【数学】甘肃省兰州市多校2025-2026学年高二上学期1月阶段性诊断试题（学生版+解析版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】数列的符号依次为负、正、负、正，呈现出的规律；
分子依次为1，3，5，7，，是首项为1、公差为2的等差数列，通项为；
分母依次为1，4，9，16，，即，，，，通项为；
故该数列的通项公式为：.
故选：B.
2. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 外离B. 相交C. 相切D. 内含
【答案】A
【解析】圆的圆心坐标，半径；圆的圆心坐标，半径.
圆心距：，又，
所以，故两圆外离.
故选：A.
3. 在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为底面是平行四边形，，所以是、的中点.
由向量的平行四边形法则可得，，，
所以.
故选：D.
4. 已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，
所以，设直线的方程为，可得，解得，
所以，即.
故选：C.
5. 已知在中，，若点为双曲线的两个焦点，且点在上，则的离心率为（ ）
A. 7B. C. D.
【答案】B
【解析】设，（），因为点为双曲线的两个焦点，
所以.
在中，由余弦定理得，，
即，解得，即.
因为点在双曲线上，所以，即，所以.
故双曲线的离心率为：.
故选：B.
6. 已知点到点的距离与点到直线的距离之比为，则的最大值为（ ）
A. 1B. 3C. 6D. 8
【答案】C
【解析】设点，则根据题意可得：，
整理得：，
则，
因为，所以当时，，
故选：C
7. 已知数列满足，，，若中的第项为奇数，把该项替换成，若第项为偶数，把该项替换成，得到数列，则的前100项和为（ ）
A. 1121B. 1123C. 3365D. 3367
【答案】D
【解析】已知，，，所以，，
，，，，
，
可以发现，每3项为一组，依次是“奇、奇、偶”.
若为奇数，；若为偶数，，结合的周期，每3项的为：，，，和为，
，，，和为，
，，，和为，
可见每组和为6，12，18，（等差数列，首项6，公差6，共33项）
所以前99项和为，
第100项为第34组的第1项，为奇数，故.
所以的前100项和为.
故选：D.
8. 已知在正方体中，，点满足，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，设正方体的棱长为，可得，
则，可得，所以，
又由，
设，可得，
因为，
可得，
解得，即，
又由向量，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为，所以点到的距离为，
又因为等边的边长为，所以，
所以三棱锥的体积为.
即三棱锥的体积为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】因为构成空间的一个基底，所以不共面.
选项A：若共面，则，即，
又不共面，所以（矛盾），故不共面.A符合.
选项B：若共面，则，
即，又不共面，
所以，解得，故共面.B不符合.
选项C：若共面，则，
即，又不共面，所以，
解得，故共面.C不符合.
选项D：若共面，则，
即，又不共面，所以（矛盾），故不共面. D符合.
故选：AD.
10. 记等差数列的公差为，前项和为，已知，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】ABD
【解析】作差得，，所以；
选项A，由和可知，公差，正确；
选项B，，与推导结论一致，正确；
选项C，，不成立，错误；
选项D，，，由均值不等式得，
因为，所以成立，正确.
故选：ABD.
11. 已知实数满足，则（ ）
A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 当时，的最小值为
【答案】ACD
【解析】对配方得，，
即点在以为圆心，1为半径的圆上.
选项A：设，即，
可得的最值对应直线与圆有交点时的截距最值，即圆心到直线的距离.
又，所以，即，
解得，故最小值为，选项A正确.
选项B：根据圆的位置（第一象限）可知，，，故，
表示圆上的点到原点的距离的平方，最值对应的点位于过原点与圆心的直线与圆的交点上.
故最小值为，选项B错误.
选项C：令（），则，
因此求的最小值等价于求的最大值，即求的最小值.
又表示圆上的点与原点连线的斜率，可设过原点的直线为，即.
又该直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离，即，
即，
整理得，解得.
当时，，，
即的最小值为，C选项正确.
选项D：表示圆上的点到点的距离，记为.
令（），点，即抛物线（）右半支上的点，
故原式可表示为圆上点到抛物线上点的距离.
而表示到点的距离.
所以的最小值即为圆上的点到点的距离的最小值.
又圆心到点的距离，
所以圆上的点到点的距离的最小值为，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点在平面内，的一个法向量为，则点到平面的距离为_____．
【答案】
【解析】，，，
所以.
故答案为：.
13. 在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则_____．
【答案】16
【解析】数列首项为，
通项公式为.
当时，，满足通项公式.
当时，，所以.
当时，，所以.
当时，，所以.
当时，，所以.
通过观察可知，奇数项构成公差为2的等差数列，通项公式为.
令，则，所以.
故答案为：16.
14. 已知点，点在双曲线上，记的面积为的面积为，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】设点，则.
直线的方程：，即；直线的方程：，即.
， 点到直线的距离：，
.
，点到直线的距离：，
.
所以.
设，，则，.
，当且仅当，
即时，等号成立.
因此的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知椭圆的右焦点为，离心率为．
（1）求的方程；
（2）过点且斜率为的直线与交于两点，求的面积．
解：（1）设半焦距为．由的右焦点为，得．
由的离心率为，得，所以．
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）设．
由题意可知直线的方程为，即，
与联立，得，解得．
因为，所以点在椭圆内.
所以，即的面积为．
16. （1）若为等差数列，且，求的通项公式；
（2）记的前项和为，若，且为等差数列，求和．
解：（1）设的公差为．
由题意知，解得，
所以．
（2）设的公差为，
则，即．
当时，，
又，得，
所以，也符合该式．
此时．
17. 如图，菱形与矩形所在的平面垂直，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：连接，因为侧面菱形，，所以是正三角形，
因为为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
又平面,所以平面．
因为平面，所以．
因为在矩形中，，且，
则得，
因为，所以，所以，
因为，所以平面．
（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则，即，故可取．
设直线与平面所成的角为，
则．
18. 如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、．
（1）若轴，求四边形的面积；
（2）若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值；
（3）求线段的中点的轨迹方程．
（1）解：当轴时，不妨设、，如图所示：
所以，，且，
连接，由切线长定理可得，，，故，
则．
（2）证明：设，因为，
所以直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，所以，
整理得，同理有，
所以、是方程的两个实根，
所以，，
所以为定值．
（3）解：由题知，，
所以点、在以为直径的圆上，
由、得该圆的方程为，
将与相减，得直线的方程为．
取，得，所以直线过定点，
又因为为的中点，所以，即，
所以点在以为直径的圆上，该圆的方程为．
又不可能是圆的直径，所以点不可能与原点重合，
所以点的轨迹方程为，即．
19. 已知点在抛物线上，的焦点为．
（1）点在上，且满足，求；
（2）设为常数，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线与交于点（异于点），令为关于轴的对称点，记的坐标为，且．
（i）若，求；
（ii）若，设点到轴的距离为，求数列的前项和．
解：（1）因为点在上，所以，所以，的方程为，，准线方程为．
设．
由，得，
所以，得.
所以，根据抛物线定义可知，．
（2）（i）过点且斜率为-1的直线为．
由解得或所以，
因为与关于轴对称，所以，即．
（ii）已知，，则直线的方程为，
由，得，
因为，所以，即，
解得（舍去，因为异于点）或，所以横坐标为.
为关于轴的对称点，所以，即，又，
所以是首项为6，公差为-1的等差数列，所以．
当时，，
则；
当时，，
则
．
故