四川省绵阳市2026届高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份四川省绵阳市2026届高三数学上学期10月月考试题含解析，共22页。
2．请考生将试卷上的答案全部作答在答题卡上，然后请考生遵循答题卡填涂规则以保证评分
人员能够准确评分．
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 若全集 ， ， ，则集合 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题首先可以根据题意中给出的条件依次写出 、 、 以及
，然后将得出的集合与集合 进行对比即可得出结果．
【详解】由题意可知： ， ，
， ，
故选 D．
【点睛】本题考查集合的运算，主要考查集合的运算中的交集、并集以及补集，考查计算能力，体现了基
础性，是简单题．
2. i 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】化简复数，求出其在复平面内的对应点，即可判断.
【详解】复数 在复平面内对应点 ，位于第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，复数的几何意义，属于基础题.
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3. 已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 即 ，故 ，
故选：D.
4. 设函数 f（x）=lg2x+2x-3，则函数 f（x）的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为函数 ，所以 f（1）= =﹣1＜0，f（2）= =2
＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．
故选：B．
点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；
二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要
条件；
三是函数 f(x)在[a，b]上单调且 f(a)f(b)＜0，则 f(x)在[a，b]上只有一个零点.
5. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点 是它们的一个交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心
率分别为 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 设 椭 圆 的 长 半 轴 为 ， 双 曲 线 的 实 半 轴 长 为 ， 由 椭 圆 及 双 曲 线 的 定 义 可 得
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， 联 立 可 得 ， 然 后 由 余 弦 定 理 得
，由基本不等式求解即可.
【详解】如图，
设椭圆的长半轴为 ，双曲线的实半轴长为 ，由对称性可设点 在第一象限，
则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，
所以 ，又 ，
在 中，由余弦定理得： ，
化简得： ，得到 ，从而有 ，
整理得 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：A.
6. 一只蚂蚁从点 出发沿着水平面的网格线爬行到点 ，再由点 沿着长方体的棱爬行至顶点 处，则它
可以爬行的不同最短路径条数有（ ）
A. 40 B. 60 C. 80 D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】先求 到 的最短路径条数，再求 到 处的最短路径条数，由分步计数原理求爬行的不同最短
路径条数.
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【详解】从 出发沿着水平面的网格线爬行到 ，需要走五段路，其中三纵二横，最短路径有 条，
由点 沿着长方体的棱爬行至顶点 处，点 处出发有 3 条路径，爬过一条棱后又各有 2 条最短路径到 处，
最短路径有 条，
所以从 到 可以爬行的不同最短路径条数有 条.
故选：B.
7. 记 为数列 的前 n 项和.若 ，则（ ）
A. 有最大项， 有最大项
B. 有最大项， 有最小项
C. 有最小项， 有最大项
D. 有最小项， 有最小项
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次函数的性质可判断得 有最大项，再分析 的正负情况可判断得 有最大项，从而得
解.
详解】根据题意， ，
对于二次函数， ，其开口向下，对称轴为 ，
则当 时， 取得最大值，
所以当 时， 有最大值为 16，所以 有最大项.
又由 可解得 ，
则当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以当 或 8 时， 最大，
则 有最大项， 有最大项.
故选：A.
8. 函数 的两个极值点 满足 ，则 的最大值为
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（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据极值点为导函数零点，整理变形得 ，然后令 代入后表示出 ，代入目标
式转化为关于 的函数，利用导数求最值即可.
【详解】由题知， 的定义域为 ， ，
因为 有两个极值点 ，所以 ，则 ①，
令 ，因为 ，所以 ，
将 代入①整理可得 ，
所以 ，
令 ，则 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 .
故选：D
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知直线 和直线 ，下列说法正确的是（ ）
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A. 始终过定点 B. 若 ，则 或
C. 若 ，则 或 2 D. 当 时， 始终不过第三象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】由直线系方程求出直线所过定点判定 A 与 D；由两直线平行直与系数的关系列式求得 值判断 B；
由两直线垂直与系数的关系列式求得 值判断 C．
【详解】对于 A， ，由 解得 ，所以
始终过定点 ，故 A 正确；
对于 B，若 ，则有 ，解得 ，故 B 错误；
对于 C，若 ，则有 ，得 或 2，故 C 正确；
对于 D， 始终过 ，因为 ，所以直线斜率 ，不会过第三象限，故 D 正确．
故选：ACD．
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 一个函数的极大值一定大于极小值
B. 曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点
C. 函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到
D. 若函数 在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足
【答案】ACD
【解析】
【分析】举例判断 AB 的正确性，对 CD 根据函数的有关性质可直接判断.
【详解】对 A 选项：函数的极值是局部性质，极大值与极小值的大小不定，
比如 ，在 处有极大值 ，在 处有极小值 ，极大值小于极小值，故 A 错误；
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对 B 选项：函数 在 处的切线为 ，与 有无数个公共点，故 B 正确；
对 C 选项：函数在闭区间上的最大值，有可能在极大值点出取得，也由可能是在区间的端点处取得，故 C
错误；
对 D 选项：函数 在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 ，故 D 错误.
故选：ACD
11. 已知函数 在区间 上单调，且满足 有
下列结论正确的有( )
A.
B. 若 ，则函数 的最小正周期为 ；
C. 关于 x 的方程 在区间 上最多有 4 个不相等的实数解
D. 若函数 在区间 上恰有 5 个零点，则 取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A： 在 上单调， ， ，故 ；
B：求出区间 右端点 关于 的对称点 ，由题可知 在 上单调，
据此可求出 f(x)周期的范围，从而求出ω的范围.再根据 知 是 f(x)的对称轴，根据
对称轴和对称中心距离为周期的 倍即可求出ω，从而求出其周期；
C：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；
D：由 知， 是函数 在区间 ， 上的第 1 个零点，而 在区间
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上恰有 5 个零点，则 ，据此即可求ω的范围.
【详解】A，∵ ，∴ 在 上单调，又 ，
，∴ ，故 A 正确；
B，区间 右端点 关于 的对称点为 ，∵ ，f(x)在 上单
调，∴根据正弦函数图像特征可知 在 上单调，∴ 为 的最
小正周期 ，即 3，又 ，∴ .若 ，则 的图象关于直线 对
称，结合 ，得 ，即 ，故 k＝0
， ，故 B 正确.
C，由 ，得 ，∴ 在区间 上最多有 3 个完整的周期，而 在 1 个完整周
期内只有 1 个解，故关于 的方程 在区间 上最多有 3 个不相等的实数解，故 C 错误.
D，由 知， 是函数 在区间 ， 上的第 1 个零点，而 在区间
上恰有 5 个零点，则 ，结合 ，得 ，又 ，∴
的取值范围为 ，故 D 正确.
故选：ABD.
【点睛】本题综合考察 的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关
键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：
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(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离
为周期的 倍.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知单位向量 , 的夹角为 45°， 与 垂直，则 k=__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数 k 的值.
【详解】由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力.
13. 如图，长方体 的体积是 120，E 为 的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是_____.
【答案】10.
【解析】
【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.
【详解】因为长方体 的体积为 120，
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所以 ，
因为 为 的中点，
所以 ，
由长方体的性质知 底面 ，
所以 是三棱锥 的底面 上的高，
所以三棱锥 的体积 .
【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整
体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.
14. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与 C 交于 M，N 两点，设 的
内切圆圆心为 ，外接圆圆心为 ，则 的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得 的坐标，可得 在直线 上，由 推得
，进而求得 ，再由对称性判断点 在 轴上，利用点 到直线 的距离
等于该点到直线 的距离列方程，求出 ，即得 ，由两点间距离公式即可求得 .
【详解】
由题意可得 ，由 ，解得 和 ，
即 ，易知直线 经过点 ，
由 可得 ，
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故 的外接圆圆心 为 的中点，即 ，
又 的内切圆圆心为 ，则由 平分 ，故点 在 轴上，不妨设 ，
易得直线 的方程为 ，即 ，
则点 到直线 的距离等于该点到直线 的距离，
即 ，解得 或 （不合题意，舍去），故得 ，
故 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ，集合 .
（1）求集合 ；
（2）若 是 的必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式即可求解；
（2）由 是 的必要条件，所以 ，解出集合 ，求得实数 的取值范围即
可.
【小问 1 详解】
因为 ， ，所以 ，
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所以 ，所以 .
【小问 2 详解】
若 是 的必要条件，所以 ，
，
所以 ，解得 .
所以实数 的取值范围是 .
16. 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，记 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)见详解；(2) .
【解析】
【分析】(1)先求 的导数，再根据 的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论 的范围，利用函数单调
性进行最大值和最小值的判断，最终求得 的取值范围.
【详解】(1)对 求导得 .所以有
当 时， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增；
当 时， 区间上单调递增；
当 时， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增.
(2)
若 ， 在区间 单调递减，在区间 单调递增，所以区间 上最小值为 .而
，故所以区间 上最大值为 .
所以 ，设函数 ，求导
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当 时 从而 单调递减.而 ，所以 .即
的取值范围是 .
若 ， 在区间 单调递减，在区间 单调递增，所以区间 上最小值为 而
，故所以区间 上最大值为 .
所以 ，而 ，所以 .即 的
取值范围是 .
综上得 取值范围是 .
【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最
大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.
17. 如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形性质得 PO 垂直 AC，再通过计算，根据勾股定理得 PO 垂直 OB，最后根据线
面垂直判定定理得结论；
（2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面 PAM 一个法向量，利用
向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得 M 坐标，再利用
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向量数量积求得向量 PC 与平面 PAM 法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．
【详解】（1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 ．
连结 ．
因为 ，所以 为等腰直角三角形，
且 ，由 知 ．
由 知， 平面 ．
（2）［方法一］：【通性通法】向量法
如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ．
由已知得
取平面 的法向量 ．
设 ，则 ．
设平面 的法向量为 ．
由 得 ，
可取
所以 ．由已知得 ．
所以 ．解得 (舍去)， ．
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所以 ．
又 ，所以 ．
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
［方法二］：三垂线＋等积法
由（1）知 平面 ，可得平面 平面 ．如图 5，在平面 内作 ，垂足为
N，则 平面 ．在平面 内作 ，垂足为 F，联结 ，则 ，故
为二面角 的平面角，即 ．
设 ，则 ，在 中， ．在 中，由
，得 ，则 ．设点 C 到平面 的距离为 h，由
，得 ，解得 ，则 与平面 所成角的正弦值为
．
［方法三］：三垂线＋线面角定义法
由（1）知 平面 ，可得平面 平面 ．如图 6，在平面 内作 ，垂足为
N，则 平面 ．在平面 内作 ，垂足为 F，联结 ，则 ，故
为二面角 的平面角，即 ．同解法 1 可得 ．
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在 中，过 N 作 ，在 中，过 N 作 ，垂足为 G，联结 ．在
中， ．因为 ，所以 ．
由 平面 ，可得平面 平面 ，交线为 ．在平面 内，由 ，可
得 平面 ，则 为直线 与平面 所成的角．
设 ，则 ，又 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值
为 ．
［方法四］：【最优解】定义法
如图 7，取 的中点 H，联结 ，则 ．过 C 作平面 的垂线，垂足记为 T（垂足 T 在平
面 内）．联结 ，则 即为二面角 的平面角，即 ，得 ．
联结 ，则 为直线 与平面 所成的角．在 中， ，所以
．
【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，
是该类型题的通性通法；
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方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几
何法解决空间角的基本手段；
方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，
是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦；
方法四：直接根据二面角 定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解．
18. 已知①如图，长为 ，宽为 矩形 ，以 ､ 为焦点的椭圆 恰好过 两
点
②设圆 的圆心为 ，直线 过点 ，且与 轴不重合，直线 交圆 于 两点，
过点 作 的平行线交 于 ，判断点 的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆 的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆 的标准方程，过椭圆 右焦点 作与坐标轴都不垂直的直线 交椭圆 两点，
在 轴上是否存在点 ，使得 为定值.
【答案】（1） ；（2）存在点 ，使得 为定值.
【解析】
【分析】（1）若选条件①：根据题意得出 ，通过 求出 和 ，从而求得椭圆
的标准方程；
若选条件②：根据圆的标准方程得出圆心和半径，从而得出 ，再根据 得出
，所以 ，再根据椭圆的定义可知点 的轨迹为以
为焦点的椭圆，从而可求出椭圆 的标准方程；
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（2）假设 轴上存在点 ，使得 为定值，设直线 的方程为： ，
，联立方程组并得出韦达定理 ，再根据向量的坐标
运算求得 =定值，从而得出
，即可求出 的值，从而得出结论.
【详解】解：（1）若选条件①：
由题可知， ， ， ，
则 ，解得： ，
所以椭圆 的标准方程为： ；
若选条件②：
由于圆 的圆心为 ，则 ，半径 ，
都在圆上，则 ，所以 为等腰三角形，
而 ，则 ，
所以 为等腰三角形，则 ，
,
，其中 ，
由椭圆的定义可知，点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，
可得 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为： ；
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（2）由题可知，假设 轴上存在点 ，使得 为定值，
由于直线 过椭圆 右焦点 ，
可设直线 的方程为： ，且设 ，
由 ，消去 得： ，
，
，
，
=定值，
，
解得： ，
所以在 轴上存在点 ，使得 为定值.
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19. 已知一个口袋有 m 个白球，n 个黑球（m,n ,n 2）,这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球
随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为 1,2,3，……，m+n 的抽屉内，其中第 k 次取球放入编号为 k 的
抽屉（k=1,2,3，……，m+n）.
（1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 p;
（2）随机变量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是 x 的数学期望，证明
【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据条件先确定总事件数为 ，而编号为 2 的抽屉内放的是黑球的事件数为
，最后根据古典概型的概率公式即可求概率；（2）先确定最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数
为 ，所对应的概率 ，再根据数学期望公式得 ，利用性质 ，进行放缩变形：
，最后利用组合数性质 化简，可得结论．
试题解析：解:(1) 编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 为: .
(2) 随机变量 X 的概率分布为:
X … …
P … …
随机变量 X 的期望为：
.
所以
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.
点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互
斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值
时的概率；
（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的
概率是否正确；
（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的
随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 )，则此随机变量的期望
可直接利用这种典型分布的期望公式( )求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，
可加快解题速度．
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