吉林省长春市第二实验高新学校2025-2026学年八年级上册1月期末考试 数学试题

这是一份吉林省长春市第二实验高新学校2025-2026学年八年级上册1月期末考试 数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．6，7，10B．6，8，10C．1，2，3D．4，5，8
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列说法错误的是（ ）
A．是16的平方根B．17是的算术平方根
C．的算术平方根是D．0.9的算术平方根是0.03
5．若，，，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．在某次综合与实践活动中，小明同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如下表：
小明的脚长为 249 毫米，则他的鞋号（码）是（ ）
A．39B．40C．41D．42
7．将盛有部分水的小圆柱形水杯放入事先没有水的大圆柱形水杯中，拿去接水时，让水先进入大圆柱形水杯，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致为图中的（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在中，，，的面积为48，的垂直平分线交于点，交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．11B．14C．19D．22
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．若在实数范围内有意义．则的取值范围是 ．
10．分解因式： ．
11．当 时，分式的值为0．
12．已知函数，当 时，是的正比例函数．
13．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数的值为 ， ．
14．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②方程的解为；③；④．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题（共10小题，共78分）
15．计算：
(1)
(2)
(3)
16．先化简代数式，再求值：，其中．
17．在今年的全国两会上，国家卫生健康委表示将持续推进“体重管理年”行动，实施“体重管理年”年行动，普及健康生活方式，为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考查，有、两种型号的健身器材可供选择，已知每套型健身器材的价格比每套型健身器材的价格多万元，用万元购买型健身器材的数量与用万元购买型健身器材的数量相等，求每套型健身器材的价格．
18．如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由．
19．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求直线的表达式；
(2)若点是直线上的一个动点，当的面积为16时，求点的坐标．
20．现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为．
(1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值；
(2)比较与的大小，并说明理由．
21．发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证：为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和__________；
探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
延伸：两个差为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方．这个命题是否正确？请说明理由．
22．图1是一个平分角的仪器，其中，．
(1)如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，、分别在边、上，沿画射线交于．则是的平分线，说明理由．
(2)如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，则______．
23．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形．
(1)求长方形木板的面积；
(2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，则是否可以裁出所求的长方形木料？
24．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题．
(1)列表：与的部分对应值如表：则______，______．
(2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)结合图象，写出一条函数的性质：______．
(4)根据函数图象填空：
①方程有______个解；
②若关于的方程无解，则的取值范围是______．
③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围．
参考答案
1．A
解：A．是无理数；
B．是有理数；
C．是有理数；
D．是有理数；
故选：A．
2．B
解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选：B．
3．C
解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故原选项错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，故原选项错误，不符合题意；
故选：C ．
4．D
解：A、是16的平方根，故原说法正确，不符合题意；
B、17是的算术平方根，故原说法正确，不符合题意；
C、的算术平方根是，故原说法正确，不符合题意；
D、，故0.9的算术平方根不是0.03，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
5．B
解：
∴，
故选：B．
6．B
解：根据题意，可知鞋号与脚长的对应关系为一次函数，
设鞋号与脚长的关系式为，
根据题意，可得，解得，
所以鞋号与脚长的关系式为，
若小明的脚长为 249 毫米，可令，
则有，
解得，
所以，他的鞋号（码）是 40．
故选：B．
7．B
解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化．
故选：B．
8．C
解：如图所示，连接，
∵在中，，，为边的中点，
∴，
∵的面积为48，
∴，
∴；
∵的垂直平分线交于点，交于点，
∴，
∴的周长，
∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，
∴的周长的最小值为，
故选：C．
9．
解：由题意，，
解得．
故答案为：．
10．
解：．
故答案为：．
11．8
解：∵分式的值为0，
∴且，
解得：且，
故答案为：8．
12．3
解：∵函数是正比例函数，
∴，
∴，
故答案为：3．
13． （答案不唯一） 1（答案不唯一）
解：取，则，
满足，但，即不成立，故命题为假命题，
故答案为：，1（答案不唯一）．
14．①②④
解：根据图示，一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴，
∴一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小，故①正确；
∵两直线交点坐标为，
∴方程的解为，故②正确；
一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，
∴，故③错误，④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
15．(1)
(2)
(3)
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解；
．
16．．
解：原式，
把代入上式得．
17．
每套型健身器材的价格是万元
解：设每套型健身器材的价格为万元，则每套型健身器材的价格为万元．
依题意得：．
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
每套型健身器材的价格为（万元）．
答：每套型健身器材的价格是万元．
18．树枝砸不到小车
如下图所示，
，
为直角三角形，
在中，，，
，
，，
树枝砸不到小车．
19．(1)
(2)或
（1）解：设直线的表达式为，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∵的面积为16，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，当时，，
∴点C的坐标为或．
20．(1)，，当时，
(2)，理由见解析
（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：，
∴，，
∴，
∴当时，；
（2），理由如下：
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
21．验证：；探究：见解析；延伸：见解析
解：验证：10的一半为5，
，
故答案为：
探究：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
理由如下：
，
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
延伸：这个命题正确，理由如下，
设其中一个正整数为x，则另一个正整数为，
∴，
∴两个差为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方．
22．(1)见解析
(2)1
（1）证明：，，，
，
，
、分别在边、上，
是的平分线；
（2）解：过点作于点，
是的平分线，，，
，
，，
，
，
故答案为：．
23．(1)
(2)可以裁出，理由见解析
（1）解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形．
∴正方形的边长为：，
∴，，
∴矩形木板的面积为；
（2）可以裁出，理由如下：
∵从长方形木板中裁出一个面积为，宽为，
∴裁出长为：，
由（1）得长方形的长为，宽为，
，， ，
∴，，
∴可以裁出所求的长方形木料．
24．(1)，
(2)见解析
(3)函数的图象关于轴对称．（答案不唯一）
(4)①2；②；③
（1）解：将、代入函数解析式，
当时，；
当时，；
故，．
故答案为：，；
（2）解：根据表格描点、连线，如图所示：
（3）解：观察图象，可知：函数的图象关于轴对称．
故答案为：函数的图象关于轴对称；
（4）解：①观察图象可知，
的图象与有两个交点，
故方程有2个解；
故答案为：2；
②观察图象可知，的图象与直线有一个交点，
在的下方无交点，
故要使关于的方程无解，
需．
故答案为：；
③当时，，
即函数必过，
当时，如图，当时，与右半段平行，此时与有1个交点，
即当时，与有2个交点，此时；
当时，同理可得当时，与有2个交点，此时；
当时，，由①可知此时与有2个交点；
综上所述，当时，关于的方程有两个不相等的实数解．
鞋号（码）
…
33
34
35
36
37
…
脚长（毫米）
…
…
…
0
1
2
3
…
…
0
1
…