2025-2026学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）期末数学模拟试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）期末数学模拟试卷-自定义类型，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义.下列纹样中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2+2绕着原点旋转180°，得到的抛物线的表达式为（ ）
A. y=-x2+2B. y=x2-2C. y=x2+2D. y=-x2-2
3.若x=2是关于x的一元二次方程x2+ax-a=0的一个解，则a的值为（ ）
A. 2B. 4C. -2D. -4
4.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. a＜0B. ac＞0C. 2a+b＞0D. b2-4ac＜0
5.近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆.设新能源汽车出口量的年平均增长率为x,根据题意可列方程为（ ）
A. 31（1+x）=120.3B. 31（1+2x）=120.3
C. 31（1+x）2=120.3D. 120.3（1-x）2=31
6.如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20cm,设圆的半径为x cm,正方形的边长为y cm,阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别是（ ）
A. 一次函数关系，一次函数关系
B. 一次函数关系，二次函数关系
C. 二次函数关系，二次函数关系
D. 二次函数关系，一次函数关系
7.定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”.例如：点P（2，4）在函数y=x2上，点Q（-2，-4）在函数y=-2x-8上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y=x2和y=-2x-8互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”.已知函数y=x2+2x和y=4x+n-2022互为“守望函数”，则n的最大值为（ ）
A. 2020B. 2022C. 2023D. 4084
8.在正方形ABCD中，AB=4，M是CD边上一动点，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值为（ ）
A. 2+2
B. 2-2
C. 2
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.写出一个一元二次方程，使它的两个根差为1： .
10.如图，AB为⊙O的直径，△BCD内接于⊙O，若∠D=40°，则∠ABC= °.
11.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED=4，AB=16，则直径CD的长是______．
12.若点M（-3，y1），N（-1，y2），P（4，y3）在抛物线y=-x2+2x+m上，则y1，y2，y3大小顺序为______．（用“＜”号连接）
13.3月14日是国际数学节.某校数学组在今年的数学节活动中策划了“解密风云”“连数成画”和“函数追击”三个挑战游戏，如果小明和小红每人随机选择参加其中一个游戏，那么他们选择相同游戏的概率是 .
14.如图，正五边形和正六边形有公共边AB=5cm.以点A为圆心，AB为半径画圆.则扇形ACD的面积为 .
15.已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
那么的值为 .
16.某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）.修复每个景点所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下：
公园计划聘用m人，用n天的时间完成所有修复工作.
（1）若m=7，则n的最小值是 ；
（2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为元 （用含a的式子表示）元.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
17.解方程：x2-4x-6=0．
四、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
已知m是方程x2-3x+1=0的一个根，求代数式（m-3）2+（m+1）（m-1）的值.
19.(本小题5分)
下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知：⊙O及⊙O外一点P.
求作：直线PA和直线PB，使得PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B.
作法：如图，
①连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点Q；
②以点Q为圆心，OQ的长为半径作圆，交⊙O于点A和点B；
③作直线PA和直线PB.
所以直线PA和PB就是所求作的直线.
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：连接OA，OB.
∵OP是⊙Q的直径，
∴∠OAP=∠OBP=①______（②______）（填推理的依据）.
∴PA⊥OA，PB⊥OB.
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线（③______）（填推理的依据）.
20.(本小题5分)
关于x的一元二次方程x2+（m-3）x+2-m=0.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的实数根均为非负数，求m的取值范围.
21.(本小题5分)
某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的红布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的两端（如图所示），由甲乙两位嘉宾分别从红布两端各选两根细绳打个结，若拿开红布，三根细绳连成一条，则分在同队；否则互为反方队员.
（1）若甲嘉宾随意打个结，他恰好将AA1和BB1连成一条的概率为______；
（2）请用画树状图或列表法，求甲，乙两位嘉宾能分在同队的概率.
22.(本小题6分)
如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（3，0）和B（0，-3）两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M在抛物线上，且不与A重合，过点B作x轴的平行线交直线AM于点N.若点N位于点B的右侧，则点M的横坐标xM的取值范围是______.
23.(本小题6分)
如图，AB，AC分别与⊙O相切于B，C两点，BO的延长线交弦CD于点E，CE=DE，连接OD.
（1）求证：∠A=∠DOE；
（2）若OD∥AC，⊙O的半径为2，求AB的长.
24.(本小题6分)
科学兴趣小组利用不同材料制作了A，B两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为x（单位：klx）时，A电池板的输出电压y1（单位：V）和B电池板的输出电压y2（单位：V）.部分数据如下：
通过分析数据发现，可以用函数刻画y1与x,y2与x之间的关系，回答下列问题：
（1）①y1可以看作是关于x的正比例函数，则m的值为______；
②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高.请选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”；
（2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当光照强度为55klx时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为______V（结果保留小数点后一位）；
②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到______klx（结果保留整数）.
25.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y=ax2-2ax+a（a≠0）上的两点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当-2＜x1＜-1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；
（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1=y2，求t的取值范围．
26.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α（0°＜α＜45°），AD⊥BC于D，将射线BA绕点B顺时针旋转45°得到射线BM，过点C作BM的垂线交BM于点E，交射线BA于点F，连接ED.
（1）依题意补全图形，并求∠EDC的大小（用含α的式子表示）；
（2）在DC上取点G，使DG=AD，连接EG.用等式表示线段EG，AF与CF的数量关系，并证明.
27.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，将中心为T的正方形记作正方形T，对于正方形T和点P（不与O重合）给出如下定义：若正方形T的边上存在点Q，使得直线OP与以TQ为半径的⊙T相切于点P，则称点P为正方形T的“伴随切点”.
（1）如图，正方形T的顶点分别为点O，A（2，2），B（4，0），C（2，-2）.
①在点P1（2，1），P2（1，1），P3（1，-1）中，正方形T的“伴随切点”是______；
②若直线y=x+b上存在正方形T的“伴随切点”，求b的取值范围；
（2）已知点T（t,t+1），正方形T的边长为2.若存在正方形T的两个“伴随切点”M，N，使得△OMN为等边三角形，直接写出t的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】x2-3x+2=0（答案不唯一）
10.【答案】50
11.【答案】20
12.【答案】y1＜y3＜y2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】18
16.【答案】7
50a．

17.【答案】解：x2-4x-6=0，
x2-4x=6，
x2-4x+4=6+4，即（x-2）2=10，
∴x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-．
18.【答案】2m2-6m+8，6．
19.【答案】90° 直径所对的圆周角是直角 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
20.【答案】证明：（1）因为一元二次方程为x2+（m-3）x+2-m=0，
所以Δ=（m-3）2-4×1×（2-m）=m2-6m+9-8+4m=m2-2m+1=（m-1）2，
又因为（m-1）2≥0，
所以该方程总有两个实数根．
解：（2）x2+（m-3）x+2-m=0，
（x-1）（x+m-2）=0，
则x1=1，x2=-m+2．
因为该方程的实数根均为非负数，
所以-m+2≥0，
解得m≤2，
故m的取值范围是：m≤2．
21.【答案】
22.【答案】y=x2-2x-3 xM＞0或xM＜-1
23.【答案】（1）证明：连接OC，

∵BO的延长线交弦CD于点E，CE=DE，
∴OE⊥CE，
∵OC=OD，
∴∠DOE=∠COE，
∵AB，AC分别与⊙O相切于B，C两点，
∴∠ABO=∠ACO=90°，
∴∠A+∠BOC=180°，
∵∠BOC+∠COE=180°，
∴∠COE=∠A，
∴∠DOE=∠A；
（2）解：过C作CH⊥AB于H，

则四边形BECH是矩形，
∴BH=CE，CH=BE，∠CHA=∠BHC=90°，
∵OD∥AC，
∴∠DOC=∠ACO=90°，
∵OC=OD=2，∠DOE=∠COE=45°，
∴∠A=45°，
∴CD=，
∴CE=DE=OE=，
∴BE=OB+OE=2+，
∴AH=CH=BE=2+，
∴AB=AH+BH=2+=2+2．
24.【答案】①2.4；②见解析；
见解析；
①2.1；②31．
25.【答案】解：（1）y=ax2-2ax+a=a（x-1）2，
∴抛物线的对称轴为x=1；
（2）∵-2＜x1＜-1，1＜x2＜2，
∴1-x1＞1-x2，
∴A离对称轴越远，
若a＞0，开口向上，则y1＞y2，
若a＜0，开口向下，则y1＜y2，
（3）∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，
存在y1=y2，则t+1＜1且t+2＞1，
∴t＜0且t＞1，
∴存在1-x1=x2-1，
即存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等，
∴1-t＞t+2-1且1-（t+1）＜t+3-1，
∴-1＜t＜0．
26.【答案】图形见解析，∠EDC=90°-2α；
．理由见解析．
27.【答案】①P2，P3；②或 t的取值范围为或 x
2
4
5
y
0.35
0.35
3
景点
A
B
C
D
工人数
4
3
2
5
天数
3
4
5
2
x/klx
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
y1/V
0
0.6
1.2
1.8
m
3.0
3.6
4.2
4.8
5.4
6.0
y2/V
0
2.4
3.8
4.6
5.0
5.3
5.5
5.7
5.8
5.6
6.0