绵阳南山中学实验学校2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题含答案

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数 学
命题：唐波 刘高 审题：赵平 伍敏
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则
A．B．C．D．
2．已知实数a，b满足，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
3．已知直线a，b异面，下列判断正确的是
A．过b的平面不可能与a平行B．过b的平面不可能与a垂直
C．过b的平面有且仅有一个与a平行D．过b的平面有且仅有一个与a垂直
4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为
A．B．C．D．
5．已知抛物线的焦点为，点在上，且，若满足，则
A．16B．C．9D．
6．在矩形中，，分别为的中点（如图（1）），将矩形绕直线逆时针旋转，点分别位于处（如图（2），则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
7．已知P是所在平面内一点，满足0，若，，则
A．12B．C．18D．
8．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为
A．2B．3C．4D．5
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．为等比数列的前项和，为的公比（），，，则
A． B．是和的等差中项
C． D．
10．已知是R上的以2为周期的奇函数，且当时，，则
A．
B．曲线的对称中心为
C．当时，
D．当时，函数在区间上仅有三个零点
11．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，、、是上的三个互不相同的动点，且与关于原点对称，则下列结论正确的有
A．若，则有或
B．若的周长为20，则的面积为
C．的最大值为5
D．设，的斜率分别为、，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为 .
13．若圆与直线交于A，B两点，则 .
14．在正三棱柱中，，则在正三棱柱内可放入的最大球的体积与正三棱柱外接球的体积之比 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知数列满足，数列满足.
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
（本小题满分15分）
已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
17．（本小题满分15分）
如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且.
（1）求A；
（2）若，，设.
（i）请用含的式子表示和AE；
（ii）求面积的最大值.
18．（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，AC与交于点,与不垂直，，的面积是面积的2倍．
（1）证明：；
（2）设．
（i）求；
（ii）若点平面，且点平面，求平面与平面夹角余弦值的最小值．
（本小题满分17分）
已知椭圆：经过点，且离心率为.
（1）求的方程；
（2）已知，，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线与交于点，.
（ⅰ）若四边形面积为，求直线的方程；
（ⅱ）若直线，的倾斜角分别为，，且，求直线与直线的交点到直线的距离.