河北省保定市2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5，本卷主要考查内容：必修第一册第二章2.2~第四章．
一、单项选释题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再根据并集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，求出的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义即可得出结果.
【详解】由，
则，解得或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 下列叙述正确的是（ ）
A. 如果函数在区间上是连续不断的一条曲线，且在区间内有零点，则一定有
B. 函数的零点是，
C. 已知方程的解在内，则
D. 函数有两个不同的零点
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，举例判断即可；对于B，求出函数的零点即可判断；对于C，根据零点存在性定理判断即可；对于D，作出的图象,观察其交点个数即可判断.
【详解】对于A，函数在0,3内有零点，
而，故A错误；
对于B，令，解得或，
所以函数的零点是，3，故B错误；
对于C，设，
因为函数在上为增函数，
所以在上增函数，
又，，则，
所以函数在内有唯一零点，
所以方程在内有唯一解，则，故C正确；
对于D，作出的图象如图：
当时，函数和的图象显然有一个交点，
又，所以函数和的图象在，处相交，
所以函数有三个不同的零点，故D错误.
故选：C.
4. 已知函数是上的偶函数，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数的定义，结合特值法可解.
【详解】是偶函数，则，且，代入计算得到.
故选：A.
5. 已知函数，若，且，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】结合图象利用得出，，然后利用对勾函数的单调性求解即可.
【详解】画出函数的图象，如图，
不妨设，则，
由，则，即，即，
所以，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
即的最小值为.
故选：C.
6. 如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得.
【详解】由图可知，曲线与曲线关于y轴对称，且曲线是函数的图象，
所以曲线对应的函数解析式为，
由曲线与曲线关于直线对称，
所以曲线对应的函数解析式为，
由曲线与曲线关于x轴对称，
所以曲线对应的函数解析式为，即.
故选：A.
7. 已知函数，，则（ ）
A. 是奇函数
B.
C. 的值域是1,+∞
D. 的值域是
【答案】B
【解析】
【分析】对于A，利用函数奇偶性的定义判断；对于B，通过指数幂的运算求解判断；对于C，取特殊值判断；对于D，由当时，判断.
【详解】对于A，设，定义域为，
则，所以函数为偶函数 ，故A错误；
对于B，，
，
则，故B正确；
对于C，，
当时，，故C错误；
对于D，，
当时，，故D错误．
故选：B.
8. 已知，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再利用作商法结合换底公式及基本不等式即可得解.
【详解】由，，，
则，，，
而，，，
因为，
所以，故；
又，
所以，故
综上所述，.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据指数幂的运算判断A；根据对数的运算性质判断BCD.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD.
10. 设函数且，则（ ）
A. 函数和的图像关于直线对称
B. 函数和的图像的交点均在直线上
C. 若，方程的根为，方程的根为，则
D. 已知，若恒成立，则的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：根据反函数的性质分析判断；对于B：举反例说明即可；对于C：整理可得，，同构函数，结合函数单调性分析证明；对于D：根据题意分析可得，构建函数，利用导数分析其最值，结合恒成立问题即可得结果.
【详解】对于选项A：因为和互为反函数，可知其图象关于直线对称，故A正确；
对于选项B：例如，则，
可知和的图像有交点和，均不在直线上，故B错误；
对于选项C：由题意可得：，
因为，可得，即，
设函数，
因为在上单调递增，可知在上单调递增，
又因为，则，即，故C正确；
对于选项D：当时，为增函数，
若，则，与矛盾，舍去，所以，
若恒成立，则，即，
两边取对数可得，即，
同理可得：等价于，即，
令，则，
当时，；当时，；
则，可得，解得，
所以的取值范围为，
例如，可得，
即，且为增函数，
可得，符合题意，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：对于C：根据题意整理可得，，进而可同构函数；
对于D：根据题意分析可知：，解得的取值范围为，进而取反例说明.
11. 函数（，且）恰有两个零点，则a可以是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】转化问题为函数和有2个交点，进而分，两种情况结合图象求解即可.
【详解】令，即，
因为函数恰有两个零点，
则函数和有2个交点.
当时，画出函数的图象，如下图：

由图可知，要使函数和有2个交点，
则，解得；
当时，画出函数的图象，如下图：

由图可知，要使函数和有2个交点，
则，解得，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数（，且）的图象恒过定点P，点P在函数的图象上，则______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据对数函数的基本性质求出定点，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而计算.
【详解】对于函数，
令，即，则，
所以函数的图象恒过定点，
则，即，
所以，则.
故答案为：9.
13. 一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）、那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要______年（）
【答案】23
【解析】
【分析】设经过年后的一万只兔子有只,依题可得，令，求解即可.
【详解】设经过年后的一万只兔子有只，
根据倍增期为21个月，可得，
令，则，则，
则，故大约需要23年，
故答案为：23.
14. 已知，函数，若函数恰有2个零点，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数与二次函数的零点情况，分类讨论的取值，即可求解.
【详解】因为函数在上只有1个零点4，
函数在上有2个零点，为，
若，此时函数在上没有零点，
函数在上有1个零点，不符合题意；
若，此时函数在上有1个零点，
函数在上有1个零点，符合题意；
若，此时函数在上有2个零点，
函数在上有1个零点，不符合题意；
若，此时函数在上有2个零点，
函数在上没有零点，符合题意.
综上所述，a的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. （1）求值：；
（2）求值：；
（3）已知，，求的值．
【答案】（1）14；（2）2；（3）2
【解析】
【分析】（1）根据指数幂及对数公式运算即可；
（2）根据对数的运算性质运算即可；
（3）根据指数与对数的相互转化可得，，进而结合换底公式计算即可.
【详解】（1）
.
（2）
.
（3）由，，得，，
则.
16. 已知函数（其中为常数，且）的图象经过点．
（1）求的表达式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数经过两点，列出方程组，求解即可.
（2）利用函数的单调性求解函数的最小值，然后求解不等式即可.
【小问1详解】
由题意，函数的图象经过点,
则，解得，
所以函数.
【小问2详解】
不等式在上恒成立，
则，
令，
因为函数在上是减函数，
所以，
所以.
即实数的取值范围为.
17. 已知的定义域为，且满足，．
（1）求的解析式；
（2）判断在上的单调性；
（3）若，求x的取值范围．
【答案】（1）
（2）单调递增，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性的性质求解参数即可；
（2）先判断单调性，再利用定义法证明即可；
（3）移项变形得，从而得到不等式组，解出即可
【小问1详解】
因为的定义域为，关于原点对称，
且，故是奇函数，
因为在处有定义，所以，
得到，解得，此时，
因为，所以，解得，
故解析式.
经检验符合题意.
【小问2详解】
在上单调递增，理由如下，
任取，且使，
而，
，
因为，所以，，
由已知得，所以，故，
故，即，
最后得到在上单调递增.
【小问3详解】
，则，
又因为在上的单调递增，
则，解得.
则的取值范围为.
18. 已知函数．
（1）当时，求该函数的值域；
（2）求不等式的解集；
（3）若对于恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）或；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法，将转化为，，利用二次函数的性质即可求解，
（2）换元，解一元二次不等式，进而根据对数的单调性求解，
（3）换元，分离参数，将问题转化为在上恒成立，即可利用函数的单调性求解最值得解.
【小问1详解】
因为
令，，则，
函数转化为，，
则二次函数，对称轴为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，
故当时，函数的值域为．
【小问2详解】
由题得，令，
则，即，解得或，
当时，即，解得；
当时，即，解得，
故不等式的解集为或．
【小问3详解】
由于对于上恒成立，
令，，则，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为，
故时，对于恒成立．
19. 若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”．已知定义在上的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（3）求函数在内的“倒域区间”．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案；
（3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案.
【小问1详解】
当时，则，
由奇函数的定义可得，
所以.
【小问2详解】
当时，方程，即，
设，
由题意知，解得，
则实数m的取值范围为.
【小问3详解】
因为在区间上的值域恰为，
其中且，所以，则，
由题意，，
而在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，所以，
则，所以，
则，解得，
所以在内的“倒域区间”为.
【点睛】方法点睛：与函数的新定义有关的问题的求解策略：
1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.