辽宁省鞍山市普通高中2025-2026学年高二上学期12月月考数学（B）试卷（Word版附答案）

这是一份辽宁省鞍山市普通高中2025-2026学年高二上学期12月月考数学（B）试卷（Word版附答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在三棱锥中，若，，，则（ ）
A．B．1C．D．0
2．3个男同学和3个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男同学，则不同的排法有（ ）种．
A．36B．108C．120D．144
3．已知为实数，椭圆的离心率为，则（ ）
A．6B．5C．4D．3
4．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．2
6．若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（ ）
A．5B．4C．3D．2
7．甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．6D．4
二、多选题
9．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是（ ）
A．若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案
B．若每人分得2本，则有90种方案
C．若三人分得书本数互不相同，则有360种方案
D．共有450种分配方案
10．如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（ ）
A．长为
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．
D．
11．已知抛物线（）过点，则下列结论正确的是（ ）
A．点P到抛物线焦点的距离为
B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则的面积为
C．过点P与抛物线相切的直线方程为
D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值
三、填空题
12．在的展开式中，常数项是 ．
13．若直线l：被圆C：截得的弦长为，则 .
14．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率 .
四、解答题
15．甲、乙两人参加面试，每人需回答2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是0.7，乙答对每道题目的概率都是0.6，不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响
(1)求甲只答对第二题的概率；
(2)求甲乙两人答对题目数之和为1的概率.
16．已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，M是圆C上的动点，，P是线段的中点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状.
17．已知椭圆的离心率为，短轴长为.
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.
18．已知双曲线C：的右顶点为，且双曲线C的一条渐近线恰好与直线垂直.
(1)求双曲线C的方程
(2)若直线：与双曲线C的右支交于A，B两点，点F为双曲线C的右焦点，点D在双曲线C上，且轴.求证：直线过点F.
19．如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.
1．B
结合已知条件根据数量积的运算律求解即可.
【详解】因为，，，
所以.
故选：B
2．D
分步骤分析，利用排列组合的乘法原理来计算即可．
【详解】总共有3个男同学，排头必须是男同学，所以排头的选择有种，
所以排尾只能从剩余2个男同学选取，有种，
最后剩余4人安排在中间4个位置，有种，所以一共有种．
故选：D．
3．D
先判断椭圆焦点位置，然后根据离心率的公式列方程求解即可.
【详解】因为该方程为椭圆方程，所以且，解得，
，所以，，
则，所以，
由题意得，解得.
故选：D.
4．C
分别算出，，结合公式即可求解.
【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能，
设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，
所以事件包含的样本点个数有个，
所以，
事件包含的基本事件有：，
所以，
所以.
故选：C.
5．A
由渐近线斜率求离心率.
【详解】直线的斜率为，所以双曲线一条渐近线的斜率为-3，
即，所以离心率.
故选：A.
6．A
根据题意，求得展开式的通项，分别求得和的系数，列出方程，即可求得的取值.
【详解】由二项式展开式的通项为，
令，可得，所以展开式的的系数为，
令，可得，所以展开式的的系数为，
因为展开式中的系数比的系数小300，可得，
即，解得或，
又因为，所以.
故选：A.
7．B
根据独立事件概率公式，计算即可得出答案.
【详解】设这三人中仅有两人获得一等奖为事件A，
则.
故选：B
8．D
由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案.
【详解】由抛物线定义可知，
因为直线AF的倾斜角为，轴，
，
所以为等边三角形，
故，，
所以，
其中准线l与轴交点为，则，故，
所以.

故选：D.
9．ABC
利用分组分配问题的解法即可得解.
【详解】对于A，甲1本､乙2本､丙3本，方案数为，故A正确；
对于B，每人2本，方案数为，故B正确；
对于C，书本数互不相同（即1，2，3），所以方案数为，故C正确；
对于D，分三类：第一类，每人2本，方案数为90种；第二类，一人1本，一人2本，一人3本，方案数为360种；
第三类，一人4本，另外两人各1本，方案数为，
故总的分配方案数为种，故D错误.
故选：ABC.
10．ACD
以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD.
【详解】由题意有：，所以
，所以，故A正确；
，所以，所以
，
所以，故B错误；
由，，
所以
，所以，故C正确；
由，所以，故D正确；
故选：ACD.
11．BC
由抛物线过点可得抛物线的方程，求出焦点的坐标及准线方程，由抛物线的性质可判断A；求出直线的方程与抛物线联立，求得交点的坐标，进而求出的面积，判断B；设直线方程为，与抛物线方程联立求得斜率，进而可得在处的切线方程，从而判断C；设直线的方程为抛物线联立求出的坐标，同理求出的坐标，进而求出直线的斜率，从而可判断D．
【详解】由抛物线过点，所以，所以，
所以抛物线的方程为：；
可得抛物线的焦点的坐标为：，准线方程为：，
对于A，由抛物线的性质可得到焦点的距离为，故A错误；
对于B，可得直线的斜率，所以直线的方程为：，
代入抛物线的方程可得：，解得，
所以，故B正确；
对于C，过点P与抛物线相切的直线斜率存在，设直线方程为，
与联立，得：，
所以，解得，所以切线方程为，故C正确；
对于D，设直线的方程为：，
与抛物线联立可得，
所以，所以，
代入直线中可得，即，
直线的方程为：，
代入抛物线的方程，可得，所以，即，
代入直线的方程可得，所以，
所以为定值，故D错误．
故答案为：BC.
12．15
写出二项展开式的通项公式，根据指数为可得结果.
【详解】的展开式的通项公式为，
由得，，
∴展开式中的常数项是.
故答案为：15.
13．10
由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果.
【详解】易知圆的圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得，
所以圆心到直线的距离，解得或.
因为，所以，
故答案为：10.
14．
设，由双曲线定义求出，求出，由余弦定理求出，得到离心率.
【详解】设，由双曲线定义可得，
即，所以，
又，，
在中，由余弦定理得，
即，解得，故离心率.
故答案为：
15．(1)0.21
(2)
（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解，
（2）根据相互独立事件以及互斥事件的概率性质即可求解.
【详解】（1）设 “甲只答对第二题”，则,
（2）记 “甲只答对一道题”， “乙只答对一道题”， “甲两道题都答错”， “乙两道题都答错”，
故,,
,,
记 “甲乙两人答对题目数之和为1”，
由于事件相互独立，事件相互独立，
则
16．(1)；
(2)轨迹方程是，表示以点为圆心，半径为的圆.
（1）设圆的标准方程，代入两点坐标，利用圆心在直线上建立方程组，求解即得；
（2）利用相关点法即可求得点P的轨迹方程，并说明其形状.
【详解】（1）设圆的标准方程为.
由题意可得，解得 ,
则圆的标准方程为.
（2）设，而 ，
因为是线段的中点，所以，即得 (*) .
因为点在圆上，所以，
将(*) 代入上式，可得，
整理得，
即点的轨迹方程是，
它表示以点为圆心，半径为的圆.
17．(1)
(2)或
（1）根据题意可得，进而解出即可求解；
（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解.
【详解】（1）由题意，得，解得，
则椭圆C的方程为.
（2）设，
联立，得，
则，解得，
且，
所以，
点到直线的距离为，

则，解得或，满足，
则或.
18．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由右顶点为，得，
由双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直，
得，即，∴，
∴双曲线C的方程为.
（2）

由（）可知，右焦点F的坐标为（2，0），
由题意可知直线的斜率存在且不为0，∴，
设，，则，
由（）可知，双曲线的渐近线方程为，
又直线与双曲线的右支交于A，B两点，则，即，且直线过定点作出图像如上，
联立消去得，
则，得，
，，则，
又，∴，，
∴，
∴，又，有公共点F，
∴B，F，D三点共线，∴直线过点F
19．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，线段的长为
【详解】（1）取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
可得，，
设平面的一个法向量为，则，
设，则，，可得，
又因为，则，可得.
且平面，所以平面.
（2）因为，
设平面的一个法向量为，则，
设，则，，可得，
设平面与平面的夹角为，
则，
可得，
所以平面与平面夹角正弦值为.
（3）设，
则，可得，
因为平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
整理得，解得或，
当时，，则；
当时，，则；