甘肃省庆阳市2025-2026学年八年级上册1月期末考试 数学试题

这是一份甘肃省庆阳市2025-2026学年八年级上册1月期末考试 数学试题，共15页。试卷主要包含了本试卷共120分，请将各题答案填在答题卡上，下列计算正确的是，计算，已知是完全平方式，则的值为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共120分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填在答题卡上．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，5B．4，5，9C．5，12，18D．7，15，23
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．计算：（ ）
A．27B．C．D．
5．已知是完全平方式，则的值为（ ）
A．3B．C．6D．
6．如图，已知，点为上一点，根据尺规作图的痕迹，小明判断．他得出这一结论的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行
7．如图，已知两个三角形全等，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
9．在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线交于点F，若，，则点F到的距离为（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
10．如图，在等边三角形中，为的平分线，在上分别取点M，N，且，在上有一动点P，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．当x 时，分式有意义.
12．分解因式： ．
13．如图，，请你添加一个条件 ，利用“”，证明．
14．已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是 ．
15．若则 ．
16．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①；②；③；④
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：.
18．计算：．
19．因式分解：．
20．解分式方程：．
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，的三个顶点的坐标分别为、、．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的，并写出点、、的坐标；
(2)点B关于x轴的对称点为点D，点E为x轴上一点，且，则E点坐标为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
23．如图，在中，平分．
(1)则 ；
(2)求的度数．
24．如图，已知和，与交于点P，点C在上．
(1)试说明：；
(2)若．求的度数．
25．某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现A，B两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知B种图书每本的进价比A种图书贵6元，用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同．
(1)A，B两种图书每本的进价各是多少元？
(2)该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本A种图书的利润为3元，每本B种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1600元，则至多购进A种图书多少本？
26．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作可以得到一个公式：_______．
(2)利用你得到的公式，计算：．
(3)计算：．
27．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．
(1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是 ；
(2)如图2，当0°＜α＜180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展与应用：如图3，当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB=AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
参考答案
1．A
A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
2．A
解：A，，满足条件，能组成三角形；
B，，不满足条件，不能组成三角形；
C，，不满足条件，不能组成三角形；
D，，不满足条件，不能组成三角形；
故选A．
3．D
A．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，而不是，所以 A 选项错误．
B．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，，而不是，所以 B 选项错误．
C．根据幂的乘方，，而不是，所以 C 选项错误．
D．根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，， D 选项正确．
故选D．
4．C
解：，
故选C
5．D
解：∵是完全平方式，
∴，
即
故选：D．
6．B
解：由作图可得，，
∴，
故他得出这一结论的依据是同位角相等，两直线平行，
故选：B．
7．A
解：两个三角形全等，
，
故选：A．
8．B
解：A、该等式从左到右是整式乘法，不是因式分解，故选项A错误，不符合题目要求，
B、左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解，故选项B正确，符合题目要求，
C、该等式从左到右是整式乘法，不是因式分解，故选项C错误，不符合题目要求，
D、右边是和的形式，不是因式分解，故选项D错误，不符合题目要求．
故选：B．
9．B
解：过F点作于H点，如图，
∵，，
∴，
由作图痕迹得平分，
∵，，
∴，即点F到的距离为4．
故选：B．
10．B
解：∵是等边三角形，
∴，，
∵为的平分线，
∴，，
作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
即的最小值为，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故选：B．
11．
∵分式有意义
∴当x-5≠0即x≠5.
故答案为≠5.
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12．
解：，
故答案为：．
13．或
解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等．
由图可知：和斜边为公共边，即，
∴应添加：或，
故答案为：或．
14．##70度
解：∵等腰三角形的顶角是，
∴它的一个底角的度数是，
故答案为：．
15．
解：当时，
．
故答案为：．
16．①②④
∵，的平分线交于点O，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
如图，∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴．
故④正确；
综上正确的有：①②④．
故答案为：①②④．
17．
原式
18．．
解：
．
19．
解：
．
20．
去分母，得，
解得：，
经检验是原分式方程的根．
21．，
解：原式
，
当时，原式．
22．(1)图见解析；，，
(2)或
（1）解：如图，为所求．
，，；
（2）解：如图，设与x轴交于点F，
∵，
∴点B关于x轴的对称点为点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴E点坐标为或．
23．(1)；
(2)
（1）解：∵，
∴，
又∵平分，
∴；
故答案为：．
（2）∵，
，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)
（1）解：，
，
即．
在和中，
，
，
；
（2），
，
，
．
，
，
．
25．(1)种图书进价为30元，则种图书进价为36元
(2)至多购进种图书33本
（1）解：设种图书进价为元，则种图书进价为元，
由题意得：，
解得：，
检验：当时是原分式方程的根且符合实际，
∴，
∴种图书进价为30元，则种图书进价为36元；
（2）设购进种图书本，则购进种图书本，
由题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴的最大整数为33，
∴至多购进种图书33本．
26．(1)
(2)1
(3)2026
（1）解： 由题意可得：图2中长方形的长为，宽为，
∴长方形的面积为，
∵图1中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，
∴图1中阴影部分的面积为，
∵图1和图2阴影部分的面积相等，
∴．
故答案为：．
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
27．(1)DE＝BD+CE##DE=CE+BD
(2)成立，证明见详解
(3)等边三角形，理由见详解
（1）DE=BD+CE，理由如下，
∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
∵AB=AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=BD+CE，
故答案为：DE=BD+CE．
（2）DE=BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=α，
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α，
∴∠DBA=∠EAC，
∵AB=AC，
∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE；
（3）△DEF是等边三角形，
由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点
∴∠BAF＝∠CAF＝60°，
∵AB=AF=AC
∴△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE·10分
在△DBF和△EAF中，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形