专题06 直角三角形的边角关系全章13大常考题型汇总2026年九年级数学（人教版）上学期（期末复习专项练习）（含答案）

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题型1 锐角三角函数的概念辨析（常考点）
题型8 同角与互余两角三角函数的关系（重点）
题型2 锐角三角函数的求值（常考点）
题型9 方位角问题(解直角三角形的应用)（难点）
题型3 锐角三角函数的边长（重点）
题型10 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)（难点）
题型4 特殊三角形的三角函数（重点）
题型11 坡度坡比问题(解直角三角形的应用）（难点）
题型5 三角函数的计算（重点）
题型12 其他问题（解直角三角形的应用）（难点）
题型6 解直角三角形的相关计算（重点）
题型13 三角函数综合（难点）
题型7 解非直角三角形（重点）
题型一 锐角三角函数的概念辨析（共5小题）
1．（24-25九年级上·湖南常德·期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（ ）
A．都扩大到原来的倍B．都缩小到原来的
C．没有变化D．只有发生变化
【答案】C
【知识点】正切的概念辨析、余弦的概念辨析、正弦的概念辨析
【分析】本题主要考查了锐角三角形函数值的知识点，解题的关键理解锐角三角函数的概念．
根据锐角三角函数的概念：锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值，求解即可．
【详解】解：∵锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值，
∴的斜边和直角边都扩大到原来的倍，锐角的三角函数值不变，
故选：C．
2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）在中，，若的三边都放大倍，则的值（ ）
A．缩小2倍B．放大2倍C．不变D．无法确定
【答案】C
【知识点】求角的余弦值
【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．直接利用锐角的余弦的定义求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵的三边都放大2倍，
∴的邻边与斜边的比不变，
∴的值不变，
故选：C．
3．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（ ）
A．都缩小为原来的B．都扩大为原来的2倍
C．都没有变化D．不能确定
【答案】C
【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析
【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似．根据一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后的度数没有发生变化，可以判断是否变化．
【详解】解：一个的三边的长都扩大为原来的2倍，
的度数没有发生变化，
锐角的正弦值、余弦值没有变化，
故选：C
4．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】余弦的概念辨析、正切的概念辨析
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项正确，符合题意；
故选：．
5．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）已知锐角满足，则 ．
【答案】35
【知识点】余弦的概念辨析、正弦的概念辨析、求一个角的余角
【分析】本题考查正弦余弦关系．根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴，即：，
故答案为：35．
题型二 锐角三角函数的求值（共10小题）
6．（23-24九年级上·吉林四平·期末）如图，在中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】正弦的概念辨析
【分析】本题主要考查了三角函数的正弦值，根据正弦值的定义即可得出答案，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键．
【详解】解：在中，，，
故选：C．
7．（24-25九年级上·上海虹口·期末）在中，，如果，，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求角的正切值
【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切等于对边与邻边的比是解题的关键；
如图，根据代入求值即可．
【详解】解：如图所示，
∴，
故选：A．
8．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）中，若，，下列各式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，求出然后根据，的三角函数值逐项判断解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，，，
故选：D．
9．（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（ ）．
A．B．C．D．不确定
【答案】A
【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出，再根据三角函数的定义分别求出的四个三角函数值，进而即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，如图所示：
由勾股定理得：，
∴，，，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
10．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是，且与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则的值为 ．
【答案】
【知识点】求角的正切值、求角的正弦值、用勾股定理解三角形
【分析】过点P作轴于点A，根据正切定义计算m，再利用勾股定理，正弦定义解答即可．
本题考查了角的正切，正弦和勾股定理，熟练掌握三角函数和定理是解题的关键．
【详解】解：过点P作轴于点A，
根据P是第一象限内的点，其坐标是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值
【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键．
由交于点E，得，因为，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：交于点E，
，
，
，
，
故答案为：．
12．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则 等于 ．
【答案】
【知识点】求角的正切值
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．根据锐角三角函数的定义即可求得答案．
【详解】解：过点C作
由题意可得，
故答案为：．
13．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，．的平分线交于点，若，求的值．
【答案】
【知识点】求角的余弦值、用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理
【分析】此题考查了求余弦值，角平分线的性质定理，勾股定理，
过点D作交于点E，首先得到，然后根据勾股定理求出，然后根据余弦的概念求解即可．
【详解】如图所示，过点D作交于点E
∵在中，，的平分线交于点，
∴
∵
∴
∴
∴．
14．（23-24九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中画，使；
(2)在图②中画，使；
(3)在图③中画，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】正切的概念辨析、求角的正切值
【分析】本题考查锐角三角函数中正切值，掌握正切值等于对边与邻边的比是关键；
（1）要使，则的对边要满足且即可；
（2）要使，则的对边要满足且即可；
（3）要使，则的对边要满足且即可．
【详解】（1）解：如图1，即为所求．
（2）如图2，即为所求．
（3）如图，即为所求．
15．（24-25九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使．
(2)在图②中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使．
(3)在图③中的的外部找到一个格点，作钝角，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正切值、格点作图题
【分析】本题考查网格中基本作图，涉及锐角三角函数、勾股定理，理解网格特点，正确作图是解答的关键．
（1）根据网格特点，找格点D，可得，；
（2）根据网格特点，找格点E，可得，，则；
（3）根据网格特点，找格点F（如图中、、、），可得是钝角，且．
【详解】（1）解：如图，点D、即为所求作：
（2）解：如图，点E、即为所求作：
（3）解：如图，点F(如)即为所求作：（答案不唯一，、、也可以）
题型三 锐角三角函数的边长（共9小题）
16．（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在等腰中，，，则点B到直线的距离是（ ）
A．5B．C．3D．
【答案】B
【知识点】已知正弦值求边长
【分析】本题考查了解直角三角形，过点B作于点D，根据题意得，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点B作于点D，
∵，，
∴，
∴，
即点B到直线的距离是．
故答案为：B．
17．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（ ）
A．B．5C．4D．
【答案】C
【知识点】已知余弦求边长
【分析】本题考查了根据三角函数求线段长.
根据，可得，再把的长代入可以计算出的长．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
18．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，是用12个相似的直角三角形（点的对应点是点）组成的图案，若，则的长是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【知识点】已知正切值求边长、利用相似三角形的性质求解、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，含角直角三角形，相似三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据题意得出，得到，进而得出，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，
，，
,
，
，
故选：D ．
19．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）在中，，，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】已知正弦值求边长
【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义即可解决问题．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：6．
20．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ．
【答案】
【知识点】已知正切值求边长
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
21．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】已知余弦求边长
【分析】本题考查了解直角三角形，利用余弦的定义先求出，进而求出即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
22．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，已知，在中，，，求的值．
【答案】12
【知识点】三线合一、已知余弦求边长
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识；由等腰三角形性质得；由余弦函数可求得的长，即可求得的值．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即的值为12．
23．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，，点D在上，点E在上，过点E作交边于点F，连接并延长交的延长线于点G，，且，求的长．
【答案】4
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、已知正切值求边长
【分析】本题考查等角的余角相等，正切的定义，根据同角的余角相等得到，即可得到，然后根据正切的定义求出长即可．
【详解】解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，即，
解得，
∴的长为4．
24．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某数学兴趣小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示：把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过两栋建筑物的顶部和．示意图中点，，，，，，均在同一平面内，点在上，．测得．．请求出建筑物的高度．
【答案】
【知识点】已知正切值求边长
【分析】本题考查了锐角三角函数的应用．由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可．
【详解】如图，由题意得，，，
，，
，
，
，
，
即，
设，可得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：两栋楼的高度为．
题型四 特殊三角形的三角函数（共5小题）
25．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）计算的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，即可解答，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
26．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列三角函数值是有理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键；
分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可．
【详解】解：
A、，是有理数，故符合题意；
B、，是无理数，故不符合题意；
C、，是无理数，故不符合题意；
D、，是无理数，故不符合题意；
故选：A
27．（24-25九年级上·福建莆田·期末） ．
【答案】1
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，在中考中经常出现，需要掌握特殊角的三角函数值．
根据特殊角的三角函数值计算．
【详解】解：，
，
故答案为：1．
28．（24-25九年级上·广东梅州·期末）计算的值等于 ．
【答案】
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】
．
故答案为：．
29．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，延长至点，连接．
(1)求的值；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）作于点，利用三线合一性质得到，利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义即可求解；
（2）利用正切的定义可得，求出的长，再利用即可求解．
【详解】（1）解：如图，作于点，
，，
，，
，
在中，．
（2）解：在中，，
，
，
．
题型五 三角函数的计算（共9小题）
30．（23-24九年级下·全国·期末）的值是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及其计算．解题的关键在于准确记忆常见角度（如、、）的正弦、余弦值，再代入原式，然后进行化简计算即可．
【详解】解：根据特殊角的三角函数值代入计算：
．
故选：C．
31．（24-25九年级上·安徽六安·期末）在中，，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【知识点】求角的正切值、根据特殊角三角函数值求角的度数
【分析】题目考查了特殊角的三角函数值和直角三角形的性质，关键是掌握特殊三角函数值．因为，可得，所以，即为．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
32．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如右图是课本上介绍的一种科学计算器，用该计算器依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A．2～3B．3～4C．4～5D．5～6
【答案】B
【知识点】特殊三角形的三角函数、用计算器求锐角三角函数值、无理数的大小估算
【分析】先计算再估算的范围，即可得到答案．本题考查的是计算器的使用，求解特殊角的三角函数值，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
∵，
∴，
故选：B
33．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）计算：= ．
【答案】1
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
根据角的三角函数值计算．
【详解】解：

＝1．
故答案为：1．
34．（23-24九年级上·山东潍坊·期末）用教材中的计算器按下列顺序依次按键：，屏幕上显示 ．
【答案】
【知识点】用计算器求锐角三角函数值
【分析】本题考查了计算器的基础知识，解题的关键是分析出按键中所求的问题．根据按键的显示，求的是余弦是的角的度数，按余弦的值写出度数即可．
【详解】解：∵余弦是的角的度数是，
故答案为：．
35．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在中，，那么锐角的度数是 ．
【答案】/30度
【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据，可得出的度数．
【详解】解：∵，为锐角，，
∴．
故答案为：．
36．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）．
【答案】直角
【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状
【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴、，
∴在中，，
∴是直角三角形，
故答案为：直角．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，理解绝对值和偶次幂的非负性，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
37．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）（1）计算，
（2）已知是锐角，且，求．
【答案】（1）；（2）
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、根据特殊角三角函数值求角的度数
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，已知三角函数值求解锐角的大小，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键．
（1）把特殊角的三角函数值代入代数式进行计算即可；
（2）利用锐角的正弦求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵是锐角，且，，
∴，
∴．
38．（25-26九年级上·全国·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，乘方运算等知识，熟知特殊角的三角函数值是解题关键．
（1）先计算出特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解；
（2）先计算乘方、特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
题型六 解直角三角形的相关计算（共3小题）
39．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，到达点D位置，过点D作交于点H，，
则，
∴，
∴，
则小球下降的高度是，
故选：A．
40．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）已知中，，，，则等于 ．
【答案】5
【知识点】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，正确计算是解题的关键．
根据正切的定义即可求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
故答案为：
41．（24-25九年级上·湖南永州·期末）我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心．
(1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．
(2)如图2，在中，，，是内一点，且．
①求证：点是的相似心；
②求的值．
【答案】(1)A
(2)①见解析；②
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）取格点、，连接、、、，则，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案．
（2）①由，，得，由，求得，由，，可知与不相似，与不相似，推导出，进而证明，然后问题可求证．
②因为，所以，由相似三角形的性质得，则，所以，然后问题可求解．
【详解】（1）解：如图1，取格点、，连接、、、，
∵在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，
∴，，，
，，
，，
∴，
∴，
，
∴与中的最大角，与中的最大角，
∴与不相似，与不相似，
故答案为：A．
（2）解：①证明：如图2，∵，，
，
∵，
∴，
∴与中的最大角，与中的最大角，
∴与不相似，与不相似，
，
∴，
∴，
∴点是的相似心．
②解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴的值为．
【点睛】此题重点考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、新定义问题的求角等知识与方法，适当选择相似三角形的判定定理证明图1中的及图2中的是解题的关键．
题型七 解非直角三角形（共4小题）
42．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ．
【答案】/
【知识点】解非直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解．
【详解】解：如图所示，作于，
设，
，
，
，，
，
即，
解得：，
在中，，
即：，
，
，
故答案为：．
43．（22-23九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】解非直角三角形
【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键．
44．（22-23九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，，求的长．
【答案】14
【知识点】解非直角三角形
【分析】过点A作，构造两个直角三角形，再利用三角函数解直角三角形即可求得的长度．
【详解】解：过点A作，垂足为
∵在中，，
∴
∴
∴
在中，，
，
【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握利用三角函数求线段长度的方法．
45．（22-23九年级上·江苏·期末）已知中，．
(1)如图1，若，则________（结果保留根号）
(2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【知识点】解非直角三角形、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）解，即可求解；
（2）过点作于点，解，即可求解．
【详解】（1）解：∵，．
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：如图所示，过点作于点，
∵中，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键．
题型八 同角与互余两角三角函数的关系（共6小题）
46．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】利用同角三角函数关系求值
【分析】把代入原式，转换为关于的式子，约分即可．本题考查了同角三角函数关系式，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：把代入原式，
则原式．
故选：C．
47．（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于这个锐角的余角的余弦值．
利用互余两角的三角函数关系，得出，进而求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：B．
48．（24-25九年级上·浙江杭州·期中） （选填“”或“”或“”）．
【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系、已知角度比较三角函数值的大小
【分析】本题主要考查了正弦与余弦的关系，三角函数比较大小．互余的两个角中，一个角的余弦值等于另一个角的正弦值，且锐角的度数越大正弦值越大，据此可得答案．
【详解】解：∵，且，
∴，
故答案为：．
49．（24-25九年级上·湖南常德·期末）计算：
【答案】0
【知识点】利用同角三角函数关系求值、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，同角三角函数关系，熟练掌握特殊角三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值以及同角三角函数关系进行计算即可．
【详解】解：
50．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】利用同角三角函数关系求值
【分析】本题考查同角三角函数的关系的应用，解题的关键是掌握：，据此即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵为锐角，
∴，
∴．
故答案为：．
51．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，是上一点，过点作，垂足为．连接并延长交于点．

(1)求证：；
(2)若为的中点，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】解直角三角形的相关计算、互余两角三角函数的关系、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，互余两角三角函数的关系，勾股定理．
（1）根据题意得到，证明，即可得出结论；
（2）由（1）得，根据为的中点，推出，易证，得到，由，得到，设，利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
设，
，
，
．
题型九 方位角问题(解直角三角形的应用)（共5小题）
52．（24-25九年级上·山东烟台·期末）定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（ ）
A．千米B．千米
C．千米D．4.5千米
【答案】A
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用（方向角问题），添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
过点作于点，则，先求出、和，然后求出、和，最后根据即可得解，
【详解】解：如图，过点作于点，
，
点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
故选：．
53．（24-25九年级上·河南商丘·期末）某时刻海上点处有一客轮，测得灯塔位于客轮的北偏东方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西方向航行小时到达处，那么 ．
【答案】/0.5
【知识点】求角的正切值、方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】根据题意知道北偏东与北偏西成直角，利用正切的定义求值即可．
【详解】：如图：
灯塔A位于客轮P的北偏东方向，且相距20海里，
，
∵客轮以60海里／小时的速度沿北偏西方向航行小时到达B处，
，
，
故答案为：．
54．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西方向，求轮船航行的路程为 海里．
【答案】
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
过点A作，根据方位角及三角函数即可求解．
【详解】解：如图，过点A作，
依题意可得，
∴是等腰直角三角形，（海里），
∴（海里），
在中，，
∴ （海里），
∴（海里），
故答案为： ．
55．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图①，一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东，轮船向正北方向航行后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向．
(1)______ m，______（结果保留根号) ．
(2)如图②，若轮船从B处向东航行到达点C，从点C处观测灯塔塔顶D的仰角为，则灯塔的高度是多少米？（参考数据：，，，结果精确到．）
【答案】(1)；1000
(2)53米
【知识点】用勾股定理解三角形、方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）认真审题得，，再结合勾股定理列式计算，即可作答．
（2）结合图形得，再在中，，代入数值计算，即可作答．
【详解】（1）解：由题意得，，，
，
，
，
故答案为：，1000；
（2）解：由题意得，
在中，，
答：则灯塔的高度是53米．
56．（24-25九年级上·山东烟台·期末）在公园里，同一平面内五处景点的道路分布如图所示．经测量，景点D、E均在景点C的正北方向且米，景点B在景点C的正西方向，且米，景点B在景点A的南偏东方向且米，景点D在景点A的东北方向．
(1)求道路AD的长度（结果保留根号）；
(2)若甲从景点A出发沿的路径去景点E，与此同时乙从景点B出发，沿的路径去景点E，在两人速度相同的情况下谁先到达景点E？（参考数据：，）
【答案】(1)道路的长度约为米
(2)乙先到达点E
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）利用（1）的结论可求出的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行判定即可解答．
【详解】（1）解：过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，如图所示：
由题意得：
，，
在中，，米，
（米），
（米），
米，
米，
（米），
米，
在中，，
（米），
道路的长度约为米；
（2）解：米，米，
（米），
在中，米，
（米），
在中，，
（米），
甲的路程（米），
乙的路程（米），
∵，两人速度相同，
∴乙先到达点E．
题型十 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)（共4小题）
57．（24-25九年级上·吉林长春·期末）南湖大桥是长春的重要桥梁，某同学在校外实践活动中对此开展测量活动，在桥外点测得大桥主架与水面的交汇点的俯角为，大桥主架的顶端的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高为（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；利用三角函数把和用含的代数式表示出来，再根据求出结果即可．
【详解】解：，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
．
故选：C．
58．（24-25九年级上·广东河源·期末）某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：，，）
【答案】51
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；过点A作于点E，由题意得：，，，然后根据解直角三角形可进行求解．
【详解】解：过点A作于点E，如图所示：
由题意得：，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵在中，
∴，
∴；
故答案为51．
59．（24-25九年级上·广西贺州·期末）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物的高为 米．
【答案】15
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
设过点的水平线于交于点，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出．
【详解】设过点的水平线于交于点，如图，
由题意，知：四边形是矩形米，
，
在中，
在中，
，
，
解得（米），
故答案为：15．
60．（25-26九年级上·全国·期末）某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图①是悬挂巨大匾额的古塔，图②中的线段是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走，从点E处看点B，仰角，且点D到点E走了2.2米．求匾额悬挂的高度．（参考数据：，，）
【答案】匾额悬挂的高度约是3.2米
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；过点C作于点F，过点C作于点H，由题意易得，（米），（米），然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：过点C作于点F，过点C作于点H，如图所示：
则四边形是矩形，
所以，
在中，米，，
所以（米），（米），
在中，，所以，
所以，
在中，，所以，
因为，，
所以，
解得米；
答：匾额悬挂的高度约是3.2米．
题型十一 坡度坡比问题(解直角三角形的应用）（共5小题）
61．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，施工队在斜坡上栽了两棵树，它们之间的水平距离为，斜坡的坡度为，则这两棵树之间的坡面的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，勾股定理，根据坡度求出的长，再通过勾股定理即可求解，解题的关键是掌握解直角三角形的方法．
【详解】解：∵斜坡的坡度为，
∴，即，
∴，
∴，
故选：．
62．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图是某幼儿园滑梯的示意图，已知滑梯斜面的坡度，滑梯的水平宽度等于，则高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意可得：，然后根据已知易得：，从而进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
滑梯斜面的坡度，
，
，
，
故选：C．
63．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，有一斜坡，坡顶离地面的高的长为，斜坡的坡度为，现有一辆小车从A点以的速度沿爬坡，则当爬到坡顶B处时，需要时间为 ．
【答案】20
【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，
利用斜坡的坡度为求出，再利用勾股定理求，进而求解即可．
【详解】解：∵，斜坡的坡度为，坡顶离地面的高的长为，
∴，
∴，
∴，
∵小车从A点以的速度沿爬坡
∴当爬到坡顶B处时，需要时间为．
故答案为：20．
64．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即米，，天桥架空高度为6米与之间的距离为6米，若天桥两边的斜坡，的坡度均为，求人行天桥的桥面的长度．
【答案】人行天桥的桥面的长度为6米
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；作出辅助线，根据坡度比例，进行计算可得米，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点D作于点E，过点C作于点F，
由题意得：，米，
∵天桥两边的斜坡，的坡度均为，
∴,
∴米，
∵米，
∴米，
∴人行天桥的桥面的长度为6米．
65．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）下表是小明进行数学学科项目式学习的记录表，填写活动报告的内容．
请你借助小明的测量数据，求立柱的高度（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
本题过点D作于G，于H，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，进而求出，根据正切的定义求出，进而求出；
【详解】解：如图，过点D作于G，于H，
，
∴四边形为矩形，
∴，，
在中，，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
答：立柱的高度约为；
题型十二 其他问题（解直角三角形的应用）（共6小题）
66．（24-25九年级上·河南郑州·期末）商场有一个自动扶梯，倾斜角为，高为，则扶梯的长度为（ ）．
A．12B．C．6D．
【答案】A
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据倾斜角为，高为，得到扶梯的长度为，进行求解即可．
【详解】解：∵自动扶梯的倾斜角为，高为，
∴扶梯的长度为；
故选A．
67．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，要测量一条小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】C
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握解直角三角形的方法．根据正切函数可求小河宽的长度．
【详解】解：根据题意可知，
，
米，，
（米）．
故选：C．
68．（24-25九年级上·河南郑州·期末）昼漏听初发，阳光望渐分．某商店安装遮阳棚（如图①），侧面如图②所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，某时刻的太阳光线与地面的夹角（如图③），则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为 米．
【答案】
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作，过点作，则四边形和四边形是矩形，在中，利用锐角三角函数求出，，进而得出，再在中，利用锐角三角函数求出，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作，过点作，
则四边形和四边形是矩形，
，，，
在中，，，
，，
，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
69．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B，在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm．（参考数据：，，，结果精确到）
【答案】
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点B作于点D，过点C作于点E，在中，求得，即，在中，根据三角函数的定义，可求得，即得答案．
【详解】过点B作于点D，过点C作于点E，
，，
，
，
在中，，
，
，
与尺上沿的交点C在尺上的读数是．
故答案为：．
70．（24-25九年级上·安徽池州·期末）拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，下图是一种拉杆旅行箱的侧面示意图，箱体可视为矩形，其中为，为，点A到地面的距离为，旅行箱与水平面成角，求箱体的最高点C到地面的距离．
【答案】箱体的最高点C到地面的距离为．
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形．过点作交直线于点，过点作交直线于点，交地面于点，在中，利用正切函数的定义求得，推出，在中，利用正弦函数的定义求得，据此计算即可求解．
【详解】解：过点作交直线于点，过点作交直线于点，交地面于点，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴箱体的最高点C到地面的距离为．
71．（24-25九年级上·湖南永州·期末）周末，九年级学生王明和李亮两人到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为，安全链．
(1)求点到地面的距离；
(2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时，求点到地面的距离．（参考数据：，）
【答案】(1)
(2)
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意得，把数值代入，求出，故，即可作答．
（2）过点作，求出，在中，，再把数值代入进行计算，得出，则，即可作答．
【详解】（1）解：∵安全链与铅垂线夹角为，
∴
过点作
在中，，
，
∴，
，
点到地面的距离为；
（2）解：过点作，
，
，
在中，，
，
，
，
由（1）得，
，
点到地面的距离为．
题型十三 三角函数综合（共4小题）
72．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】三角函数综合
【分析】本题考查了锐角三角函数，根据是等腰的高，可得是直角三角形，根据，可以表示出的长度．
【详解】解：是等腰的高，
，
在中，，
又，
，
故选： A．
73．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点的对应点到的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【知识点】根据旋转的性质求解、三角函数综合
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据正弦函数的定义求解．
【详解】解：由旋转可得，
在中，，，
∴（米）．
故选：A．
74．（23-24九年级上·浙江金华·期末）有一长杆花艺剪如图1所示，上刀片与上把手固定在长杆上，把手杆的点G固定在上，大小不变，当手握两边时，绕着点G旋转，带动杆，杆再带动刀片杆绕固定点D旋转，且．图2是该花艺剪自然张开状态下的示意图，、都与平行，测得，，、间的距离为，当杆绕点G逆时针旋转α时，花艺剪完全闭合，点C落在边上，如图3所示，此时，且还是与平行，则 ．
【答案】
【知识点】三角函数综合、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查锐角三角函数，勾股定理，正确理解题意是解题的关键．
利用三角函数定义表示出线段长，进而结合杆两端点移动的距离始终相等列等式，化简求值即可得到答案．
【详解】解：根据题意，作出平面图形，如图所示：
∵，
由题意可知，，
在中，，
∵，
∴，
在中， ，
由图2知，、间的距离为，
则，
由题意可知，
即，
解得：，
∴在中，，
∴，
，
∴．
故答案为：．
75．（24-25九年级上·山东烟台·期末）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、三角函数综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点于H，则，，由题意可得，，，，解求出，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点E作，垂足为点H，
由题意可知： ，，
在中，
∵，
∴，
∴
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴
∴的值为1.3项目主题
测量立柱的高度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量示意图
测量说明
太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且
测量数据
的长
的长
斜坡的坡角的度数