四川省南充市2026届高三数学上学期第二次月考试卷含解析

这是一份四川省南充市2026届高三数学上学期第二次月考试卷含解析，共20页。试卷主要包含了考试结束后将答题卡交回， 某食品的保鲜时间y， 下列选项中正确的有等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 总分：150分）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 若复数满足，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简z，再根据复数模长公式求复数的模.
【详解】因为.
所以
故选：B
2. 的展开式中常数项是，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式定理的有关知识点列式求解.
【详解】因为的展开式中常数项是：，
由.
故选：C
3. 已知向量，满足，，若在上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的概念，结合向量夹角的计算公式即可得解.
【详解】由题意知，得，
则，，.
故选：A
4. 已知函数其导函数图象大致是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，可根据为偶函数和得到正确的选项.
【详解】因为，所以，则为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项A、B，又，故排除选项C；
故选：D.
5. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（ ）
A. 20小时B. 24小时C. 28小时D. 32小时
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得到方程，求出，当时，，得到答案.
【详解】由题意得，即，其中，所以，
当时，.
故选：B
6. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别算出，，结合公式即可求解.
【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能，
设事件为第一枚骰子投出点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，
所以事件包含的样本点个数有个，
所以，
事件包含的基本事件有：，共5个基本事件，
事件包含的基本事件有：，
所以，
所以.
故选：C.
7. 直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（ ）
A. B. C. 6D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案．
【详解】直线分别与轴，轴交于，两点，
，，则，
点在圆上，
圆心为，则圆心到直线距离，
故点到直线的距离的范围为，
则．所以面积的最大值是
故选：C．
8. 已知定义在上的函数满足，且对任意的，都有，若恒成立，则正实数的最大值为（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得，从而将问题转化,即，
结合函数的单调性得，构造函数，利用导数研究函数单调性即可求解.
【详解】因函数满足，所以，
所以
即，因为对，都有，所以在上单调递增.
所以有
可得，即.
令，因为在上均单调递增，则单调递增.
由，可得，则，即
记，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以，即解得，故的取值范围为.故的最大值为，
故选：D
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的最小正周期为，且，则（ ）
A.
B.
C. 在上恰有4个零点
D. 将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
【答案】BD
【解析】
【分析】由函数的周期及最值求得，进而逐项判断即可.
【详解】因为的最小正周期为，所以，A不正确.
由，得，则.
因为，所以，B正确.
所以，由，得，
由，
可得和，
得和，
则在上恰有2个零点，C不正确.
由，得，是偶函数，D正确.
故选：BD
10. 下列选项中正确的有（ ）
A. 与表示同一函数
B. “”是“”的既不充分也不必要条件
C. 函数的值域为
D. 若是奇函数，当时，，则时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，求两函数的定义域化简函数解析式，结合函数相等的条件判断结论，对于B，分别判断“”能否推出“”和“”能否推出“”，结合充分条件和必要条件的定义判断结论，
对于C：设，将已知函数转化为二次函数，根据二次函数性质求值域即可判断，对于D，结合奇函数性质求时的解析式，即可判断．
【详解】对于A，函数，其定义域为，
当时，；当时，．
函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数，A错误．
对于B，当时，满足，但，此时，
所以由不能推出，所以“”不是“”的充分条件．
当时，即，则有或，
所以或或，
所以由不能推出，“”不是“”的必要条件，
因此，“”是“”的既不充分也不必要条件，B正确．
对于C，令，则．
那么可转化为，
当时，取得最大值，．
所以函数的值域为，C正确．
对于D，因为是奇函数，所以，
又当时，，
所以当时，可得，
，D正确，
故选：BCD．
11. 已知函数，方程有三个不同的实根，，，则（ ）
A. 方程有两个不同的实根
B.
C. 是方程的一个根
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】画出函数的图象，结合图像可得有两个不同的解且，，从而可判断A的正误，同样结合图形求出的范围后可判断B的正误，将代入计算后可判断C的正误，根据方程的解的传递性可用表示后根据单调性可求范围，从而可判断D的正误.
【详解】令，考虑的解.
的图象如图所示：
对于A，因为有3个不同的解，故有两个不同的解，
且，，故A正确.
对于B，由A的分析可得，故B错误.
对于C，由A的分析结合图象可得：有两个不同的解，
故且，故，
故是方程的一个根，故C正确.
对于D，由A的分析可得有两个不同的解，不妨设为，
有唯一解，不妨设为，
则，，故，
故，
而即，
所以，
记，则，
故在上单调递增，故，D正确.
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合. 若，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用给定的交集的结果，结合元素与集合的关系列式求解.
【详解】依题意，，则，
所以的取值范围为.
故答案为：
13. 已知幂函数的图像过点，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值．
【详解】由设f（x）＝xa，图象过点（，），
∴（）a，解得a，
∴lg4f（2）＝lg4．
故答案为
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值．
14. 甲乙丙丁四人打循环赛，每两人之间都有一场比赛．已知乙丙丁三人胜率完全相同，而甲水平较高，面对三人时的胜率均为，每场比赛胜者得一分，败者得零分，总分最高或同为最高者并列冠军．问：甲拿到冠军的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】按甲拿冠军时的得分情况分类求解可得.
【详解】由题意知，甲乙丙丁四人共进行场比赛，且每人共参加场比赛，
故甲拿到冠军至少拿分，至多拿分，分类情况如下：
第一类：甲共得分拿到冠军，即甲与乙丙丁三人的比赛均获胜拿到冠军，
故事件“甲共得分拿到冠军”的概率为；
第二类：甲共得分拿到冠军，即甲恰与乙丙丁三人比赛中场获胜场败，且其余三人得分均小于等于分.
记事件“甲共得分”， “甲拿到冠军”，
则事件“甲共得分拿到冠军”即为，
则“甲共得分未拿到冠军”，即甲恰与乙丙丁三人比赛中场获胜场败，且乙丙丁中有人得分”，
由“甲共得分”，即甲恰输给乙丙丁中一人，
则；
若乙丙丁中有人得分，因为每人参加场比赛，至多得分，
则得分的人必然是乙丙丁中赢得甲的人，且另外两人人得分，另人得分.
故
故“甲共得分拿到冠军”的概率为；
故甲拿到冠军的概率为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装.
（1）已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率；
（2）设表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望为
【解析】
【分析】（1）根据排列组合求解个数，结合古典概型以及对立事件的概率公式即可求解，
（2）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望公式计算期望.
【小问1详解】
由于10名教师中有2名班主任，则10名教师中有8名不是班主任，
若抽取的3名中没有班主任，则有种抽法，从10名教师中随机抽取3名教职工的方法有种，
故抽取的3名中至少有1名班主任的概率为
【小问2详解】
的所有可能取值有：0，1，2，3，
故的分布列为：
故期望为：
16. 设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为.
（1）求的单调递增区间；
（2）将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前30项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助三角恒等变换可先将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数性质计算即可得；
（2）由正弦函数性质可得所有的正零点，则可得数列的奇数项及偶数项的通项公式，再利用等差数列求和公式分组计算即可得.
【小问1详解】
因为，
因为的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，又，所以，
所以，
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为；
【小问2详解】
因为，令，得，
所以或，，
即或，，
所以所有的正零点为或，，
所以是以为首项，π为公差的等差数列，
所以是以为首项，π为公差的等差数列，
所以
.
17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，且.

（1）求证：；
（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算得到证明.
（2）确定分别是棱的中点时，体积取得最大值，
法一：建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为.又平面的一个法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案.
法二：平面，过作垂线交于点，连接，根据定义可知即为二面角的平面角，再计算的余弦值.
【小问1详解】
以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图所示）.
设，则.

所以，
又∵，∴.
【小问2详解】
，
当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值.
又∵，
∴当时，取得最大值，此时三棱锥的体积取得最大值.
故，从而.
法一：设平面的法向量为，则且，
所以，即，令，可得.
又平面的一个法向量为，
记二面角的大小为，则有，
即二面角的余弦值为.
法二：∵平面，过作垂线交于点，连接，如图所示.

平面，平面，
∴平面，即为二面角的平面角.
在中，，根据等面积法可得，
在中，，可得边上的高为，
根据等面积法可得，
在中，.即二面角的余弦值为.
18. 已知F是抛物线E：的焦点，为抛物线E上一点，且.
（1）求抛物线E的方程；
（2）设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点.
（i）证明：直线AB过定点；
（ii）若直线AB的斜率大于0，且的面积为，求直线AB的方程.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义以及点在抛物线上两个条件列出方程，联立即可求解.
（2）（i）设直线方程，根据原点O恰为MN的中点，以及韦达定理化简得到m、n的关系即可求出定点；（ii）由（i）求得定点后，设出直线方程并通过弦长公式求出三角形的面积表达式，通过解方程即可求出直线方程里的参数，最终得到直线AB的方程.
【小问1详解】
因为抛物线的焦点为，准线方程为，且在抛物线上，，根据抛物线定义有，，
又因为在抛物线上，所以，即，
消去，可得，即，解得，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
（i）设，，直线AB方程为，联立，消得，则，，
直线AP：，令，得纵坐标；同理纵坐标，
因是MN中点，，即，化简得，将，代入，得，即，
直线AB方程为，当时，，故直线AB过定点.
（ii）设直线AB：，联立，得，
由韦达定理，，，
弦长，
根据点到直线的距离公式可知，点到直线AB距离为，
由可得，，即，化简得，
因式分解得，因，得，
所以直线AB方程为.
19. 记，，，.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）设最小值为，若，对任意恒成立，求的最小整数值；
（3）在（2）条件下，设，求在上的零点个数并说明理由.
【答案】（1）偶函数，证明见解析
（2）2 （3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）求函数的定义域，证明定义域关于原点对称，再证明，由此可得结论；
（2）设，换元可得，设，，利用导数判断函数的单调性，求函数的最小值，由此可得，再求，结合条件求的范围，由此可得结论；
（3）由（2）可得，证明函数为周期函数，为函数的一个周期，再证明，由此可得，，都是函数在上的零点，再证明函数在内有且只有一个零点，结合周期性可得结论.
【小问1详解】
因为，，，
所以，
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以函数为偶函数，
【小问2详解】
因为，
令，则，，则，
设，，
则，
当时，，又，
所以，所以，
所以函数在上单调递减，
当时，，又，
所以，所以，
所以函数在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，最小值为，
所以最小值为，所以，
所以，
因为，对任意恒成立，所以，
所以的最小整数值为，
【小问3详解】
由（2），又，，，
所以，
因为，
所以函数为周期函数，为函数的周期，
当时，，，
所以，
结合周期性可得，，都是函数在上的零点，
当时，，，，，
函数在上没有零点，
当时，，，所以，
函数在上没有零点，
当时，，
令，则，
所以函数在上单调递增，故函数在上单调递增，
又，，
所以存在，，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，，
所以函数在上存在唯一零点，在上不存在零点，
结合函数的周期性可得函数在上的零点个数为.
0
1
2
3