2+b2=c2.
（3）解：把a=3，b=4代入a2+b2=c2得，
c2=32+42=25，
∵c>0，
∴c=25=5．
16．【答案】（1）证明：∵∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∵AB=AD
∴AE=AD
∵∠DFA=90°
∴EF=DF​​​​​​​
（2）由（1）得：EF=DF
解：∵EF=2，赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成，
∴AG=HE=EF=2，
在△APG,△EPH中，
∠AGP=∠EHP∠APG=∠EPHAG=HE
∴△APG≌△EPH
∴PG=PH=1，
在Rt△HPE中，HE=2,HP=1
∴PE=5
17．【答案】（1）解：①a2+b2=c2；
②选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即c2=12ab×4+b−a2，
化简，得a2+b2=c2
（2）解：①3；
证明：②结论S1+S2=S3；
∵S1+S2=12πa22+12πb22+S3−12πc22
∴S1+S2=18πa2+b2−c2+S3
∵a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3
（3）①m2；②b=c，a+d=m