湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高三上学期质量检测（五）（1月月考） 数学试题及参考答案

这是一份湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高三上学期质量检测（五）（1月月考） 数学试题及参考答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数（其中i为虚数单位，）．若是纯虚数，则（ ）
A．B．C．1D．4
2.已知是函数的导函数，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
3.已知，则（ ）
A．B．C．D．
4.设随机变量，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有3名男生和2名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不同的人物角色扮演方式共有（ ）
A．6种B．12种C．24种D．48种
6.双曲线上存在四点，使得四边形是正方形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若关于的方程在上恰有一个实数根，则（ ）
A．B．C．D．2
8．等差数列前n项的和为，已知，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．下列关于说法正确的是（ ）
A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B．某人射击时命中的概率为，此人射击三次命中的次数服从两点分布
C．小赵．小钱．小孙．小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则
D．抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，，则事件A，独立
10．如图，的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若点在外，，，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．四边形面积的最大值为D．四边形面积无最大值
11．已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为.点满足，，过点作平面行于和，平面分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（ ）
A．四边形的周长为定值
B．四棱锥的体积的最大值为
C．当时，平面截球所得截面的周长为
D．当时，将正四体绕旋转后与原四面体的公共部分体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．集合，，则集合的子集个数为 ．
13．已知是单调递减的等比数列，其前项和为，若，则 ．
14．已知正实数满足，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．在中，内角的对边分别为.若.
(1)若，求边上的中线的长；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
16．在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点.
(1)在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由；
(2)请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值
；.
17．在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进博会的“明星展品”．体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%，重量仅约2克，拥有强大的电池续航能力，配合兼容1.5T/3.0T全身核磁共振扫描检查等创新功能．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，连续生成4次，把4次的数字相加，若和小于3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．
(1)求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X的分布列；
(2)当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设表示事件“第n天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理水平，将给予该企业一定的奖励资金，否则将没有该项奖励资金．请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由．
18．设，已知函数.
(1)若，判断在区间上的单调性；
(2)若，判断的零点个数，并给出证明；
(3)若，求正整数a的值.
19．由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆“相似”，并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比.已知椭圆，椭圆与的焦点在同一坐标轴上，且经过点，并与椭圆相似.
(1)求椭圆的方程.
(2)若直线与椭圆相切，且与椭圆交于两点，求证：的面积是定值.
(3)过点作斜率为的直线与椭圆交于两点（在的上方），直线与椭圆交于两点（S在的上方）.是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
襄阳四中2026届高三上学期质量检测（五）参考答案
11．ABD【详解】对于边长为2的正方体，则ABCD为棱长为的正四面体，则球心O即为正方体的中心，连接，设，
∵，，则为平行四边形，
∴，又∵平面，平面，
∴平面，又∵平面，，平面，
∴平面平面，对A：如图1，
∵平面平面，平面平面，平面平面，
∴，则，即，
同理可得： ，，
，，
∴四边形EMGH的周长（定值），A正确；
对B：如图1，由A可知：，，
，，
∵为正方形，则，∴为矩形，根据平行可得：点A到平面的距离，故四棱锥的体积，
则，∵，则当时，则，在上单调递增，
当时，则，在上单调递减，∴当时，取到最大值，
故四棱锥的体积的最大值为，B正确；
对C：正四面体ABCD的外接球即为正方体的外接球，其半径，
设平面截球O所得截面的圆心为，半径为，时，，平面过外接球球心，
平面截球所得截面圆半径为，截面圆周长为，C错误；
对D：如图2，将正四面体ABCD绕EF旋转后得到正四面体，
设，
∵，则分别为各面的中心，
∴两个正四面体的公共部分为，为两个全等的正四棱锥组合而成，
根据正方体可得：，正四棱锥的高为，
故公共部分的体积，D正确；故选：BD.
12．4 13．60
14．【详解】变形为，
则，即，
令，则恒成立，则，单调递增，
又，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2.故选：A
15．(1)(2)【详解】（1）在中，由于，
所以，结合题意得，即故的三边长分别为，
所以，在中，，故．
（2）由题意知：且．要使是锐角三角形，只要．
故，解得：，又，由，得，所以，
故的取值范围是
16．【详解】（1）在直线上存在一点，使得平面平面，理由如下：
连接交于点，连接，取的中点，连接，
又平面,平面，平面平面，故,O为的中点，点为中点，则，
，故四边形为平行四边形，则，
平面，平面，故平面；又点为中点，为的中点，故,平面，平面，故平面，平面，故平面平面，
（2）选择，四边形为菱形，,
则为正三角形，，故在中，，由余弦定理知，
取中点，连接，在中，
则，所以，因为是正三角形，所以，
因为平面，所以平面，平面，又平面，故平面，以为原点分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，,
则，设平面的法向量为，
则，即，令，则，故，
,设平面的法向量为，则，即，
令，得平面的法向量，故，
由于平面与平面所成二面角为，则，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为；
若选：由（1）可知，，取中点，连接，
在中，，则，所以，因为是正三角形，所以，又平面，则平面，平面，故；因为是正三角形，所以，
因为平面，所以平面，
以为原点分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，,
则，
设平面的法向量为，则，即，令，则，故，
,设平面的法向量为，
则，即，令，得平面的法向量，
故，由于平面与平面所成二面角为，则，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为；
17．【详解】（1）设计算机4次生成的数字之和为，则，
则，，
的可能取值为，则，，
，所以的分布列为
（2）设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，
表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，由全概率公式可知
则，，即，，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，则，所以恒成立，所以该企业具有一定的智能化管理水平，能拿到奖金.
18．【详解】（1），则，所以.
当时，，，所以在区间上单调递增．
（2），则，，
当时，，故在上单调递增．
又，
故在上存在唯一零点．当时，恒成立．
综上，若有且仅有1个零点．
（3）设，
①若，令，令，解得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，又，
所以，，即．同理，令，令，解得．
当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以，，即．
，
所以满足题意．
②若，令，则，记，
由得故在上单调递增，又，
所以，时，在上单调递增．
又，所以，所以不合题意．
③若，当，
又，所以，
所以不合题意．综上，正整数a的值为1．
19．【详解】（1）由题意可知，“特征三角形”是等腰三角形，且腰长为，底边长为，
那么两个“特征三角形”相似比即两椭圆的长半轴长之比或者焦距之比，从而这两个椭圆的离心率相等.由椭圆的离心率为，
可知过点且与椭圆相似的椭圆的离心率，
设所求椭圆为，代入点得：
又由，可得，②
联立两式解得：，所以所求椭圆方程为：.
（2）当直线的斜率不存在时，又与椭圆相切，则切线方程为，
由对称性不妨取，代入椭圆，可得两交点坐标为，
此时，故；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，代入椭圆，消去，可得，
因直线与椭圆相切，可得：，整理得.
再将代入，消去，可得，
整理得，因，
将代入，化简得，
设，则，故
，
将代入上式，化简得，
又点到直线的距离为，
则为定值.
（3）假设直线存在；设直线的方程为：，且.
由消去，可得，则有，
又由消去，可得，则有，
可得，即中点的横坐标相同，
又因为四点共线，所以的中点即为的中点，
因，则，化简得（*），
因，
，
代入（*），可得，化简得，解得，符合题意.故存在直线满足条件.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
A
C
C
A
D
ACD
AB
题号
11









答案
ABD









1
2
3