河北省保定市部分高中2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题含答案含答案解析

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一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（）
A. B. C. D.
3. 已知角的终边过点，则（）
A. B. C. D.
4. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（）
A. B. C. D.
5. 已知向量与的夹角为，且，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
6. 中，、、分别是内角、、的对边，若且，则的形状是（）
A. 有一个角是等腰三角形
B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形
D. 等腰直角三角形
7. 如图，在长方体中，，，，E､F分别为棱､的中点.动点P在长方体的表面上，且，则点P的轨迹的长度为（）

A. B. C. D.
8. 记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.每题有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则与同向的单位向量为
C. 若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D. 若，则最小值为
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（）
A. 在区间上单调递增
B. 图象的一条对称轴方程为
C. 图象的一个对称中心为点
D. 在区间上的值域为
11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（）
A. 不存在点Q，使得B，N，P，Q四点共面B. 存在点Q，使得平面
C. 三棱锥的体积为D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为9π
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 若是关于x的实系数方程的一个复数根，则________．
13. 设点是线段的中点，点在线段外，，，则______．
14. 在中，设角对边分别是，若，则角B的最大值为__________；则的最小值为__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上.
（1）求证：平面；
（2）若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值.
16. 已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若锐角的内角的对边分别为，且，，
（ⅰ）求的值．
（ⅱ）求面积的取值范围．
17. 如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在上，且．
（1）求证：平面平面PAC；
（2）求证：平面PAC；
（3）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．
18. 在中，内角所对的边分别为，且满足．
（1）求角；
（2）若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．
19. 被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，则我们可以简化复数乘法．
（1）已知，求；
（2）已知O为坐标原点，，且复数在复平面上对应的点分别为，点C在上，且，求；
（3）利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下：
，所以．
类比上述过程，求出．（将表示成的式子，将表示成的式子）（参考公式：）